高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法课件 新人教A版选修22.ppt

第二章 推理与证明 2 2直接证明与间接证明 2 2 2反证法 自主预习学案 1 反证法的定义一般地 假设原命题不成立 经过正确的推理 最后得出 因此说明假设 从而证明了原命题 这样的证明方法叫做反证法 反证法是间接证明的一种基本方法 2 反证法证题的原理 1 反证法的原理是 否定之否定等于肯定 2 用反证法解题的实质就是否定结论 导出矛盾 从而说明原结论正确 矛盾 成立 错误 1 应用反证法推出矛盾的推导过程中 要把下列哪些作为条件使用 原结论的相反判断 即假设 原命题的结论 公理 定理 定义等 原命题的条件a b c d 解析 由反证法的规则可知 都可作为条件使用 故应选c c 2 用反证法证明某命题时 对其结论 自然数a b c中恰有一个偶数 正确的反设为 a a b c都是奇数b a b c都是偶数c a b c中至少有两个偶数d a b c中至少有两个偶数或都是奇数 解析 自然数a b c中恰有一个偶数 即a b c中有两奇一偶 故其反面应为都是奇数或两偶一奇或都是偶数 故选d d 3 如果两个实数之和为正数 则这两个数 a 一个是正数 一个是负数b 两个都是正数c 至少有一个正数d 两个都是负数 解析 假设两个数分别为x1 x2 且x1 0 x2 0 则x1 x2 0 这与两个数之和为正数矛盾 所以两个实数至少有一个正数 故应选c 4 任何三角形的外角都至少有两个钝角 的否定应是 解析 全称命题的否定形式为特称命题 而 至少有两个 的否定形式为 至多有一个 故该命题的否定为 存在一个三角形 其外角最多有一个钝角 c 存在一个三角形 其外角最多有一个钝角 互动探究学案 命题方向1 用反证法证明否 肯 定性命题 典例1 1 2017 武汉高二检测 用反证法证明命题 如果a b 那么a3 b3 时 假设的内容是 a a3 b3b a3 b3c a3 b3d a3 b3且a3 b3 c 2 2017 德州高二检测 用反证法证明命题 一个三角形中不能有两个直角 的过程归纳为以下三个步骤 a b c 90 90 c 180 这与三角形内角和为180 相矛盾 则 a b 90 不成立 所以一个三角形中不能有两个直角 假设 a b c中有两个角是直角 不妨设 a b 90 正确顺序的序号排列为 解析 1 假设的内容应为结论 a3 b3 的否定 a3 b3 故选c 2 根据反证法证题的三步骤 否定结论 导出矛盾 得出结论 规律总结 1 用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有 不 不是 不可能 不存在 等词语的命题称为否定性命题 此类问题的正面比较模糊 而反面比较具体 适合使用反证法 2 用反证法证明数学命题的步骤 特别提醒 1 用反证法证题时 首先要搞清反证法证题的思路步骤 其次注意反证法是在条件较少 直接证明不易入手时常用的方法 2 结论中含有 不 不是 不可能 不存在 没有 等词语的否定性命题 结论的反面比较具体 适于应用反证法 3 注意否定结论时 要准确无误 命题方向2 反证法证明 至多 至少 问题 典例2 规律总结 1 当命题中出现 至少 至多 不都 都不 没有 唯一 等指示性词语时 宜用反证法 2 用反证法证题 必须准确写出命题的否定 把命题所包含的所有可能情形找全 范围既不缩小 也不扩大 常用反设词如下 命题方向3 用反证法证明存在性 唯一性命题 已知 一点a和平面 求证 经过点a只能有一条直线和平面 垂直 思路分析 典例3 规律总结 1 证明 有且只有一个 的问题 需要证明两个命题 即存在性和唯一性 当证明结论以 有且只有 只有一个 唯一存在 等形式出现的命题时 由于反设结论易于导出矛盾 所以宜用反证法证明 2 若结论的反面情况有多种 则必须将所有的反面情况一一驳倒 才能推断结论成立 跟踪练习3 若函数f x 在区间 a b 上的图象连续 且f a 0 f x 在 a b 上单调递增 求证 f x 在 a b 内有且只有一个零点 正难则反是运用反证法的原则 有一些基础命题都是我们在数学中常运用的明显事实 它们的判定方法极少 宜用反证法证明 这些题型有 1 一些基本命题 基本定理 2 易导出与已知矛盾的命题 3 否定性 命题 4 唯一性 命题 5 必然性 命题 6 至多 至少 类命题 7 涉及 无限 结论的命题 适宜运用反证法证明的命题 已知a b c是互不相等的实数 求证 由y1 ax2 2bx c y2 bx2 2cx a和y3 cx2 2ax b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点 典例4 规律总结 1 反证法的 归谬 是反证法的核心 其含义是从假设 即把 反设 作为一个新的已知条件 及原命题的条件出发 引用一系列论据进行正确推理 推出与已知条件 定义 定理 公理等相矛盾的结果 2 反证法中引出矛盾的结论 不是推理本身的错误 而是开始假定的 结论的反面 是错误的 从而肯定原结论是正确的 跟踪练习4 证明 对于直线l y kx 1 不存在这样的实数k 使得l与双曲线c 3x2 y2 1的交点a b关于直线y ax a为常数 对称 已知a b c 0 ab bc ca 0 abc 0 求证 a 0 b 0 c 0 错解 假设a 0 b 0 c 0 则a b c 0 abc 0与题设条件a b c 0 abc 0矛盾 假设不成立 原命题成立 辨析 错解没有弄清原题待证的结论是什么 导致反设错误 求证 a 0 b 0 c 0 的含义是 求证a b c三数都是正数 故反设应为 假设a b c中至少有一个不大于0 结论反设不当致误 典例5 正解 证法1 假设a b c中至少有一个不大于0 不妨设a 0 若a0 得bc0得 b c a 0 ab bc ac a b c bc0矛盾 又若a 0 则abc 0与abc 0矛盾 故 a 0 不成立 a 0 同理可证b 0 c 0 证法2 假设a b c是不全为正的实数 由于abc 0 所以a b c中只能是两负一正 不妨设a0 ab bc ac 0 a b c bc 0 bc0 a0矛盾 故假设不成立 原结论成立 即a b c全为正实数 点评 含 至多 至少 唯一 等的结论 或以否定形式给出的结论 常用反证法证明 证明的第一步是写出结论的否定 否定一定要准确 证明时要将全部可能情形一一推证 1 命题 abc中 若 a b 则a b 的结论的否定