§3映射与函数.doc

3映射与函数一、知识归纳：1映射的概念：（略）2映射如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象。3对映射的理解：（1）A中的每一个元素都要有原象；（2）A中的元素的象都是唯一的；（3）A中不同的元素在B中可以有同一个象；（4）B中有的元素可以没有原象。即取元的任意性，成象的唯一性。4一一映射：（1）是映射；（2）集合A中的不同元素在集合B中有不同的象（单射）；（3）集合B中的每一个元素在集合A中都有原象（满射）。5函数：当A、B是非空数集时，映射就是A到B的函数。A是定义域，值域C是B的子集。6函数的三要素：定义域、值域、对应法则。两个函数相同当且仅当它们的三要素相同。7函数的表示法：（1）解析法；（2）列表法；（3）图象法。8区间的概念：开区间、闭区间、半开半闭区间、无穷区间。9分段函数的概念：是把定义域分成几个不同的区间，在每个区间上具有不同的法则，合起来是一个函数，而不是几个函数。二、典型例题：题型1 映射、函数的有关关概念例1 判断下列对应中哪些是映射，哪些不是映射，哪些是一一映射？（1），对应法则，（2）对应法则 数轴上的点；（3），对应法则，（4），对应法则。例2 设A、B是坐标平面上的点集，映射使集合A中的元素（x，y）映射成集合B中的元素（x+y，x-y），则在映射f下，象（2，1）的原象是 例3 下列四组中的函数表示同一个函数的是（ ）A BC D题型2函数定义域的求法例4 求下列函数的定义域：（1） （2）；（3） (4)为常数）例5 已知求例6 （1）已知函数定义域为（0，1），求的定义域；（2）已知函数定义域为（0，1），求的定义域；（3）已知函数定义域为，求的定义域；注：（1）对于复合函数而说，如果函数的定义域为A，则的定义域是使得函数的x的取值范围；（2）如果的定义域为A，则函数的定义域就是函数的值域。例7已知的定义域是R，求实数a的取值范围。题型3函数值域的求法例5 作出下列函数的图象：（1） （2）例6 求下列函数的值域：（1） （2）（3）； （4）（5） （6）（7）； （8）三、针对训练：1设，从A到B的映射，则象集B为（ ）AR BCD2设集合A和B都是正整数集，映射把集合A中的元素n映射到集合B中的元素则在映射f下，象20的原象为（ ）A5 B3 C2 D43函数的值域是（ ）A B3，12 C-12，4 D4，124函数的值域是（ ）5已知且函数的定义域为a，b，则函数的定义域是（ ）A-b，b Ba，-a C-a，a Da，b6已知的值等于（ ）A2 B3 C4 D57已知函数（1）作出的图象；（2）求函数的定义域和值域；（3）求的值。8函数的值域是（ ） A B C D9函数的定义域是（ ） A B C D10已知函数满足，则的值是（ ） A5 B5 C6 D611函数在区间0，1上的最小值为则k是（ ）12已知若，求的表达式。13已知函数对任意，总有，且当时，；（1）求证：是R上的减函数；（2）求在-3，3上的最大值和最小值。4函数的单调性和奇偶性一、知识精讲：1如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当时,都有那么就说函数在这个区间上是增函数。2如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当时,都有那么就说函数在这个区间上是减函数。3如果函数在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间上具有单调性，这一区间叫做的单调区间。4如果对于函数的定义域内任意一个x，都有=，那么函数就叫做偶函数，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立。5如果对于函数的定义域内任意一个x，都有=，那么函数就叫做奇函数，奇函数的图象关于原点对称，反之也成立。6函数的定义域关于原点对称是这个函数是奇（偶）函数的必要不充分条件。7判断函数奇偶性和单调性的方法：二、典型例题：例1 确定函数的单调区间。例2 判断下列函数的奇偶性：（1）（3）（4）例3 已知奇函数在时是减函数，求证：在时也是减函数。例4 求函数的单调递增区间和单调递减区间。例5 已知函数上是减函数，求实数a的取值范围。例6 已知定义在R上的奇函数时的解析式是，求的完整表达式。例7 设已知的值。例8 设在R上是偶函数，在区间上递增，且有求a的取值范围。三、针对训练：1下列函数中，在上是减函数的是（ ）ABCD2关于的单调性的正确说法是（ ）A单调递减函数 B在上是减函数，在上是增函数C在上是减函数，在上是减函数D除x=1外，在上是单调递减函数3函数的单调递减区间是（ ）4函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则等于（ ）A17 B25 C-7 D15在下列函数：（1）（3）中，不具有奇偶性的是（ ）A（1）（2）（3） B（1）（3）（4） C（1） D（1）（3）6若是定义在区间-4，4上的偶函数，且下列各式中一定成立的是（ ） 7已知函数 满足（ ）A-18 B-26 C10 D-108设是上的奇函数，当时，=x，则等于（ ）A-1.5 B.1.5 C.-0.5 D.0.59函数的单调增区间是 ，单调减区间是 ；10若是偶函数，则m= 11设是定义在上的偶函数。若当时，是减函数，则、的大小顺序是 12若奇函数在时的解析式为则当时，的解析式为 13根据函数单调性的定义，证明函数在上是增函数。14已知是定义在（-1，1）上的奇函数，它在区间（-1，1）上单调递减，且求实数a的取值范围。15作出函数的图象，并根据图象求出其单调递增和递减区间。5函数的单调性与奇偶性（二）例1 已知是奇函数，它在上是增函数，且，试问在上是增函数还是减函数？例2 若在R上是单调函数，则在R上至多有一个实数根。例3 若任意，对函数恒有，（1）求证：是奇函数；（2）若例4 定义在（-2，2）上的偶函数，当时，是减函数，如果，求a的取值范围。例5 试求的值域。例6 已知的定义域为，满足试判断的奇偶性。例7 讨论在（-1，1）上的单调性。例8