2013年“北约”自主招生训练题二.doc

2013年“北约”自主招生训练题二1、函数R的单调减区间是 .2、设函数的定义域为R，若与都是关于的奇函数，则函数在区间上至少有 个零点. 3、圆环形手镯上等距地镶嵌着颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种其中镀金银的概率是 4、在三棱锥中，已知， ，且已知棱的长为，则此棱锥的体积为 5、设复数列满足，且若对任意N* 都有，则的值是 6、已知平面上两定点A（3，0），B（0，4），P为曲线上任意一点，过点P作PCx轴，PDy轴，垂足分别为C,D，则四边形ABCD面积S的最小值为 7、函数的值域是_.8、函数的最小值为 9、设是平面上一个定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，其中，则点的轨迹为_.10、函数的值域是_。11、若为锐角三角形，满足，则的最大值是_。12、将随机填入右图正方形ABCD的九个格子中，则其每行三数，每列三数自上而下、自左至右顺次成等差数列的概率P=_。ABDCbac13、若正三棱锥的内切球半径为1，则其体积的最小值为_。14、过抛物线的焦点F，作一条斜率为2的直线，若交抛物线于两点，则 的面积是_。15、数列，满足：，已知数列的前项和为，则数列的前项和_。16、等差数列的前项和为,且.设,则当数列的前项和取得最大值时, 的值是 17、已知函数是定义在R上的奇函数,函数的图象与函数 的图象关于直线对称,若则等于 18、已知向量，实数满足 的最大值为 _19、,则的值为 .20、在平面直角坐标系xOy中，在标准位置抛物线的焦点为F. 设M是抛物线上的动点，则的最大值为 训练题31、函数R的单调减区间是 .提示与答案：与f(x)=y2=1+|sin2x|的单调减区间相同， Z 2、设函数的定义域为R，若与都是关于的奇函数，则函数在区间上至少有 个零点. 提示与答案：f(2k-1)=0，kZ. 又可作一个函数满足问题中的条件，且的一个零点恰为，kZ. 所以至少有50个零点. 3、圆环形手镯上等距地镶嵌着颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种其中镀金银的概率是 提示与答案：穷举法，注意可翻转，有6种情况，2金2银有两种，概率为 4、在三棱锥中，已知， ，且已知棱的长为，则此棱锥的体积为 提示与答案：4面为全等的等腰三角形，由体积公式可求得三棱锥的体积为 144 5、设复数列满足，且若对任意N* 都有，则的值是 提示与答案：由，恒成立，即. 因为或，故，所以6、已知平面上两定点A（3，0），B（0，4），P为曲线上任意一点，过点P作PCx轴，PDy轴，垂足分别为C,D，则四边形ABCD面积S的最小值为 24 7、函数的值域是_.答案：.提示：因，设（），则（其中，为锐角），所以当时，当时，故8、函数的最小值为 9、设是平面上一个定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，其中，则点的轨迹为_.，即，又，为单位向量，由向量加法的平行四边形法则，知点的轨迹为的平分线.10、函数的值域是_。答案：解：令，则点的图像是单位圆位于轴上方部分，将函数改写成，它表示定点与半圆上的点所连直线的斜率，易知直角三角形中，所以，故11、若为锐角三角形，满足，则的最大值是_。答案：解：条件可化为，即，而。（当即时取得等号）12、将随机填入右图正方形ABCD的九个格子中，则其每行三数，每列三数自上而下、自左至右顺次成等差数列的概率P=_。ABDCbac答案：。解：设三行填数的和依次为，则也成等差，而，即，所以，设第二行三数顺次为，由于成等差，得，于是，的取值只有四种情况，但作为所在列的等差中项，不能取1和9；据对称性，1和9也不能在中间列，故只能在正方形的角块上，且即不同行，也不同列（否则中项为5），即1和9也不能在中间列，故只能在正方形的角块上；同理知，也不能被取到，故3，7必在正方形的另一对角顶；故填法只有右图的模式：它的各种情况，可看到将表格固定，然后将字母A放置于四角之一，再使ABCD成顺时针或反时针方向，共得8种情况（也可使ABCD位置固字，而将数表旋转和翻折）；所以。13、若正三棱锥的内切球半径为1，则其体积的最小值为_。答案：解：设正三棱锥P-ABC的底面中心为H，则内切球的球心O在PH上，若AH交BC于D，则，且球O与面PBC的切点E在PD上，今考虑截面，如图，记，正的边长为，则，由于，则，所以14、过抛物线的焦点F，作一条斜率为2的直线，若交抛物线于两点，则的面积是_。答案：解：抛物线焦点，直线AB直线方程为，代入抛物线方程，得，设，有，所以，15、数列，满足：，已知数列的前项和为，则数列的前项和_。答案：解：，所以。16、等差数列的前项和为,且.设,则当数列的前项和取得最大值时, 的值是 ( )A.23 B.25 C.23或24 D. 23或25【答案】D【解析】由得,于是且 所以最大,故选D.17、已知函数是定义在R上的奇函数,函数的图象与函数的图象关于直线对称,若则等于 ( )A.-2 B. 4 C.-4 D. 2【答案】B【解析】由函数是奇函数,可知的图象关于点(0,0)对称,则函数的图象关于点(2,1)对称. 又因为函数的图象与函数的图象关于直线对称,所以函数的图象关于点(1,2)对称.由即则,即,故选B. 18、已知向量，实数满足 的最大值为 _ 解：16，19、,则的值为 .解: ，设则 两式相加,得2注意到每个中括号中被作用的两个量的和均为1,故先考虑一般情况:由于因此2,所以20、在平面直角坐标系xO