二元一次方程组 (2).doc

二元一次方程组数学文化简介人们运用方程组解决含有多个未知数的问题已有很长的历史，这个问题对于代数学的发展起了重要的促进作用，现代高等代数中的许多内容都起源于对线性方程组的研究中国古代数学在方程及方程组的研究方面也有许多成果，例如，著名的“鸡兔同笼”问题就是可以利用方程组解决的多元问题，九章算术等古代数学著作中也记载了有关方程组的一些内容它们体现了人类对客观世界中数量关系的不断探究，从中可以看出人类追求真理的长期努力，折射出科学文明的源远流长 教材“阅读与思考 一次方程组的古今表示及解法”中，从九章算术中有关一次方程组的算筹表示和解法说起，联系现代的矩阵表示和解法，介绍了中国古代数学的光辉成就。编者希望学生通过学习本章不仅在数学知识和能力方面得到提高，而且能够受到数学文化的熏陶。数学知识与方法涉及求多个未知数的问题是普遍存在的，而方程组是解决这些问题的有力工具。本章在学生对一元一次方程已有认识的基础上，对二元一次方程组进行讨论，并在二元一次方程组的基础上，学习讨论三元一次方程组及解法。由此为今后进一步学习不等式组以及二次函数奠定基础。消元是解方程组的基本思路，代入消元、加减消元是常用消元手段.一些特殊方程组，需要抓住方程组的特点，采用灵活的解题方法，常用的特殊方法是整体消元、换元等. 例1 已知方程组，则_思路分析 本题并没有要求出的值，如果解方程组求出解，再代入求值，就走了弯路整体观察会发现两式相减，即有思考：条件不变，求_.例2 解方程组 解：将变形得 （3），96得 （4）， （4）（3）得 ，得，进而求出，所以方程组的解为.请读者体会其中的奥妙之处例3 已知关于的方程组 的解满足，求的值思路分析 一般解法是求出方程组的解(用含m的代数式表示)，然后代入，求 出的值这样做是比较复杂且难于理解的通过整体观察，整体变形后整体代入，避免了复杂繁琐的计算，简捷易懂解：85 得 ， 将代入得，从而思考：将改成，其他条件不变，求的值例4 若237，且，求的值.思路分析 解决有关比的问题，常设一份为，然后用表示题目中的未知数，从而将多元问题转化为一元问题获得解答.解：设，代入得，解得，从而，.例5 某县政府打算用25000元用于为某乡福利院购买每台价格为2000元的彩电和每台价格为1800元的冰箱，并计划恰好全部用完此款. 问原计划所购买的彩电和冰箱各多少台？由于国家出台“家电下乡”惠农政策，该县政府购买的彩电和冰箱可获得13%的财政补贴，若在不增加县政府实际负担的情况下，能否多购买两台冰箱？谈谈你的想法.思路分析 本题是以“家电下乡”惠农政策为背景的二元一次方程应用题.解题时应抓住“购买彩电和冰箱的费用之和等于25000元”列方程求解.解：设原计划购买彩电台，冰箱台，根据题意得.化简得.显然、均为正整数，经列举检验，得，.即原计划购买彩电8台，冰箱5台.由题意可知，购买这批家电可获得财政补贴为2500013%3250.由于多买的家电可获得13%的政府补贴，购买冰箱也同样可以获得13%政府补贴，实际负担为总价的87%，325087%3735.621800，所以可多购买两台冰箱，且不增加实际负担.解数学问题时，人们习惯于把它分解成若个较简单的问题,然后再分而治之，各个击破而以上有几例中都用到了整体方法.所谓整体方法，就是在解数学题时，从大处着眼，由整体入手，突出对问题的整体结构的分析和改造，把一些彼此孤立实质上紧密联系的量作为整体考虑的分析方法在整体思想的指导下，由整体出发，往往能找到简捷、准确的解题方法整体观察、整体代入、整体变形等是整体方法的具体体现练习1. 若，则2. 若与是同类项，则的值等于_.3. 解方程组：4. 若则5. 已知，求的值.6. 已知关于x、y的方程组和的解相同，求的值7. 已知方程组的解是则方程组的解是（）ABCD8. 一辆汽车从地驶往地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路.已知汽车在普通公路上行驶速度为60km/h，要高速公路上行驶速度为100km/h，汽车从地到地共行驶了2.2h.请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组解决的问题，并写出解答过程.数学拓展与提高方程组是初中数学十分重要的内容，也是中考和竞赛中常考的内容之一.解二元（或三元）一次方程组的基本思想是消元，基本方法是代入法、加减法. 未知转化为已知是把未知问题转化成在已知范围内可解的问题的一种重要思想，通过不断转化把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范、甚至模式化、简单的问题这种数学思想应用非常广泛，几乎体现在所有数学解题中由于含有两（三）个以及多个未知数的实际问题中数量关系比较多，在某些问题中数量关系比较隐蔽，所以列方程组表示问题中的数量关系通常是教学中的难点。例1解方程组思路分析本题可以考虑由式化成两个等式来解，也可考虑在式中设一个比例系数，化得三个等式来解.后一种方法过程如下：解：设得把分别减去、式，得代入得原方程组的解为例2解方程组思路分析将方程组的每个方程分别取倒数，得解关于的方程组.解：将方程组的每个方程分别取倒数，得三式相加再除以2得式分别减去、，得进而得到例3有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需315元；若购甲4件，乙10件，丙1件，共需420元现在计划购甲、乙、丙各一件，共需多少元？思路分析 如果想求出甲、乙、丙的单价后再求甲2件，乙3件，丙4件共需要多少元，就行不通了，因为条件不够所以应该将所求问题作为一个整体来考虑解：设购甲、乙、丙各1件分别需元、元、元.依题意得：即解关于和的方程组，可得故购甲、乙、丙各1件共需105元.例4 有一牧场，草每天都在均匀地生长（草每天增长的量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草.设每头牛每天吃草的量相等. 如果放牧16头牛，几天可以吃完该牧场的牧草？要使该牧场的牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？思路分析抓住“草每天增长的量相等”“每头牛每天吃草的量相等”这两个不变量，是本题求解的关键.正确列出方程是本题的重点，而求解是难点，求解时运用了“设而不求”的思想. 解：设牧场原有草量为，每天生长草量为，每头牛每天吃草量为，16头牛在天可以吃完牧草，则由第一、二两个方程得代入第三个方程得.答：放牧16头牛，18天可以吃完该牧场的牧草.设放牧头牛，牧场的牧草永远吃不完，则，所以.答：要使该牧场的牧草永远吃不完，至多放牧12头牛.例5 某人沿着电车路旁走，留心到每隔6分钟有一辆电车从后面开到前面去；而每隔2分钟有一辆电车由对面开过来.若该人和电车的速度始终是均匀的，问每隔几分钟从电车的起点站开出一辆电车？思路分析设电车的速度为米/分、人的速度为米/分，每隔分从电车的起点站开出一辆电车. 每隔6分钟有一辆电车从后面开到前面去，电车与人相隔米两地同向出发，6分钟电车追上人；每隔2分钟有一辆电车由对面开过来，电车与人相隔米两地相向而行，2分钟电车与人相遇.解：设电车的速度为米/分、人的速度为米/分，每隔分从电车的起点站开出一辆电车.则有消去得，即每隔3分钟发车一辆.例6 汽车以每小时72千米的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员揿一声喇叭，4秒后听到回响，这时汽车离山谷多远？(声音的速度以340米/秒计算)思路分析 这实际上行程问题中的相遇问题.两者分别是汽车和回响的声音. 注意单位的一致.解：设鸣笛时汽车离山谷米，听到回响是汽车又开了米，72千米/时=20米/秒，则 解得 从而. 答：听到回响时汽车离山谷640米.“观察、观察、再观察。”（巴甫洛夫）观察能导致发现。解数学题也有个从观察到发现的过程。只有对问题中的数、式、形作认真的观察，才有可能较快地获得解题途径。有些数学题，使人感到无法下手，“第一步很难”，通过仔细观察，认真审题，抓住题中某些特征之后，解题途径也就清楚了。为了抓住特征，发现解题途径，一方面要认真观察题设与结论；另一方面还依赖于我们头脑中的潜知以及联想能力。练习1. 设方程组有实数解，则_.2. 购买五种数学用具、的件数和用钱数列成下表： 品名件数总钱数第一次购件数134561992元第二次购件数1579112984元那么购买每种教具各一件共需_元.3. 甲、乙二人同解方程组，甲正确解得，乙因抄错了c，解得，求a、b、c的值4. 甲班和乙班共83人，乙班和丙班共86人，丙班和丁班共88人，问甲班和丁班共几人？5. 甲、乙、丙三种商品，若买甲4件，乙5件，丙2件，共用69元；若买甲5件，乙6件，丙1件，共用84元问买甲2件，乙3件，丙4件，共需要多少元？6. 在车站开始检票时，有（0）名旅客在候车室排队等候检票进站.设旅客按固定的速度增加，检票口的速度也是固定的.若开一个检票窗口，则需30分钟可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开两个检票窗口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，至少同时开几个检票窗口？7. 小李骑自行车从地到地，小明骑自行车从地到地，两人都匀速前进.已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36km，到中午12时，两人又相距36km.求、两地间的距离.8.甲、乙两地相距100km，某团体从甲地到乙地，团体中的一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，已知步行时速是8千米，汽车时速是40千米，问要使大家在下午4点同时到达乙地，必须在什么时候出发？答案：数学知识与方法1. 1.52. 1 3. 化简得，得，进而求得 4. 14（提示：）5. 16（解法一：将其中一个未知数当作字母已知数看待，不妨将当作已知数，解关于、的方程得，代入16. 解法二：23：16.）6. 1（提示：由得代入得两式相加得进而有）7.C（比较两个方程组，得从而)8.就“路程”提出问题：普通公路和高速公路各为多少千米？设普通公路长为km，高速公路为km.根据题意得解得答：普通公路长为60km，高速公路长为120km. 同学们试一试：就“时间”提出问题并解答.数学拓展与提高1. 0 2. 1000 3. ， 4. 85人 5. 解：设甲、乙、丙的单价分别为、，根据题意，得 32 得 答：买甲2件，乙3件，丙4件，共需要3 9元6.