高考数学二轮复习 专题二 函数与导数 第2讲 函数的应用课件 理.ppt

第2讲函数的应用 专题二函数与导数 热点分类突破 真题押题精练 热点一函数的零点1 零点存在性定理如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 且有f a f b 0 那么 函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得f c 0 这个c也就是方程f x 0的根 2 函数的零点与方程根的关系函数f x f x g x 的零点就是方程f x g x 的根 即函数y f x 的图象与函数y g x 的图象交点的横坐标 例1 1 方程ln x 1 0 x 0 的根存在的大致区间是a 0 1 b 1 2 c 2 e d 3 4 答案 解析 则f 1 ln 1 1 2 ln2 20 所以函数f x 的零点所在区间为 1 2 所以b选项正确 2 2017届河北沧州一中月考 已知定义在r上的偶函数f x 满足f x 2 f x 且当x 0 1 时 f x x 则方程f x log3 x 的解的个数是a 0b 2c 4d 6 答案 解析 思维升华 解析运用函数的奇偶性 周期性在同一平面直角坐标系中画出函数y f x y log3 x 的图象 结合图象可以看出 两个函数y f x y log3 x 有四个不同的交点 即方程f x log3 x 有四个解 故选c 思维升华函数零点 即方程的根 的确定问题 常见的有 1 函数零点大致存在区间的确定 2 零点个数的确定 3 两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定 解决这类问题的常用方法有解方程法 利用零点存在的判定或数形结合法 尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解 跟踪演练1 1 函数f x 2x 2x的零点所在的区间是a 2 1 b 1 0 c 0 1 d 1 2 答案 解析 解析f 2 2 2 2 2 0 由零点存在性定理知 函数f x 的零点在 1 0 内 故选b 2 2017届甘肃高台县一中检测 已知函数f x 满足 定义域为r x r 都有f x 2 f x 当x 1 1 时 f x x 1 则方程f x log2 x 在区间 3 5 内解的个数是a 5b 6c 7d 8 答案 解析 解析画出函数图象如图所示 由图可知 共有5个解 热点二函数的零点与参数的范围解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题 关键是利用函数方程思想或数形结合思想 构建关于参数的方程或不等式求解 例2 1 2017届山东菏泽一中宏志部月考 已知偶函数f x 满足f x 1 且当x 1 0 时 f x x2 若在区间 1 3 内 函数g x f x loga x 2 有3个零点 则实数a的取值范围是 答案 解析 3 5 思维升华 思维升华方程f x g x 根的个数即为函数y f x 和y g x 图象交点的个数 解析 偶函数f x 满足f x 1 且当x 1 0 时 f x x2 函数f x 的周期为2 在区间 1 3 内函数g x f x loga x 2 有3个零点等价于函数f x 的图象与y loga x 2 的图象在区间 1 3 内有3个交点 2 已知实数f x 若关于x的方程f2 x f x t 0有三个不同的实根 则t的取值范围为 答案 解析 2 思维升华 思维升华关于x的方程f x m 0有解 m的范围就是函数y f x 的值域 解析方法一原问题等价于f2 x f x t有三个不同的实根 即y t与y f2 x f x 的图象有三个不同的交点 当x 0时 y f2 x f x e2x ex为增函数 在x 0处取得最小值2 与y t只有一个交点 当x 0时 y f2 x f x lg2 x lg x 根据复合函数的单调性 其在 0 上先减后增 所以 要有三个不同交点 则需 t 2 解得t 2 方法二设m f x 作出函数f x 的图象 如图所示 则当m 1时 m f x 有两个根 当m 1时 m f x 有一个根 若关于x的方程f2 x f x t 0有三个不同的实根 则等价为m2 m t 0有两个不同的实数根 且m 1或m 1 当m 1时 t 2 此时由m2 m 2 0 解得m 1或m 2 满足f x 1有两个根 f x 2有一个根 满足条件 当m 1时 设h m m2 m t 则h 1 0即可 即1 1 t 0 解得t 2 综上 实数t的取值范围为t 2 跟踪演练2 1 已知函数f x 若关于x的方程f x k k 0有唯一一个实数根 则实数k的取值范围是 答案 解析 0 1 2 结合图象可以看出当0 k2时符合题设 2 2017 全国 已知函数f x x2 2x a ex 1 e x 1 有唯一零点 则a等于 答案 解析 解析方法一f x x2 2x a ex 1 e x 1 x 1 2 a ex 1 e x 1 1 令t x 1 则g t f t 1 t2 a et e t 1 g t t 2 a e t et 1 g t 函数g t 为偶函数 f x 有唯一零点 g t 也有唯一零点 又g t 为偶函数 由偶函数的性质知g 0 0 2a 1 0 解得a 故选c 方法二f x 0 a ex 1 e x 1 x2 2x 当且仅当x 1时取 x2 2x x 1 2 1 1 当且仅当x 1时取 若a 0 则a ex 1 e x 1 2a 要使f x 有唯一零点 则必有2a 1 即a 若a 0 则f x 的零点不唯一 故选c 热点三函数的实际应用问题解决函数模型的实际应用问题 首先考虑题目考查的函数模型 并要注意定义域 其解题步骤是 1 阅读理解 审清题意 分析出已知什么 求什么 从中提炼出相应的数学问题 2 数学建模 弄清题目中的已知条件和数量关系 建立函数关系式 3 解函数模型 利用数学方法得出函数模型的数学结果 4 实际问题作答 将数学问题的结果转化成实际问题作出解答 思维升华关于解决函数的实际应用问题 首先要耐心 细心地审清题意 弄清各量之间的关系 再建立函数关系式 然后借助函数的知识求解 解答后再回到实际问题中去 例3 2017届湖北孝感市统考 经测算 某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y 升 与速度x 千米 小时 50 x 120 的关系可近似表示为 解答 思维升华 1 该型号汽车速度为多少时 可使得每小时耗油量最低 解当x 50 80 时 当x 80 120 时 函数单调递减 故当x 120时 y有最小值10 因为9 10 故当x 65时每小时耗油量最低 2 已知a b两地相距120千米 假定该型号汽车匀速从a地驶向b地 则汽车速度为多少时总耗油量最少 思维升华对函数模型求最值的常用方法 单调性法 基本不等式法及导数法 解答 思维升华 当x 50 80 时 当x 120时 l取得最小值10 因为10 16 所以当速度为120千米 小时时 总耗油量最少 跟踪演练3 2017届运城期中 为了保护环境 发展低碳经济 某单位在国家科研部门的支持下 进行技术攻关 采用了新工艺 把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品 已知该单位每月的处理量最少为400吨 最多为600吨 月处理成本y 元 与月处理量x 吨 之间的函数关系可近似的表示为y x2 200 x 80000 且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元 1 该单位每月处理量为多少吨时 才能使每吨的平均处理成本最低 解答 解由题意可知 二氧化碳的每吨平均处理成本为 2 该单位每月能否获利 如果获利 求出最大利润 如果不获利 则国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损 解答 解设该单位每月获利为s 因为400 x 600 所以当x 400时 s有最大值 40000 故该单位不获利 需要国家每月至少补贴40000元 才能不亏损 真题体验 1 2016 天津改编 已知函数f x 0 x r 若f x 在区间 2 内没有零点 则 的取值范围是 答案 解析 1 2 3 因为函数f x 在区间 2 内没有零点 1 2 3 所以函数f x 在区间 2 内没有零点时 1 2 3 2 2017 山东改编 已知当x 0 1 时 函数y mx 1 2的图象与y m的图象有且只有一个交点 则正实数m的取值范围是 0 1 3 答案 解析 1 2 3 1 2 3 要使f x 与g x 的图象在 0 1 上只有一个交点 只需g 1 f 1 即1 m m 1 2 解得m 3或m 0 舍去 综上所述 m 0 1 3 1 2 3 8 答案 解析 1 2 3 解析由于f x 0 1 则只需考虑1 x 10的情况 在此范围内 x q 且x z时 若lgx q 则由lgx 0 1 1 2 3 因此lgx q 因此lgx不可能与每个周期内x d对应的部分相等 只需考虑lgx与每个周期内x d部分的交点 画出函数草图 图中交点除 1 0 外其他交点横坐标均为无理数 属于每个周期内x d部分 1 2 3 则在x 1附近仅有1个交点 因此方程解的个数为8 1 2 3 押题预测 答案 解析 押题依据函数的零点是高考的一个热点 利用函数图象的交点确定零点个数是一种常用方法 押题依据 1 2 3 1 f x 2sin x x 1的零点个数为a 4b 5c 6d 7 1 2 3 解析令2sin x x 1 0 则2sin x x 1 令h x 2sin x g x x 1 则f x 2sin x x 1的零点个数问题就转化为两个函数h x 与g x 图象的交点个数问题 1 2 3 所以两个函数图象的交点一共有5个 所以f x 2sin x x 1的零点个数为5 2 已知函数f x 若函数g x f x 2x恰有三个不同的零点 则实数a的取值范围是a 1 1 b 0 2 c 2 2 d 1 2 答案 解析 押题依据利用函数零点个数可以得到函数图象的交点个数 进而确定参数范围 较好地体现了数形结合思想 押题依据 1 2 3 1 2 3 所以g x 0的三个不同的实数根为x 2