数学教学中逆向思维的培养.pdf

第 2 4卷第 3期 2 0 0 7年 6月 邢 台 职 业 技 术 学 院 学 报 J o u r n a l o f X i n g t a i P o l y t e c h n i c C o l l e g e V b 1 2 4 No 3 J u n 2 0 0 7 数学教学中逆向思维的培养 霍凤芹 陶金瑞 河北机电职业技术学院 河北 邢台 0 5 4 0 4 8 摘要 本文从四个方面介绍了数学教学中逆向思维的培养 简述了逆向思维培养与提高学生 数学素养的关系 关键词 数学 思维 逆向思维 中图分类号 G4 2 1 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 8 6 1 2 9 2 0 0 7 O 3 加 l 4 0 3 一 逆向思维与提高数学素养 我国义务教育数学大纲中指 出 使学生受到必要的数学教育 具有一定的数学素养 对于提高全民 族素质 为培养社会主义建设人才奠定基础是十分必要的 数学素养 在我国数学教学大纲中的出现 标志着我国的数学教育要走上素质教育的轨道 随着科学技术的不断发展 市场经济 的日趋完善 社会 对人的数学素质也提 出了较高的要求 打开电脑 翻开报纸 利息利率 分期付款 股市行情 期货信 息 市场预测 投入产出 成本利润等比比皆是 现实表 明 为了适应社会 的发展和需求 数学教育必 须重视应用价值和教育功能 数学是思维的体操 通过数学课教学 有利于提高学生的思维能力 这是人们 的共识 提高学生思 维能力是提高学生数学素养的重要方面 它有利于培养和开发学生的创造性活动 一般说来 任何一位 工程师的创造能力可 以用如下的公式来估计 创造能力 知识量 发散思维力 发散思维是一种取得合理设想或猜想的思维形式 它包括着联想 想象 模拟 类推 直观推理 又 称拟真推理 和逆向思维 自然知识量越大 则联想 类比 想象 的本领就越大 从而产生新思想 新 概念和新方法的机会也就越多 逆向思维是发散思维的一种重要类型 所谓逆向思维就是在研究过程中有意去做与习惯性的思维方向 完全相反的探索 顺推不行时考虑逆推 直接解决不行时考虑间接解决 探讨可能性发生困难时考虑探 讨不可能性 当人们反复思考某个问题 陷入困境时 逆向思维往往使人顿开茅塞 本文简单介绍笔者在数学教学中对学生进行逆向思维培养的一些尝试 实践证 明 它对提高学生的数 学素养颇有益处 二 概念的逆向思维 概念是反映客观事物的共 同属性及其本质的思维形式 数学中有许多概念是逆向思维的产物 如 微 分 和 积分 收敛 与发 散 等 例 如在引 入 原函 数 与 不定 积 分概 念时 先问 什么 函 数 可以 使得 厂 x 成 立时 引 入原函 数的 概念 再 找能 使得 厂 x 成立的 一 切函 数时 就引 入了 不定 积 分的 概 念 有意识引导学生在概念课教学中开展逆 向思维 确实是引入新概念的好办法 概念又是思维的细胞 是构成判断 推理等思维形式的基本要素 通过逆向思维引入的新概念会使 学生理解得更深刻 更具体 三 关系映射反演 小 原则的培养 R M I原则是指 令 R表示一族原象 的关系结构 或原象系统 其中包括确定的原象 X M 表示 一 种映射 一一对应法则 通过它的作用原象结构系统 R被映成映象结构 其中 自然包含着未知原象 收稿 日期 2 0 0 6 一 l 2 2 l 作者简介 霍凤芹 1 9 5 4 女 河北隆尧人 河北机电职业技术学院 高级讲师 l 4 维普资讯 邢台职业技术学院学报 2 0 0 7年 第 3期 X 的映象 如果有办法把 确定下来 则通过反演即逆映射I M 也 L就相应地把 X确定下来 这一原则显然是典型的具有数学特征的逆向思维原则 它在数学教学中有着众多的应用 这里仅举一例 l 例 l在 积分变换 中按 尺 M原则求解 2 y 一3 y e 1 其初始条件为 o o Y 0 1 第 一步 明 确原 象 关系 在本 题中 未 知原 象为 z 它 所 满 足的 微分 方 程 和初 始条 件组 成原 象关 系 第 二步 应用 拉氏 变 换作 映 射 原象 z 的 映 象是 y 一 f 对 1 式两边的函数同时作拉氏变换 并考虑初始条件 利用分部积分法不难求得映象关系 y 一 l 2 y 一 3 Y S 1 第三步 从映象关系求出映象 可得 r s 1 1 s 3 8 s 1 4 s 1 l 8 3 第 四 步 求 r s 得 逆 变 换 即 拉 氏 变 换 的 反 演 利 用 拉 氏 变 换 对 照 表 可 立 即 写 出 r s 的 原 象 吉 3 2 e 这便是微分方程的解 此法可以推广到一般情形 即拉 氏变换可以用作解高阶微分方程的映射工具 事实上 映射和反演可 以赋予很广泛的含义 冈此 足 原则实际可以理解为一种包罗万象的科学方 法论原则 例如概念乃是人脑活动的最高产物 它是事物对象或事物关系在人脑中的反映 我们可以把 概念的形成过程看成是通过人脑机制活动完成的映射 于是概念便是事物原象 对象及关系 的映象 利 用概念思维 包括逻辑分析推理 得出的结论 返回到事物原型上去解决问题 这可以理解为一种反演 过程 这样看来 一般情况下通过人脑概念思维去解决实际问题的全过程 在一定条件下可以认为是 彤 原则的应用 按文献 l J 可将 R MI原则重新表述如下 对于含有某种 目标原象的关系结构 s 先设法寻找一个可确 定映射 同时考虑到 的逆映射 具有合乎 问题需要 的可行性 于是通过 关系一 映射一定映一反演 诸步骤便可把所要求的目标原象确定下来 四 反证法的培养 反证法显然是属 丁逆 向思维的推理 反证法的实质是形式逻辑 中排中律的应用 事实上 命题 P g的结论非真即假 反证法是从季出发 只要导致矛盾 或与其它真命题矛盾 或与已知事项P矛 盾 就说 明 不能成立 则 g成立便是必然的了 故此 教师要特别注意反证法是把一个命题的证明 转化为其逆否命题的证明的错误认识 有人称反证法为双向逆向思维证明法是很有道理的 下面的例 2 是构造性证法与反证法综合应用的题 目 例2 设 在l o l l 上 连续 且 l 5 维普资讯 邢台职业技术学院学报 f 厂 x a x 0 f 矿 x a x 0 p x a x 0 厂 a x 1 证 明I厂 I 2 z 1 在 0 1 上 的 某 一 部 分 上 成 立 证 考 察 积 分 f 一 吉 厂 由 条 件 知 f 一 吉 厂 1 用 反 证 法 设 在 0 1 上 处 处 有l厂 x l 2 1 于 是 r 一 专 厂 r II x 厂 2 f l 一 2 一 一 2 z z 1 z 1 n l 南 x 1 厂 x 1 与 假 设 条 件 矛 盾 厂 2 1 不 成 立 I厂 I 2 z 1 在 0 1 上 的 某 一 部 分 上 成 立 n 参考文献 1 曾晓新 解题策略的一个重要原则 逆 向思维原则 J 数学通报 1 9 8 5 9 2 褚淑华 培养学生思维能力的一些认识 J 数学通报 1 9 8 5 1 O 2 0 0 7年 第 3期 On Co n v e r s e Th o u g h t s T r a i n i n g i n M a t h s T e a c hi n g HUO Fe n g qi n TAO J i n r u i He b e i I n s t i t u t e Me c h a n i c a l a n d E l e c t r o n i c T e c h n o l o g y Xi n g t a i He b e i 0 5 4 0 0 0 C h i n a Ab s t r a c t Th i s e s s a y i n t r o d u c e s h o w t o t r a i n s t u d e n t s c o n v e r s e t h o u g h t s i n ma t h s t e a c h i n g i n f o u r a s p e c t s Th e a u t h o r s t a t e s b r i e fl y the r e l a t i o n s b e t we e n t r a i n i n g c o n v e r s e t h o