（江苏专用）高考数学大一轮复习 第五章 解三角形 第30课 正弦定理与解三角形 文.doc

第30课 正弦定理与解三角形(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修5p7例1改编)设锐角三角形abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，若a=2bsin a，则角b=.【答案】【解析】由正弦定理，可得sin a=2sin bsin a，sin b=.由b为锐角，得b=.2.(必修5p8练习1改编)在abc中，已知bc=12，a=60，b=45，那么ac=.【答案】4【解析】利用正弦定理=，得ac=4.3.(必修5p11习题6改编)在abc中，若a=2，b=3，c=，则abc的面积为.【答案】【解析】sabc=absin c=23=.4.(必修5p7例2改编)在abc中，若a=4，c=4，c=30，则角a=.【答案】60或120【解析】由正弦定理=，得sin a=，所以角a=60或120.5.(必修5p10练习5改编)在abc中，若a=60，a=，则=.【答案】2【解析】由正弦定理=2r，得=2r=2.1.利用平面几何知识及三角函数知识可以证明正弦定理.正弦定理：=2r(其中r为abc的外接圆的半径，下同).变式：(1)a=2rsin a，b=2rsin b，c=2rsin c；(2)sin a=，sin b=，sin c=；(3)abc=sin asin bsin c；(4)=(合比性质).2.利用正弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：(1)已知两角与任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).对于“已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)”的题型，可能出现多解或无解的情况.验证解的情况可用数形结合法.如：已知a，b和a，用正弦定理求b时解的情况如下：若a为锐角，则absin a无解a=bsin a一解bsin aab一解3.由正弦定理，可得三角形面积公式：sabc=absin c=bcsin a=acsin b=r(a+b+c)(r为内切圆半径).4.三角形内角定理的变形：由a+b+c=，知a=-(b+c)，可得出：sin a=sin(b+c)，cos a=-cos(b+c).而=-，有sin=cos，cos=sin.【要点导学】要点导学各个击破利用正弦定理判断三角形的形状例1在abc中，已知b=asin c，c=asin b，试判断abc的形状.【思维引导】减少角或边的个数，本题可减少边a；边角化为同一形式，如题中可把边化为角；高次可降次，如题中的单角化为倍角等.【解答】由b=asin c，c=asin b，得=.由正弦定理得=，所以sin2b=sin2c.所以=，所以cos 2b=cos 2c.又b，c是三角形的内角，所以2b=2c，所以b=c.由b=asin c，得sin b=sin asin c，所以sin a=1，所以a=，所以abc是等腰直角三角形.【精要点评】三角形形状的判断方向主要有等腰、等边、直角、锐角、钝角三角形等；主要的判断方法是借助三角函数中的各个定理及运算公式，考查边角的等量关系等.变式在abc中，已知a=2bcos c，求证：abc为等腰三角形.【解答】因为a=2bcos c，所以由正弦定理，得2rsin a=4rsin bcos c，所以2cos csin b=sin a=sin(b+c)=sin bcos c+cos bsin c.所以sin bcos c-cos bsin c=0，即sin(b-c)=0，所以b-c=k(kz).又b，c是三角形的内角，所以b=c，即abc为等腰三角形.利用正弦定理解三角形例2在abc中，根据下列条件解三角形： (1)c=，a=45，a=2；(2)c=，a=45，a=2；(3)c=3，a=45，a=2.【思维引导】三小题均属于“已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他边和角)”的题型，要先求sin c.【解答】(1)因为c=，a=45，a=2，所以由=，得sin c=.所以c=60或c=120.当c=60时，b=75，b=+1；当c=120时，b=15，b=-1.(2)同(1)可得sin c=，所以c=30或c=150.又因为c+a1，所以此三角形无解.【精要点评】解三角形问题首先要判断是否会出现多解或无解的情况：对于“已知两角与任一边，求其他两边和一角”的题型不可能有多个解，也不可能无解；对于“已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他边和角)”的题型，可能出现多解或无解的情况.验证解的情况可用数形结合法.例3(2015湖南卷)设abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，若a=btan a.(1)求证：sin b=cos a；(2)若sin c-sin acos b=，且b为钝角，求a，b，c.【思维引导】(1)由题根据正弦定理结合所给已知条件可得=，所以sin b=cos a；(2)根据两角和公式化简所给条件可得sin c-sin acos b=cos asin b=，进而可得sin2b=，结合所给角b的范围可确定角b的大小，进而可得角a的大小，由三角形内角和可得角c的大小.【解答】(1)由a=btan a及正弦定理，得=，所以sin b=cos a.(2)因为sin c-sin acos b=sin180-(a+b)-sin acos b=sin(a+b)-sin acos b=sin acos b+cos asin b-sin acos b=cos asin b，所以cos asin b=.由(1)知sin b=cos a，因此sin2b=.又因为b为钝角，所以sin b=，故b=120，由cos a=sin b=知a=30，从而c=180-(a+b)=30.综上所述，a=30，b=120，c=30.【精要点评】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷.如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；当以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.变式设abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知cos(a-c)+cos b=1，a=2c，求角c的大小.【解答】由b=-(a+c)，得cos b=-cos(a+c).于是cos(a-c)+cos b=cos(a-c)-cos(a+c)=2sin asin c，由已知得sin asin c=.由a=2c及正弦定理得sin a=2sin c.由得sin2c=，于是sin c=-(舍去)或sin c=.又因为a=2c，所以c=.利用正弦定理解三角形的面积问题例4(2015徐州、连云港、宿迁三检)在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知cos c=，sin a=cos b.(1)求tan b的值；(2)若c=，求abc的面积.【解答】(1)因为cos c=，c(0，)，所以sin c=.因为a+b+c=，所以sin a=sin(b+c)=sin bcos c+cos bsin c=sin b+cos b，所以sin b+cos b=cos b，即sin b=cos b，所以tan b=.(2)由(1)知tan b=，所以sin b=，cos b=.由正弦定理得=，所以b=.又因为sin a=cos b=，所以abc的面积为s=bcsin a=.变式(2014南京一调)在abc中，a，b，c分别为角a，b，c所对的边，且c=-3bcos a，tan c=.(1)求tan b的值；(2)若c=2，求abc的面积.【解答】(1)由正弦定理得sin c=-3sin bcos a，即sin(a+b)=-3sin bcos a.所以sin acos b+cos asin b=-3sin bcos a.从而sin acos b=-4sin bcos a.因为cos acos b0，所以=-4.又tan c=-tan(a+b)=，将变形代入得=，解得tan b=.(2)由(1)得sin b=，tan a=-2，所以sin a=， 由tan c=，得sin c=.由正弦定理得a=.所以abc的面积为s=acsin b=2=.1.(2015福建卷)在abc中，已知ac=，a=45，c=75，则bc=.【答案】【解析】由题意得b=180-a-c=60，由正弦定理得=，则bc=，所以bc=.2.在锐角三角形abc中，角a，b所对的边分别为a，b.若2asinb=b，则角a=.【答案】【解析】因为2asin b=b，所以2sin asin b=sin b.因为sin b0，所以sin a=，又因为a为锐角，所以a=.3.若=，则abc的形状是.【答案】等腰直角三角形【解析】由正弦定理得a=2rsin a，b=2rsin b，c=2rsin c，代入所给等式，可得tan b=tan c=1，注意到a，b，c是abc的内角，所以b=c=，从而abc是等腰直角三角形.4.设abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，若b=2，b=，c=，则abc的面积为.【答案】1+【解析】在abc中，由正弦定理得c=2.又因为a=-(b+c)=-=，所以sin a=，sabc=bcsin a=22=+1.5.(2015山东卷)在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c.已知cos b=，sin(a+b)=，ac=2，求sin a和c的值.【解答】在abc中，由cos b=，得sin b=.因为a+b+c=，所以sin c=sin(a+b)=，因为sin csin b，所以cb，c为锐角，cos c=.因此sin a=sin(b+c)=sin bcos c+cos bsin c=+=.由=，可得a=2c，又ac=2，所以c=1.【融会贯通】融会贯通能力提升在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且满足ccos b+bcos c=4acos a.(1)求cos a的值； (2)若abc的面积是，求的值.【思维引导】【规范答题】(1)利用正弦定理=，得sin ccos b+sin bcos c=4sin acos a，3分所以sin(b+c)=4sin acos a，即sin a=4cos asin a，5分因为sin a0，所以cos a=7分(2)由(1)得sin a=，9分由题意得sabc=bcsin a=，11分所以bc=8，12分所以=bccos a=214分趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第5960页.【检测与评估】第五章解 三 角 形第30课正弦定理与解三角形一、 填空题 1.在abc中，a=60，a=4，b=4，则角b的大小为. 2.在abc中，若sin2a+sin2bb，则角b=. 6.在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c.已知bcos c+ccos b=2b，则=. 7.在abc中，ab=，ac=1，b=30，则abc的面积等于. 8.已知abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若bcosc+ccosb=asina，则abc的形状为.二、 解答题 9.(2014全国卷)在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c.已知3acos c=2ccos a，tan a=，求角b的大小.10.已知abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，且acos b-bcos a=c，求的值.11.已知a，b，c分别为abc三个内角a，b，c的对边，且acos c+asin c-b-c=0.(1)求角a的大小；(2)若a=2，abc的面积为，求b+c.三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若=，则的值为.13.在abc中，已知a=，bc=3，则abc的周长的最大值为.【检测与评估答案】第五章解三角形第30课正弦定理与解三角形1. 45【解析】由正弦定理，可得=，即sin b=，注意到内角和为180，且ab，所以b=45.2. 钝角三角形3. 【解析】由正弦定理及3a=2b得=.4. 60或120【解析】在abc中，由正弦定理可得=，即=，解得sin c=，所以c=60或120.5. 【解析】由正弦定理及asinbcosc+csinbcosa=b，得sinb(sinacosc+sinccosa)=sinb，即sin2b=sin b，故sinb=.又因为ab，所以ab，b=.6. 2【解析】利用正弦定理，将bcos c+ccos b=2b化简得sin bcos c+sin ccos b=2sin b，即sin(b+c)=2sin b.因为sin(b+c)=sin a，所以sina=2sinb，利用正弦定理化简得a=2b，故=2.7. 或【解析】由正弦定理有=，得sin c=，即c=60或120，则a=90或30，所以abc的面积为或.8. 直角三角形【解析】由bcosc+ccosb=asina结合正弦定理得sinbcosc+sinccosb=sinasina，即sina=1，所以a=90.9. 由题设及正弦定理得3sin acos c=2sin ccos a，故3tan a=2tan c.因为tan a=，所以tan c=，所以tan b=tan18