群论在物理学中的应用—刘巍冰 3.28.doc

目录 1引言（补充本课题研究的意义、国内外的研究现状、国内外科学家对群论的重视程度、群论在科学研究方面的重要意义等内容。）2群论与量子力学的基本联系（写出群论应用于量子力学的理论基础）2.1薛定谔方程的群2.2本征函数与薛定谔方程的群（定理一、二、三）3氢原子能级偶然简并的群论解释4群论方法分析原子能级在晶体场中的分裂5简化薛定谔方程的求解过程（参考群论教材第五章第二节。）6群论方法研究问题的特点6.1群论方法研究量子力学的关键问题6.2群论方法的优缺点7结束语 批语：根据上面的目录重新设计和补充论文内容！群论在量子力学中的应用 刘巍冰1引言群论在物理中具有广泛的应用。（补充本课题研究的意义、国内外的研究现状、国内外科学家对群论的重视程度、群论在科学研究方面的重要意义等内容）2群论与量子力学的基本联系参考群论教材第五章第一节，写出群论应用于量子力学的理论基础！3氢原子能级偶然简并的群论解释在近代物理学原子物理及结构化学中都讨论到原子能级问题。由健子力学的薛定格方程求解得到某一确定能级对于若干态矢量(或波函数)。这种多个态天量处于一个能级现象称为“简并”。它表明原子的哈蜜顿(Hamiltonia二)具有某种对称性。因原子核的库仑势具球对称性故一般多电子原子态矢量由三个量子数n、1、m描述(不计自旋)。能级E(n、1)与量子数n、1有关简并度是2(1十l);但是、对于氢原子(或类氢原子)同样情况简并度却群论在近代物理中的应用高得多: 氢原子的简并度高于一般原子的现象、称为“偶然简并”。传统量子力学除了说明二子数的意义之外。无法解释偶然简并现象。早年、Panli及Fock(等人曾预言、指出可能与某些更高的对称性有关。随着群论的引入、方得到正确解释。群论指出:多电子原子其哈密顿仅具球对称、属50(3)群;氢原子(及类氢原子)哈密顿除了几何对称性之外、还有更高的对称性(即内察对称性),属于50(4)群、故其简并高于一般多电子原子。说明如下:令氢原子哈密顿算符为: 这是经典力学中:为开普勒问题,已知凡具有势能为的粒子,其轨道是椭园,引力中心在某一焦点上。在库仓势情况下体系还有一个附加的运功恒冕、即开普勒问题的尤格一楞次矢量(Runge一、Lenz)、记为:其中、.分别为动居及角动量算符。_民有对易关系:=0, 令M=,E是能最本征值,算符典有六个分魔算符。个闭合代数并对应于一个六参数李群。万ij证明为S0(4)群。它将是氢原子的动群。50(4)群是四维空间实正交群。比多电子原子的S0(3)对称性更高。它们组成一力学对称将和线性组合、令.。则新算符A、B各自具有角动量性质。因其满足对易关系 是三阶全反对称张量。以上对易关系表明A、B各自生成SO(3)群。于是、可以认为L,M生成的SO (4)群与A、B产生的SO (3)群的直积群SO(3)SO (3)同态。群论知识指出:与李群中所有生成元对易的算符称为卡什米尔算符(CaS;mirOPe卜“tor)。量子力学中凡互相刘一易的算符意味着处于共同木征态。例如SO (3)群中角动量算符与分均对易。故介是SO (3)的卡什米尔算符。且的本征道是j(j+l)氢原子属SO (4)群,令其Casimir算符为C与Cz。由同态关系SO (4)SO (3)SO (3),SO (3)的Cusimir算符,已知其本征值 ，a.b为整数或半整数。由同态关系,可得SO (4)群Casimir算子的本征值 ,经过适当的运算(过程略)C=2a(a+1)h 由卜二式氢原子能级E值:E=若令(2a+1)2=。说明氢原子能级简并度是。4群论方法分析原子能级在晶体场中的分裂量子力学的墓本问题是研究薛定格方程的解: 但是,除了极少数简单情况外,一般情况很难得到E及的精确解。群论方法可以通过找出哈密顿H的对称性,预测能量E简并情况。在单电子近似情况下、哈密顿H形式为:对于自由原子、势能项V(r)具球对称性。在三维旋转群算符作用下、具有不变性令“是坐标变换后的哈密顿算符,上式说明与()均是哈密顿的本征函数,具有相同的能提木征值E。我们称使体系保持不变的群为体系哈密顿所属的群。即若令即。则G即是哈密顿所属的群若将原子放置在具有某种对称性的晶格中,称原子处在晶体场中。由于晶格点阵对原子的作)了沙原子的哈密顿函数发生微扰变化。设微扰能狱V;自由原子的哈密顿为。,则晶体场中哈密顿为。因为微扰能的作用,从群论观点来看、自由原子的。所属的群若是G群(通常是SO (3)群).微扰能V所属的群若为s群。因为晶体场的微扰作用使对称性缩小;(由球对称”某种晶体点群对称夕。所以比较而言、G为大群、S是子群,即。群论指出、大群G的不可约表示对子群S是个可约表示。又被群S约化为若干新的不可约表示、每一个新的不可约表示代表一条新分裂的能级。在群论中称为“分歧律”。若群G=SO(3)群、不可约表示代表能量本征值E(nl),且是(2l十1)维简并。则,对子群S,一般来说是可约化的。设被群S约化为K个不可约表示。表明自由电原子的能级,在晶体场中被分裂为K条。群沦在近队物理中的应用现讨i仑一个原子处在庄立方体品体场中能级的分裂情况。白由原子哈密顿可属的洋是SO (3)群。正立方晶休属点群中的O群。二生单电子模型下、自由原子取L态、由群冷知识得SO(3)的不可约表示的特征标为:立方晶体的O群、不可约表示特征标为:E8C36C6CT11111T111-1-1T2-1200T30-1-113011-1 显然群为S0(3)的子群。现在间题归结为将S0(3)群的不可约表示约化为0群的不可约表示(利用特征标及群论公式一过程略)由SO(3)的约化态 表示分裂 裂图。 自由电子 立方晶体 三角晶体 SO（3）群 O群 群S态- - - A P态- - E D态- E EF态- T 3群论在固体物理学的应用晶体中电子的能量本征方程在BZ中，随着波矢的变化，例如，由点经轴到X点，波矢群不同，能量的简并度不同；作为波矢准连续函数的本征函数，随着波矢的变化，本征函数依各不相同的波矢群的不可约表示基函数由点到轴变化简立方晶体的空间群为；点：，有10个不可约表示；轴：，有5个不可约表示；当波矢由点变化到轴，对称性降低，能量可能分裂；例如（）（） （p199）记作 （p354）对于波函数来说，依的及变换的对称性，与依群的变换的对称性是相容的。或者说：群的不可约表示及，与群的不可约表示是相容的。还有 或 等。注意：波矢具有波矢群对称性，波矢群的维不可约表示对应于的重简并；同时，波矢星中个不等价波矢具有相同能量得到能量是 重简并的。这里讨论的相容性、能量简并及其分裂，只是一个确切的波矢方向上的重简并的变化。轴：，有3个不可约表示；当波矢由点变化到轴，对称性降低，能量可能分裂；例如群的不可约表示与群的不可约表示是相容的；群的不可约表示及，与群的不可约表示是相容的。另外，轴：，有4个不可约表示；参考文献2Weyl.I王.(The、r了of:roupondquantummeehanies2H.BaergLeetureSongrouptheoryandpartie1etheory。univer-5ityof五larseilles3Hamermesh,MGrouptheoryandit,sapplieationtophys;ealproblemNewyo