《实变函数》综合训练题(二)及解答.doc

实变函数综合训练题（二）（含解答）一、选择题（单选题）1、下列集合关系成立的是（ A ）（A） （B） （C） （D）2、若是闭集，则（ B ）（A）的内部 （B） （C） （D）3、设是有理数集，则（ C ）（A） （B）是闭集 （C） （D）是不可数集4、设为上的连续函数，为任意实数，则（ D ）（A）是开集 （B）是开集（C）是闭集 （D）是开集5、 设是中的可测集，都是上的可测函数，若，则（ A ）（A）于 （B）在上， （C）在上， （D）在上，二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）1、设是中的有理点全体，则（C、D）（A）是闭集 （B）中的每一点都是内点 （C）是可数集 （D）2、若的外测度为零，则（ B、D ）（A）一定是可数集 （B）一定是可测集 （C）不一定是可数集 （D） 3、设，函数列为上几乎处处有限的可测函数列，为上几乎处处有限的可测函数，若，则下列哪些结论不一定成立（A、B、C、D）（A）存在 （B）在上可积 （C） （D） 4、若在可测集上有积分值，则（A、C ）（A）和中至少有一个在上可积 （B）和都在上可积（C）在上也有积分值 （D）在上一定可积5、设是的绝对连续函数，则（ A、B、C ）（A）是上的连续函数 （B）是上的一致连续函数（C）是上的有界变差函数 （D）在上处处可导三、填空题（将正确的答案填在横线上）1、 设，是两个集合，则 2、设，如果满足，则是 开 集。3、设为直线上的开集，若开区间满足和 ，则 必为的 构成 区间。4、设是偶数集，则则的基数 （其中表示可数基数）。5、设，为可数集，且，则。6、设是可测集上的可测函数，则对任意实数，（），都有是 可测集 。7、若是可数集，则。8、设函数列为可测集上的可测函数列，是上的可测函数，如果，则 不一定成立 。9、设是上的非负可测函数，则在上的积分的值 一定存在 。10、若是上的有界变差函数，则必可表示成两个 递增函数的差（或递减函数的差） 。四、判断题（正确的打“”，错误的打“”）1、可列（数）个开集的交集仍为开集。 （ ）2、任何无限集均都是可数集。 （ ）3、设是可测集，则一定存在型集，使得，且。（ ）4、设是可测集，则是上的可测函数对任意实数，都有是可测集。 （ ）5、设是可测集上的可测函数，则一定存在。 （ ）五、简答题1、简述无穷多个闭集的并集是否必为闭集？答：不一定为闭集。例如 取上一列闭集为，而是开集，不是闭集。2、可测集上的可测函数与连续函数有何关系？答：连续函数是可测函数；可测函数不一定连续；可测函数在上是“基本上”连续的。3、上的绝对连续函数与有界变差函数有何关系？答：绝对连续函数是有界变差函数；有界变差函数不一定是绝对连续函数。六、计算题1、设，其中是康托集，求。解：因为，所以于，于是再由积分与积分的关系得。2、设，求。解：因为，而所以，由控制收敛定理七、证明题1、证明集合等式：证明：（方法1）对任意，有且，即且，所以 且，即。反之，对任意，有且，即且，所以且，即，综上所述，。（方法2）。2、设，且，则是可测集。证明： 对任意，显然又（因为），从而所以（因为）所以，即是可测集。3、证明：上的单调函数必为上的可测函数。证明：不妨设是单调递增函数，对于任意实数，记，由于是单调递增函数，显然是可测集。所以必为上的可测函数。4、设是可测集上的可测函数，则在上可积在上可积。证明：必要性：因为在上可积，则和而，所以，即在上可积。充分性：因为，且，则 ，。所以在上可积。5、设可测集上的非负可测函数列，且（）， 存在使得，记，则在上勒贝格可积，且。证明：不妨设，由题设注意到单调递减可得，且在上恒有，于是，由勒贝格控制收敛定理得，在上勒贝格可积，且。6、 设，为上几乎处处有界的可测函数列，证明：在上的充要条件是。证明：先证。事实