2009年全国高中数学联合竞赛(一试试题解答集锦).pdf

5 6 中学数学教学参考 2 0 o9年 第 l l 期 f上 旬 竞赛之路 每 痛枣熬尝 禽 一 溉 武 眉 簪 翁 岛 刘康 宁 陕 西 省数学 竞赛 委员 会 贾柏 玲 西 北工 业大 学 附属 中学 今年 的全 国高 中数学联 赛 由 中国数 学 会 主办 黑 龙江省数学竞赛委员会承办 试卷仍分为一试和加试 两部 分 与 往年 不 同的 是 今 年 的 试 题 从题 型 题 量 分值 到考试 时 间 都 作 了重 大 的调 整 一 试 去 掉 了选 择题 满分 由 1 5 0分减 少到 1 o o分 考试 时间也 由 1 0 0 分钟减少为 8 0分钟 加试增 加 了一道 大题 满 分 由 1 5 O分调 整为 2 0 0分 考试 时间 由 1 2 0分钟增 加到 1 5 0分钟 下 面 给 出一 试 试 题 的解 答 和 一 些 巧 思 妙解 一 填 空 题 本 大题 共 8小题 每 小题 7分 共 5 6分 若 函 数 f 一 且 厂 z 一 厂 厂 厂 厂 贝 0 f 1 一 基 本 解 法 f 一 f x 志 f E f x 一 志 类 似 地 有f z 一 志 厂 z 一 三 故 1 一 1 0 说明 这是一道常见 的函数迭代问题 解题 的基 本 思想是 归纳 猜想 2 已 知 直 线 Z Y一 9 0和 圆 M 2 2 一 8 lz 8 一1 0 点 A 在 直线 Z 上 B C为圆 M 上 两 点 在 ABC中 B AC 4 5 AB过 圆心 M 则 点 A 横 坐标 范 围为 基本 解 法 设 A a 9 一a 则 圆心 M 2 2 到直线 AC的距离 为 d一 1 AM i s i n 4 5 一 1 AM 1 由于直线 AC与圆 M 相交 所 以 一 从 而 I AMI r 即 了 解得 3 n 6 3 在 坐 标 平 面 上 有 两 个 区 域M和 N M f O 为 l 2 3 5 N是随 t 变化 的区域 它 由不等 式 t 1所 确 定 t 的取 值 范 围是 0 1 设 M 和 N 的公 共面积是函数f t 则 厂 f 基本 解 法 依 题 意 区 域 M 是 图 1中 的等腰 R t X O AB 区域 图 1 N 是 直线 2 12 一t 与 t 1 0 f 1 之 间 的带 形 域 M 与 N 的公 共 部 分 为 图 中 所 示 的 阴影 部 分 五 边 形 ACDEF 包括 边界 厂 5 D F S mB S O D C S 雎F 1 一寺 1 1 一 一 t 十 十 巧思妙 解 关 于 五 边 形 AC DE F 面 积 的 计 算 还 可 以有如 下两 种途径 方法 1 过点 A作 z轴的垂线 将其分割为两个 直角 梯形来 计算 方法 2 连结 C F 将其 分割 为一个直 角三角形 C AF和一个直角梯形 C DE F去求解 说 明 本题 的 出处 可参考 文 1 4 使 不 等 式 丽1 厂 斗 1 一 厂 1 1 一 1 一 巧 一 1 o 厂 1 5 即 2 0 0 8 吉 故 最小 正整数 n的值 为 2 0 0 9 5 椭圆 菩 1 6 0 上任意两点P Q a 若 0P上 则 乘 积 0 P I I O Q l 的 最 小 值 为 一 基 本 解 法 设P O P l C O S 0 l OP I s i n 0 Q 1 Q 1 c s 号 j O Q I s in 号 代 入 X 2 十 1 得 一 一 上 1 OP b 1 s i n 0 C OS f OQf z b 两式相 加 得 1十 1 1 1 6 0 P i O Q 丽 O P I I j l B 4 l I Qj n f 一 当 且 仅 当 1 0 P 一 I o Q I 一 时 上 式 等 号 成 立 即 f J P i f Qf 的最小值 为 2 a 干 2 b 2 巧思 妙解 设 P a c o s 口 b s i n a Q a c o s b s i n 则 0 0 1 l s 一 1 b s i n a 一 丢 6 I c s s in 卢 一 s in 1 又 s 一一 1 OPI l QI l O P I o QI d 6 C O S 口s i n 一s i n口 c o s p I O P O Q C O S g C O S l 9 6 s i n a s i n 一0 问题转化 为 在 的条 件下求 的最 小值 留给读 中学数学教学4 4 5 7 2 o o9 B5 1 1 期 L 亡旬 l 6 若 方程 l g k r 一2 1 g 1 仅 有 一个 实 根 那 么 k的取值 范 围是 f 是 0 基本解法 原方程等价于 1 o k r 一 2 1 由 得 3 1 2 k 1 0 1 解得 一 是 一2 七 一4 k 厶 由 A k 一4 k 0 得 是 0或 是 4 当 0时 2 l 2 一k 一2 d z 同为负 根 又 l 十 1 0 2 1 4时 3 2 1 2 一k 一2 0 1 2 1 0 z 同为正根 且 不合题 意 综 上所 述 是 4时 直线 与 抛 物线 在 第一象限内有两个不同的交点 则 图2 原 方程 有两个不 同的 实根 不 合题 意 当 k 0时 直 线 与抛物 线弧在 第二象 限有 一个 交点 则原 方 程 只有 一 个实 根 综上 所述 k O 将 k x m 代入 一 y Z 一1 得 3一 是 一 2 kmx m 一 1 2 0 设 c D 则 z 2 4 k 4 3 一是 十1 2 0 面 0 3 一I r 1 4 一 2 一0 即 工 1 q z 2 一z 3 4 8 k m 2 km 3 4 k 3 k 2 k m 0或 一 一 竞赛之路 考 讨 在 0 镜 是 一0或 l r l 一0 后者 无实 根 当 走 一0时 由 得一2 3 m 2 3 由于 m 为整 数 所 以 的值 为 一3 一2 一1 0 1 2 3 当 m一0时 由 得一 3 是 3 由于 是为 整数 所 以 是的值为 一1 0 1 综 上 可知 满足 条件 的直 线共 有 9条 2 本 小题 满分 1 5分 已知 户 q q 0 是 实数 方程 一 z q 一0有 两 个 实 数 数 列 n 满 足 n1 一 p 2 一 p 一 q 口 一 pa 1 一 q a 一 2 一 3 4 I 求数 列 a 的通项公 式 用 a 表示 1I 若 户 一1 q 求 的前 项和 说 明 本题 为 2 0 0 8年 高 考数 学 广 东 卷 理科 第 2 1 题 故 解 答从 略 3 本 小 题 满 分 1 5分 求 函 数 y一 z 2 7 1 3 一 十 的最大值和最小值 基本 解法 函数 的定 义域为 O 1 3 一 方面 一 再 一 z 2 7 1 3 2 1 3 一 一3 r 当且仅当 一0时 上式等号成立 y 一3 3 1 3 另 一方 面 由柯西 不 等式 得 Y 一 而 二 1 十 i 十 百 1 2 x x 2 7 3 1 3 一 lz 一 1 21 1 1 当且仅 当 4 x 一9 1 3 一z 一 2 7 2 7 即 当 z一9时 上式取 等 号 Y 一 1 1 巧思妙解 函数的定义域为 O 1 3 x ff 0 1 3 时 一 1一 1十 令 一0 得 5 C 一9 当 O 9时 y 一0 当 9 x