高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 1.4 不等式的证明（三）课件 北师大版选修45.ppt

4不等式的证明 三 学习目标 1 理解反证法和放缩法的概念 2 会用反证法和放缩法证明较简单的不等式 预习自测 1 放缩法 将所要证明的不等式 通过 或 分式的分母 或分子 或通过 或 被减式 或减式 来证明不等式 2 几何法 通过构造几何图形 利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为几何法 3 反证法 反证法是常用的证明方法 它是通过证明命题结论的 不能成立 来肯定命题结论一定 其证明的步骤是 1 作出否定结论的假设 2 进行推理 导出矛盾 3 否定假设 肯定结论 缩小 放大 放大 缩小 否定 成立 自主探究 1 哪些命题或不等式适合用反证法证明 提示存在性命题 否定性命题 唯一性命题或结论中出现 至少 至多 全都 等字词的命题或不等式 2 用反证法证明不等式时 推出的矛盾通常有哪几种类型 提示推导出的矛盾可能多种多样 有的与已知矛盾 有的与假设矛盾 有的与已知事实相违背等等 推导出的矛盾必须是明显的 3 你能归纳出常用的放缩方法有哪些吗 提示 1 舍掉 或加进 一些项 2 在分式中放大或缩小分子或分母 3 应用基本不等式放缩 如a2 b2 2ab 典例剖析知识点1放缩法证明不等式 反思感悟 用放缩法证明不等式的过程中 往往采用添项 添舍 放缩 分项放缩 函数的单调性放缩 重要不等式放缩等 放缩时要注意适度 否则不能同向传递 知识点2几何法证明不等式 反思感悟 本例中待证的不等式类似于三角形的三边关系 又每个根号内的多项式具有余弦定理的结构形式 注意到这两点 证题思路就会跃然纸上 2 已知 a b r且a b 知识点3反证法证明不等式 例3 已知 a b c 0 ab bc ca 0 abc 0 求证 a 0 b 0 c 0 证明假设a b c不全是正数 即至少有一个小于或等于0 又abc 0 不妨假设a a 0 a b c 0 a b c 0矛盾 假设不成立 故a 0 b 0 c 0成立 反思感悟 用反证法证明不等式 其实质是从否定结论出发 通过逻辑推理 导出与已知条件或公理相矛盾的结论 从而肯定原命题成立 课堂小结 1 放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一 放缩必须有目标 而且要恰到好处 目标往往要从证明的结论考察 常用的放缩法有增项 减项 利用分式的性质 利用不等式的性质 利用已知不等式 利用函数的性质进行放缩等 2 利用几何法要抓住待证不等式的结构特点充分类比 联想 转化到已知的几何图形 结论 定理上 然后构造几何图形 将要证的不等式转化为图形上的问题予以解决 从而将数与形有机地结合起来 3 用反证法证明不等式要把握三点 1 必须先否定结论 即肯定结论的反面 当结论的反面呈现多样性时 必须罗列出各种可能结论 缺少任何一种可能 反证都是不完全的 2 反证法必须从否定结论进行推理 即应把结论的反面作为条件 且必须根据这一条件进行推证 否则 仅否定结论 不从结论的反面出发进行推理 就不是反证法 3 推导出的矛盾可能多种多样 有的与已知矛盾 有的与假设矛盾 有的与已知事实相违背等等 推导出的矛盾必须是明显的 随堂演练 1 设a b c 0 p a b c q b c a r c a b 则 pqr 0 是 p q r同时大于零 的 a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充分且必要条件d 既不充分又不必要条件 解析必要性是显然成立的 当pqr 0时 若p q r不同时大于零 则其中两个为负 一个为正 不妨设p 0 q0矛