高中数学 模块复习课3 导数的应用及定积分的简单应用课件 北师大版选修22.ppt

第3课时导数的应用及定积分的简单应用 知识网络 要点梳理 答案 用导数求函数的单调区间 函数的极值 函数的最值 速度 加速度 降雨强度 边际成本 1 知识网络 要点梳理 答案 面积问题 定义 性质 微积分基本定理 平面图形的面积 知识网络 要点梳理 1 利用导数研究函数的单调性的步骤 1 找出函数f x 的定义域 2 求f x 3 在定义域内解不等式f x 0 f x 0 2 求可导函数f x 极值的步骤 1 求函数的导数f x 2 令f x 0 求出全部的根x0 3 列表 方程的根x0将整个定义域分成若干个区间 把x f x f x 在每个区间内的变化情况列在同一表格内 4 判断得结论 若导数在x0附近左正右负 则在x0处取得极大值 若导数在x0附近左负右正 则在x0处取得极小值 知识网络 要点梳理 3 求函数f x 在 a b 上最值的步骤 求函数y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤如下 1 求f x 在 a b 内的极值 2 将f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 4 求定积分的三种方法 1 利用定义求定积分 定义法 可操作性不强 2 利用微积分基本定理求定积分 知识网络 要点梳理 5 利用定积分求平面图形的面积 在直角坐标系中 由曲线f x 直线x a x b a b 和x轴围成的曲边梯形的面积的求法分为以下几种情况 知识网络 要点梳理 3 如果在区间 a b 上 f x 有正有负 即曲线在x轴上方和下方都有图像 如函数f x 的图像在区间 a c 上位于x轴上方 在区间 c b 上位 4 由曲线y f x y g x f x g x 与直线x a x b a b 围成的图形 如图 的面积为 知识网络 要点梳理 思考辨析判断以下说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 因为函数f x x3的导数f x 3x2 0 所以函数f x x3在r上是增加的 2 在开区间 a b 内连续的函数f x 若只有某一点处存在极大值 或极小值 则函数f x 在该点处取得最大值 或最小值 3 导函数的值为0的点必定是函数的极值点 4 在某区间内函数的极大值和极小值一定是唯一的 专题归纳 高考体验 专题一函数的单调性与导数 例1 已知a r 求函数f x x2eax的单调区间 注y eax a为常数 的导数y aeax 解 因为函数f x 的导数为f x 2xeax ax2eax 2x ax2 eax 1 当a 0时 若x0 则f x 0 所以 当a 0时 函数f x 在区间 0 上是减少的 在区间 0 上是增加的 专题归纳 高考体验 反思感悟求单调区间 或证明单调性 只需在函数f x 的定义域内解 或证明 不等式f x 0或f x 0 若含有参数 需对参数进行分类讨论 专题归纳 高考体验 变式训练1已知函数f x 4x2 4ax a2 其中a 0 1 当a 4时 求f x 的递增区间 2 若f x 在区间 1 4 上的最小值为8 求a的值 解 1 当a 4时 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 f 4 2 64 16a a2 8 解得a 10或a 6 舍去 而当a 10时 f x 在 1 4 上是减少的 f x 在 1 4 上的最小值是f 4 8 符合题意 a 10 专题归纳 高考体验 专题二可导函数的极值与最值 例2 已知函数f x x alnx a r 1 当a 2时 求曲线y f x 在点a 1 f 1 处的切线方程 2 求函数f x 的极值 f 1 1 f 1 1 y f x 在点a 1 f 1 处的切线方程为y 1 x 1 即x y 2 0 专题归纳 高考体验 当a 0时 f x 0 函数f x 在 0 上是增加的 函数f x 无极值 当a 0时 由f x 0解得x a x 0 a 时 f x 0 f x 在x a处取得极小值 且极小值为f a a alna 无极大值 综上所述 当a 0时 函数f x 无极值 当a 0时 函数f x 在x a处取得极小值a alna 无极大值 反思感悟求函数的极值应先确定函数的定义域 再解方程f x 0 再判断f x 0的根是不是极值点 可通过列表的形式进行分析 若遇极值点含参数不能比较大小时 则需分类讨论 专题归纳 高考体验 1 如果g x f x 2x 3在x 2处取得最小值 5 求f x 的解析式 2 如果m n 10 m n n f x 的递减区间的长度是正整数 试求m和n的值 注 区间 a b 的长度为b a 解 1 由题意得g x x2 2 m 1 x n 3 x m 1 2 n 3 m 1 2 已知g x 在x 2处取得最小值 5 专题归纳 高考体验 2 因为f x x2 2mx n 且f x 的递减区间的长度为正整数 故f x 0一定有两个不同的根 从而 4m2 4n 0 即m2 n 故m 2时才可能有符合条件的m n 当m 2时 只有n 3符合要求 当m 3时 只有n 5符合要求 当m 4时 没有符合要求的n 综上所述 只有m 2 n 3或m 3 n 5满足上述要求 专题归纳 高考体验 专题三导数与不等式 例3 已知函数f x ex ax a为常数 的图像与y轴交于点a 曲线y f x 在点a处的切线斜率为 1 1 求a的值及函数f x 的极值 2 证明 当x 0时 x2 ex 3 证明 对任意给定的正数c 总存在x0 使得当x x0 时 恒有x2 cex 专题归纳 高考体验 1 解 由f x ex ax 得f x ex a 又f 0 1 a 1 得a 2 所以f x ex 2x f x ex 2 令f x 0 得x ln2 当xln2时 f x 0 f x 是增加的 所以当x ln2时 f x 取得极小值 且极小值为f ln2 eln2 2ln2 2 ln4 f x 无极大值 2 证明 令g x ex x2 则g x ex 2x 由 1 得g x f x f ln2 0 故g x 在r上是增加的 又g 0 1 0 因此 当x 0时 g x g 0 0 即x2 ex 专题归纳 高考体验 3 证明 方法一 若c 1 则ex cex 又由 2 知 当x 0时 x20时 x2 cex 取x0 0 当x x0 时 恒有x2 cex 只要ex kx2成立 而要使ex kx2成立 则只要x ln kx2 只要x 2lnx lnk成立 所以当x 2时 h x 0 h x 在 2 内是增加的 取x0 16k 16 所以h x 在 x0 内是增加的 又h x0 16k 2ln 16k lnk 8 k ln2 3 k lnk 5k 易知k lnk k ln2 5k 0 所以h x0 0 专题归纳 高考体验 综上 对任意给定的正数c 总存在x0 当x x0 时 恒有x2 cex 因此 对任意给定的正数c 总存在x0 当x x0 时 恒有x2 cex 专题归纳 高考体验 由 2 知 当x 0时 x2 ex 从而h x 0 h x 在 0 内是减少的 因此 对任意给定的正数c 总存在x0 当x x0 时 恒有x2 cex 专题归纳 高考体验 反思感悟1 不等式的证明问题可以从所证不等式的结构和特点出发 结合已有的知识利用转化与化归思想 构造一个新的函数 再借助导数确定函数的单调性 利用单调性实现问题的转化 从而使不等式得到证明 其一般步骤是 构造可导函数 研究单调性或最值 得出不等关系 整理得出结论 2 不等式恒成立问题若f x a或g x a恒成立 只需满足f x min a或g x max a即可 利用导数方法求出f x 的最小值或g x 的最大值 从而问题得解 专题归纳 高考体验 变式训练3已知函数f x x 1 lnx x 1 1 若xf x x2 ax 1 求a的取值范围 2 证明 x 1 f x 0 xf x xlnx 1 故xf x x2 ax 1等价于lnx x a 令g x 0 解得x 1 f x 的定义域为 0 当00 当x 1时 g x 0 故x 1是g x 的极大值点 且是最大值点 则g x g 1 1 综上 a的取值范围是 1 专题归纳 高考体验 2 证明 由 1 知 g x g 1 1 即lnx x 1 0 当0 x 1时 f x x 1 lnx x 1 xlnx lnx x 1 0 x 1 f x 0 专题归纳 高考体验 专题四利用求导解应用题 例4 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层 某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层 每厘米厚的隔热层建造成本为6万元 该建筑物每年的能源消耗费用c 单位 万元 与隔热层厚度x 单位 cm 满足关系 c x 0 x 10 若不建隔热层 每年能源消耗费用为8万元 设f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和 1 求k的值及f x 的表达式 2 隔热层修建多厚时 总费用f x 达到最小 并求最小值 分析 本小题主要考查函数 导数等基础知识 同时考查运用数学知识解决实际问题的能力 可根据题意得出f x 的解析式 再利用导数解决 专题归纳 高考体验 解 1 设隔热层厚度为xcm 由题设 每年能源消耗费用为 专题归纳 高考体验 反思感悟利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 1 分析实际问题中各量之间的关系 找出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系y f x 根据实际意义确定定义域 2 求函数y f x 的导数f x 解方程f x 0得出定义域内的实根 确定极值点 3 比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小 获得所求的最大 小 值 4 还原到原实际问题中作答 专题归纳 高考体验 变式训练4某商场销售某种商品的经验表明 该商品每日的销售量y 单位 千克 与销售价格x 单位 元 千克 满足关系式y 10 x 6 2 其中3 x 6 a为常数 已知销售价格为5元 千克时 每日可售出该商品11千克 1 求a的值 2 若该商品的成本为3元 千克 试确定销售价格x的值 使商场每日销售该商品所获得的利润最大 专题归纳 高考体验 2 10 x 3 x 6 2 30 函数f x 在 3 4 上是增加的 当4 x 6时 f x 0 函数f x 在 4 6 上是减少的 当x 4时 函数f x 取得最大值f 4 42 当销售价格为4元 千克时 商场每日销售该商品所获得的利润最大 专题归纳 高考体验 专题五定积分的计算 例5 求下列定积分 分析 先由定积分性质将其分解 然后由牛顿 莱布尼茨公式求解 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 反思感悟用牛顿 莱布尼茨公式求定积分的步骤 1 把被积函数变形为幂函数 正弦函数 余弦函数 指数函数与常数的积的和或差 2 把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分 3 分别用求导公式找到一个相应的原函数 4 利用牛顿 莱布尼茨公式求出各个定积分的值 5 计算原始定积分的值 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 专题六定积分的应用 例6 如图所示 由两条曲线y x2 4y x2以及直线y 1所围成的平面图形的面积为 专题归纳 高考体验 解析 所围成的平面图形的面积 记为s 由两部分组成 一部分是y轴右边的图形的面积 记为s1 另一部分是y轴左边的图形的面积 记为s2 答案 b反思感悟利用定积分求平面图形的面积 在高考中多以选择题 填空题的形式出现 难度较小 专题归纳 高考体验 变式训练6求由曲线y x2 直线y 2x和y x围成的图形的面积 专题归纳 高考体验 考点一 利用导数研究函数的单调性1 2016全国乙高考 若函数f x x sin2x asinx在 单调递增 则a的取值范围是 专题归纳 高考体验 方法一 则由题意可得 当cosx 1时 f x 0 当cosx 1时 f x 0 专题归纳 高考体验 答案 c 专题归纳 高考体验 2 2016全国甲高考 已知函数f x x 1 lnx a x 1 1 当a 4时 求曲线y f x 在 1 f 1 处的切线方程 2 若当x 1 时 f x 0 求a的取值范围 解 1 f x 的定义域为 0 当a 4时 f x x 1 lnx 4 x 1 f x lnx 3 f 1 2 f 1 0 曲线y f x 在 1 f 1 处的切线方程为2x y 2 0 2 当x 1 时 专题归纳 高考体验 当a 2 x 1 时 x2 2 1 a x 1 x2 2x 1 0 故g x 0 g x 在 1 单调递增 因此g x 0 当a 2时 令g x 0得 由x2 1和x1x2 1得x1 1 故当x 1 x2 时 g x 0 g x 在 1 x2 单调递减 因此g x 0 综上 a的取值范围是 2 专题归纳 高考体验 解 1 f x 的定义域为 0 当a 0时 x 0 1 时 f x 0 f x 单调递增 x 1 时 f x 0 f x 单调递减 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 则f x f x g x h x 专题归纳 高考体验 因为 1 1 2 10 所以 x0 1 2 使得x 1 x0 时 x 0 x x0 2 时 x 0 所以h x 在 1 x0 内单调递增 在 x0 2 内单调递减 专题归纳 高考体验 4 2016北京高考 设函数f x xea x bx 曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为y e 1 x 4 1 求a b的值 2 求f x 的单调区间 解 1 因为f x xea x bx 所以f x 1 x ea x b 解得a 2 b e 专题归纳 高考体验 2 由 1 知f x xe2 x ex 由f x e2 x 1 x ex 1 及e2 x 0知 f x 与1 x ex 1同号 令g x 1 x ex 1 则g x 1 ex 1 所以 当x 1 时 g x 0 g x 在区间 1 上单调递增 故g 1 1是g x 在区间 上的最小值 从而g x 0 x 综上可知 f x 0 x 故f x 的单调递增区间为 专题归纳 高考体验 考点二 利用导数研究函数的极值与最值5 2017全国 高考 若x 2是函数f x x2 ax 1 ex 1的极值点 则f x 的极小值为 a 1b 2e 3c 5e 3d 1 专题归纳 高考体验 解析 由题意可得 f x 2x a ex 1 x2 ax 1 ex 1 x2 a 2 x a 1 ex 1 因为x 2是函数f x 的极值点 所以f 2 0 所以a 1 所以f x x2 x 1 ex 1 所以f x x2 x 2 ex 1 令f x 0 解得x1 2 x2 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 所以当x 1时 f x 有极小值 并且极小值为f 1 1 1 1 e1 1 1 故选a 答案 a 专题归纳 高考体验 6 2016全国乙高考 函数y 2x2 e x 在 2 2 的图像大致为 专题归纳 高考体验 解析 特殊值验证法 取x 2 则y 2 4 e2 8 2 7182 0 6 0 1 排除a b 当0 x 2时 y 2x2 ex 则y 4x ex 由函数零点的判定可知 y 4x ex在 0 2 内存在零点 即函数y 2x2 ex在 0 2 内有极值点 排除c 故选d 答案 d 专题归纳 高考体验 1 若a 0 则f x 的最大值为 2 若f x 无最大值 则实数a的取值范围是 解析 令g x x3 3x x 2x 由g x 3x2 3 0 得x 1 可判断当x 1时 函数g x 的极小值为 2 当x 1时 函数g x 的极大值为2 且g x 与x轴的交点为 0 0 0 0 又g x 与 x 图像的交点为a 1 2 o 0 0 b 1 2 故可作出函数g x 与 x 的大致图像如图所示 专题归纳 高考体验 2 由图像知 当a 1时 f x 有最大值f 1 2 当a 1时 有a3 3a 2a 此时f x 无最大值 a的取值范围是 1 答案 1 2 2 1 专题归纳 高考体验 8 2016北京高考 设函数f x x3 ax2 bx c 1 求曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程 2 设a b 4 若函数f x 有三个不同零点 求c的取值范围 3 求证 a2 3b 0是f x 有三个不同零点的必要而不充分条件 解 1 由f x x3 ax2 bx c 得f x 3x2 2ax b 因为f 0 c f 0 b 所以曲线y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为y bx c 2 当a b 4时 f x x3 4x2 4x c 所以f x 3x2 8x 4 专题归纳 高考体验 f x 与f x 在区间 上的情况如下 使得f x1 f x2 f x3 0 专题归纳 高考体验 3 当 4a2 12b0 x 此时函数f x 在区间 上单调递增 所以f x 不可能有三个不同零点 当 4a2 12b 0时 f x 3x2 2ax b只有一个零点 记作x0 当x x0 时 f x 0 f x 在区间 x0 上单调递增 当x x0 时 f x 0 f x 在区间 x0 上单调递增 所以f x 不可能有三个不同零点 综上所述 若函数f x 有三个不同零点 则必有 4a2 12b 0 故a2 3b 0是f x 有三个不同零点的必要条件 当a b 4 c 0时 a2 3b 0 f x x3 4x2 4x x x 2 2只有两个不同零点 所以a2 3b 0不是f x 有三个不同零点的充分条件 因此a2 3b 0是f x 有三个不同零点的必要而不充分条件 专题归纳 高考体验 9 2016全国丙高考 设函数f x cos2x 1 cosx 1 其中 0 记 f x 的最大值为a 1 求f x 2 求a 3 证明 f x 2a 解 1 f x 2 sin2x 1 sinx 2 分类讨论 当 1时 f x sin2x 1 cosx 1 2 1 3 2 f 0 因此a 3 2 当0 1时 将f x 变形为f x 2 cos2x 1 cosx 1 构造函数 令g t 2 t2 1 t 1 则a是 g t 在 1 1 上的最大值 专题归纳 高考体验 g 1 g 1 2 3 g 1 g 1 所以a 2 3 专题归纳 高考体验 专题归纳 高考体验 3 由 1 得 f x 2 sin2x 1 sinx 2 1 所以 f x 1 2a 当 1时 f x 3 1 6 4 2a 所以 f x 2a 专题归纳 高考体验 考点三 导数与不等式10 2016全国丙高考 设函数f x lnx x 1 1 讨论f x 的单调性 3 设c 1 证明当x 0 1 时 1 c 1 x cx 解 1 导数与函数的单调性 由题设 f x 的定义域为 0 f x 1 令f x 0解得x 1 当00 f x 单调递增 当x 1时 f x 0 f x 单调递减 专题归纳 高考体验 2 由 1 知f x 在x 1处取得最大值 最大值为f 1 0 所以当x 1时 lnx x 1 专题归纳 高考体验 3 由题设c 1 构造函数 设g x 1 c 1 x cx 则g x c 1 cxlnc 当x0 g x 单调递增 当x x0时 g x 0 g x 单调递减 又g 0 g 1 0 故当00 所以当x 0 1 时 1 c 1 x cx 专题归纳 高考体验 11 2016四川高考 设函数f x ax2 a lnx 其中a r 1 讨论f x 的单调性 专题归纳 高考体验 则s x ex 1 1 而当x 1时 s x 0 所以s x 在区间 1 内单调递增 又由s 1 0 有s x 0 从而当x 1时 g x 0 当a 0 x 1时 f x a x2 1 lnxg x 在区间 1 内恒成立时 必有a 0 专题归纳 高考体验 因此 h x 在区间 1 单调递增 又因为h 1 0 所以当x 1时 h x f x g x 0 即f x g x 恒成立 专题归纳 高考体验 考点四 导数与函数12 2017全国 高考 已知函数f x ae2x a 2 ex x 1 讨论f x 的单调性 2 若f x 有两个零点 求a的取值范围 解 1 f x 的定义域为 f x 2ae2x a 2 ex 1 aex 1 2ex 1 若a 0 则f x 0 则由f x 0得x lna 当x lna 时 f x 0 所以f x 在 lna 单调递减 在 lna 单调递增 2 若a 0 由 1 知 f x 至多有一个零点 若a 0 由 1 知 当x lna时 f x 取得最小值 最小值为 专题归纳 高考体验 当a 1时 由于f lna 0 故f x 只有一个零点 专题归纳 高考体验 13 2017全国 高考 已知函数f x ax3 ax xlnx 且f x 0 1 求a 2 证明 f x 存在唯一的极大值点x0 且e 2 f x0 2 2 解 1 f x 的定义域为 0 设g x ax a lnx 则f x xg x f x 0等价于g x 0 时 g x 0 g x 单调递增 所以x 1是g x 的极小值点 故g x g 1 0 综上 a 1 专题归纳 高考体验 2 由 1 知f x x2 x xlnx f x 2x 2 lnx 时 h x 0 因为f x h x 所以x x0是f x 的唯一极大值点 由f x0 0得lnx0 2 x0 1 故f x0 x0 1 x0 由x0 0 1 得f x0 专题归纳 高考体验 因为x x0是f x 在 0 1 内的最大值点 由e 1 0 1 f e 1 0得f x0 f e 1 e 2 所以e 2 f x0 2 2 专题归纳 高考体验 考点五 导数在实际问题中的应用14 201