高中数学 第一章 坐标系 1.2 极坐标系 1.2.31.2.5 课件 北师大版选修44.pptVIP

1 2 3直线和圆的极坐标方程1 2 4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 1 2 5圆锥曲线统一的极坐标方程 一 二 三 一 简单曲线的极坐标方程1 曲线的极坐标方程与极坐标方程的曲线在极坐标系中 曲线可以用含有 这两个变量的方程 0来表示 如果曲线c上的点与一个二元方程 0建立了如下关系 1 曲线c上的每个点的极坐标中至少有一组 满足方程 0 2 极坐标满足方程 0的点都在曲线c上 那么方程 0叫作曲线c的极坐标方程 曲线c叫作极坐标方程 0的曲线 一 二 三 2 直线的极坐标方程 一 二 三 一 二 三 3 圆的极坐标方程 一 二 三 名师点拨因为平面上点的极坐标的表示形式不唯一 即 2 都表示同一点的坐标 这与点的直角坐标的唯一性明显不同 所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式 只要求至少有一个能满足极坐标方程即可 例如对于极坐 在直角坐标系内 曲线上每一点的坐标一定适合它的方程 可是在极坐标系内 曲线上每一点的所有坐标不一定都适合方程 所以在极坐标系内 确定某一个点p是否在某一曲线c上 只需判断点p的极坐标中是否有一对坐标适合曲线c的方程即可 求简单曲线的极坐标方程的关键 就是要找到极径 和极角 之间的关系 这常用到解三角形 正弦定理 余弦定理 的知识及利用三角形的面积相等来建立 之间的关系 一 二 三 做一做1在极坐标系中 圆心在点 a 0 处 且过极点的圆的极坐标方程是 a 2acos b 2asin 0 c atan d 2atan 0 答案 b 一 二 三 二 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化根据点的直角坐标与极坐标互化关系式 曲线方程两种形式的互化便可以顺利完成 点的直角坐标与极坐标互化关系如下 一 二 三 做一做2直角坐标方程x2 y 2 2 4化为极坐标方程是 解析 x2 y 2 2 4可以化为x2 y2 4y 把代入上式 得 cos 2 sin 2 4 sin 化简整理得 4sin 答案 4sin 一 二 三 三 圆锥曲线统一的极坐标方程圆锥曲线统一的极坐标方程是 当01时 它表示双曲线 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 x轴在极坐标系下的方程为 0 2 极坐标方程 5表示的曲线是圆 3 圆x2 y2 1化为极坐标方程一定是 1 4 极坐标方程cos 0 表示的曲线是两条射线 探究一 探究二 探究三 思维辨析 简单曲线的极坐标方程 化简 得 cos sin 1 经检验点a 1 0 的坐标适合上述方程 所以满足条件的直线的极坐标方程为 cos sin 1 探究一 探究二 探究三 思维辨析 2 由题意知 圆经过极点o 设oa为其一条直径 设点m 为圆上除点o a以外的任意一点 如图 则 oa 2r 连接am 则om ma 在rt oam中 om oacos aom 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤 1 建立适当的极坐标系 2 在曲线上任取一点m 3 根据曲线上的点所满足的条件写出等式 因涉及的是长度与角度 所以列等式的实质是解三角形 4 用极坐标 表示上述等式 并化简得到曲线的极坐标方程 5 证明所得的方程是曲线的极坐标方程 通常第 5 步不必写出 只要对特殊点的坐标加以检验即可 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1在平面直角坐标系xoy中 以o为极点 x轴正半轴为极轴建立极坐标系 直线c的极坐标方程为 cos 1 点m n分别为直线c与x轴 y轴的交点 1 写出直线c的直角坐标方程 并求点m n的极坐标 2 设mn的中点为p 求直线op的极坐标方程 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 曲线的直角坐标方程与极坐标方程互化 例2 将下列式子进行直角坐标方程与极坐标方程之间的互化 1 x2 y2 4 2 3cos 3 cos分析 利用公式x cos y sin 2 x2 y2进行直角坐标方程与极坐标方程的互化 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 1 将x cos y sin 代入x2 y2 4 得 cos 2 sin 2 4 即 2 4 2 因为 3cos 所以 2 3 cos 即x2 y2 3x 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟1 将 2 x2 y2 cos x sin y代入曲线的极坐标方程 整理即得曲线的直角坐标方程 2 解决此类问题常常通过方程变形 构造出形如 cos sin 2的式子 进行整体代换 方程的两边同乘 或同除以 或方程两边平方是常用的变形方法 3 化曲线的直角坐标方程f x y 0为极坐标方程f 0 只要将x cos y sin 代入到方程f x y 0中即可 化为极坐标方程时 如果不加特殊说明 那么就认为 0 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2曲线c的直角坐标方程为x2 y2 2x 0 以原点为极点 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 则曲线c的极坐标方程为 解析 直角坐标方程x2 y2 2x 0可化为x2 y2 2x 将 2 x2 y2 x cos 代入整理得 2cos 答案 2cos 探究一 探究二 探究三 思维辨析 曲线极坐标方程的综合运用 例3 在极坐标系中 从极点o作直线与另一直线l cos 4相交于点m 在om上取一点p 使 om op 12 1 求点p的轨迹方程 2 设r为直线l上任意一点 试求rp的最小值 分析 解答本题可以先设出动点p m的极坐标 然后代入条件等式求解即可 也可以转化为直角坐标方程解决 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟建立适当的极坐标系 有时会使某些曲线的极坐标方程具有比直角坐标方程更为简洁的形式 可是 由于同一种类型的曲线的极坐标方程的形式多样性 且不同位置的同一曲线的极坐标方程存在较大差异 这给由极坐标方程确定曲线的形状 位置与性质带来不便 为此 往往把极坐标方程化为直角坐标方程 再根据平面直角坐标系中曲线的相关知识求解问题 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3过极点o作圆c 8cos 的弦on 求on的中点m的轨迹方程 解法一如图 圆心c 4 0 半径r oc 4 连接cm 点m为弦on的中点 cm on 点m在以oc为直径的圆上 动点m的轨迹方程是 4cos 法二设点m的坐标是 点n的坐标是 1 1 点n在圆 8cos 上 1 8cos 1 点m是on的中点 将它代入 式得2 8cos 故点m的轨迹方程是 4cos 探究一 探究二 探究三 思维辨析 因极坐标表达不准确而致误典例已知曲线c1 c2的极坐标方程分别为 cos 3 4cos 0 则曲线c1与c2交点的极坐标为 探究一 探究二 探究三 思维辨析 纠错心得在极坐标系中 有序实数对的集合 r 与平面点集不是一一对应的 给出一个有序实数对 在平面坐标系中可以唯一确定一个点 但对于极坐标系中的一点 它的极坐标不是唯一的 若点m不是极点 是它的一个极坐标 则m有无穷多个极坐标 2k 与 2k 1 k z 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练在极坐标系中 圆 2sin 的圆心的极坐标为 解析 由 2sin 得 2 2 sin 化为普通方程为x2 y 1 2 1 圆心坐标为 0 1 其对应的极坐标为 故只有选项b符合 答案 b 1234 1 直线 和直线 sin 1的位置关系是 a 垂直b 平行c 相交但不垂直d 重合解析 直线 与直线 sin 1的斜率相同 故选b 答案 b 1234 2 极坐标方程为 2