非线性电磁系统识别的实验研究.doc

非线性电磁系统识别的实验研究摘要：本文是涉及的是基于谐波平衡法和曲线拟合法原则的非线性电磁实验系统的鉴定技术。所研究的系统是悬浮于由电磁轴承激励的弹簧装置上的对称转子。重点放在这个系统的识别技术以及如何提高建模精度。此系统具有高度的非线性特征，为了能够成功地识别，对传统的识别技术进行了修改。由此产生的非线性模型已被证明与实验数据吻合。从这些研究提出了所获得的知识并对其进行了详细地讨论。0 前言 在工业应用中，电磁轴承性能优于传统轴承，如高转速，无摩擦，精度高。使用中，人们希望在转速下，转子可以稳定地在电磁轴承中旋转。这需要一个稳定的闭环控制系统，消除由于振动引起的干扰力。 电磁轴承的特点是由非线性的电磁力引起的固有非线性。在线性案例的研究中，电磁力在工作点被线性化为电流和气隙的线性函数。但是仅在改点附近具有线性关系。在现实中，电磁力是非线性的。当使用更高的磁通密度来减少电磁轴承的体积和尺寸时，或是当由较大的不平衡力引起旋转转子产生不可避免的相当大的偏转时，非线性特征变得非常重要。为了准确地控制或预测系统的性能，这些非线形性的影响应予以考虑。一般来说，数据分析技术可应用于这一目的。如果网格划分的合理，例如有限元模型1的数据方法会与实验吻合得很好，但这需要很大的努力和计算。同样，分析技术需要解决一整套与转子动力学方程耦合的麦克斯韦方程组2，所以也相当的困难和复杂。本研究的动机之一便是考虑是否可以通过一个简单的识别技术寻找最简单的数学模型，用来或得电磁系统的动态行为，以此来简化分析。 系统识别的问题一般指的是指通过观察输入输出数据，找出系统或过程测定的数学模型。有许多著名的参数识别技术已经用于很多场合。这些措施包括最大似然估计3，最小二乘法4，辅助变量5等，但至今尽管是最发达的技术仍无法应用于非线性系统。最近，一种非线性振动系统识别方法正在进一步发展，一些技术已经被提出进行参考6-10。Yasuda等人12采用谐波平衡原则确定了多自由度光滑非线性系统。紧接着，Yasuda等人将这一技术推广到含有非光滑非线性的系统。在上述研究中，识别技术已被证明适用于他们的数值例，但实验工作尚未进行。 在实验性的识别方面，已作出了很多努力，例如Wang等人13，Zhang等人14和Arumugam等人15的工作。但这些研究只处理了线性实验系统的识别问题。Yi等人16提出的识别方法以移动观察器观测员和最小二乘法为基础。该方法已用于准确识别他们的半车悬吊试验台的参数。Zhang等人17也研究了非线性系统的识别问题。他们创立了用来估算线性参数和非线性系统未知参数的频域法。他们在挤压油膜阻尼器上的应用也被证明是非常成功的。但该方法只能在一个有限的窄频带内用于较小的激发振幅和激发频率。在这两个实验中，非线性项目应该来源于理论计算，参数的价值不明，需要进一步确定。 由于在实践中非线性电磁力的实际形式可能不容易得到，所以在本文中如参考文献11,18中的一样由多项式的形式表示非线性的磁力。然而在实践中，多项式含有过多的项和过高的次数，因此很难适合一个物理系统。从理论上说，参考文献11,18所述的技术可以假设一个包含许多齐次非线性项的多项式来达到一定的高阶，然后计算将使所有不必要项的系数为零。然而，由于实验得到的数据可能包含噪音，计算可能不能将不必要项的系数变为零。此外，由于在计算中使用了较多的项，可能会引入误差。在这种情况下，可以应用曲线拟合中来辅助非线性模型。然而，因为电磁力是与气隙和电流两者都相关的函数，因此很难仅通过运用曲线拟合方法获得曲面方程来代表电磁力。因此我们可以首先使用曲面拟合来拟合气隙和线圈电流去逼近实验数据，这将得到电磁力的一个与气隙和电流相关的函数。组合这些函数并应用谐波平衡法可得到电磁力的近似非线性方程。由此形成的模型能很好地预测动态行为。1 实验设备和结果这里选取磁悬浮系统进行分析（如图1所示）。机械结构包括一个卸载对称转子，一端连接有灵活耦合器，另一端由四个径向电磁铁支持。这是电磁轴承系统的一个典型例子。为了简化分析，转子不旋转，四个电磁铁中只有一个用来使转子产生简谐力，并研究其非线性特性的效果。虽然这个系统看起来很简单，但稍后将会看到它拥有丰富的动力学特性。图1 电磁轴承系统（单位：mm）灵敏度1.0V / mm的双涡流型位移传感器置于末尾。两个灵敏度1.0V / A的电流传感器用来测量电磁铁线圈中的电流。可编程函数发生器产生的一个可识别输入信号作为激励电压(A0sint)输入到功率放大器中。实验过程中（如图2(a)所示），在悬浮轴承的中间位置处使用弹簧组和偏置电压，与其中的一个电磁铁一起对系统激发起一连串的简谐力。然后由采样时间为0.001s的个人电脑同时记录下激励电压和位移传感器和电流传感器测量的输出信号。图2(b)显示了系统的总体框图。为了调查该系统的稳态行为，绘制频率响应图是非常有用的，该图展示了转子的最大位移振幅（ym）是如何随各种受迫力频率()变化的。这可由在系统偏置电压作用下下的迭合正弦输入信号得到。图3显示了当输入幅值A0=3.0V，受迫力频率由80Hz减少到34.4Hz时，转子位移的频率响应。如果系统以高频启动，然后再缓缓降低受迫力频率，沿响应曲线的共振部分有一个增加的幅值。振幅和图2 (a)电磁系统的实验装置 (b)系统总体框图图3 实验所得的分岔图()个倍周期分支产生。在这个倍周期分支内，一开始频率的平滑变化将持续到接近=37.6Hz，这时第一是一个有基本周期运动的系统。之后随着实验参数()变得多样，运动又经历了一个分叉或是变成了一个两倍于原来的振荡周期。换句话说，周期T失稳，变成了一个周期2T的次谐波振动。从周期T到2T，2T到4T是平滑过渡，而在各级连接处分支。由于我们模型的识别系统事实上是一个软弹性系统，而倍周期分支现象通常在软弹性型系统的共振区附近发生。除了这一点，转子的振动幅度和线圈电流也会急剧增长。随着受迫力的频率不断下降，轨迹继续经历倍周期分支，最终停止并进入混沌运动，这时可观察到转子击打电磁铁，即系统炸毁。图4所示的时间系列中很容易看到分叉序列，该图由数字示波器（Fluke 97）记录，偏差值已被分离。如图5所示，频谱也显示了在/2,3/2,5/2等处有新的频率成分存在。有人认为该系统的动力学特性是非常复杂的非线性。数学模型对设计传统的控制器很必要，否则图4 降低驱动频率时时间推移推移到混沌状态 (a)=37.8Hz;(b)=37.6Hz; (c)=36.6Hz; (d)=35.6Hz; (e)=35.2Hz 图5 实验数据的频谱演变：(a)一周期解；(b)二周期解；(c)四周期解；(d)混沌运动系统可能只在某些特定条件下能够工作，这是因为控制器是在试错法下得到提升的，这仅在某些地方有效。2 识别方法 在本节中，简要介绍了Yasuda等人11提出的识别方法，更详细的计算过程可参考文献11。该方法的基本过程如下。（1）推导出一个适当的可以捕捉到物理系统动态特性的数学模型以待确定。非线性的未知项由一个适当形式的多项式近似。（2）适当选择一系列在各种频率下的的周期酌力持续激励系统。同时记录周期酌力输入和相应的周期稳态响应。（3）用傅里叶级数在包含非线性项的运动方程中表示出输入力项及其他项。（4）应用谐波平衡的原理可得 (1)其中矩阵A已知，是在运动方程中除输入力以外所有项的傅里叶系数构成的，矢量S包含待定运动方程的未知系数，矢量Q由输入力的傅里叶系数构成。用加权最小二乘法，方程（1）可变形为 (2)其中矩阵W为加权矩阵，用以提高精度，AT表示矩阵A的转置。3 系统识别转子的运动由下式确定， (3)其中y表示转子相对于某参考点的震动位移。参数C，K，D分别表示等效阻尼，刚度和机电系统的直流增益。Fm表示电磁铁的电磁力，是电流和气隙的函数。值得注意的是直流增益项的产生是由于所选择的坐标原点可能与实际平衡点不同。在一般情况下，该力的计算基于场能量。如果我们忽略铁损并认为电磁铁是不饱和的，理论上该力于电流的平方成正比并反比于气隙的平方。但是，如果电磁铁的铁饱和或是接近高磁通密度的饱和点（如我们这里的情况），就必须考虑磁化曲线的非线性特性。然后要具体地确定转子在磁场中的运动，需要同时解决与转子动力学方程耦合的所有麦克斯韦方程组。这的确是一项非常艰巨的任务，因此在我们的研究中，非线性电磁力用多项式的近似形式去近似。由电磁铁电路的电压平衡关系可得描述电流（i）响应的运动方程。干扰电压（A0sint）由电阻和线圈的感抗引起的压降去平衡。线圈中的感应电压与匝数（n）和通量（）随时间的变化率成正比，即 (4)其中R代表线圈的电阻，KA(=2.254)功率放大器的增益。F表示由电感和反电动势引起的电压降，这是一个气隙和电流两者的非线性函数。在目前的工作中，笔者不打算准确确定的F和Fm形式。抛弃一般的方法， 通过运用识别技术捕捉物理系统的动态行为，特别是在实验数据显示的分叉点附近，找到F和Fm的简化形式 , 从而简化了分析。接下来将说明从简单模型到复杂模型的三种情况。A0=3.0V，从38到80Hz范围内的实验时间序列用于实现基于傅里叶级数中留有三次项假设的识别计算方法。计算过程中，用方程（2）的加权矩阵对分岔点附近的数据（的范围为3841.5Hz）进行加权，使所确定的模型可以更准确地预测分岔序列。3.1 案例一在这个简单的例子中，产生的电压F可近似为F=L0(di/dt)，这意味着电磁铁线圈的电感作为常数（L0）处理。电磁力是与线圈电流和气隙两者相关的函数，这个表达式可近似为一个多项式。根据这些假设，方程（3）（4）可改写为 (5) (6)其中i是与偏置电流有关的震荡电流，y是转子关于某参考点的振动位移。使用A0=3.0V下的实验数据，在第二部分所述的识别方法下应用谐波平衡法和加权最小二乘法，确定方程（5）和（6）的系数L0，R，a0-7。已识别的结果列于表1中。据悉，如果各参数之间的数量级明显不同，由于最小二乘法的特点，最小的参数可能有较大的误差百分比。这种情况下，尺度的概念可以用来解决数量级引起的问题。将表1中的系数带入到方程（5）（6）中，并令A0=3.0V，对这两个方程进行数值仿真。由此产生的34-80Hz范围内的稳态响应与实验数据一起列于图6。这表明，这个简单模型的稳态位移振幅在适当的精度内遵循实验数据。然而，第一次倍周期分岔在频率为34.1Hz附近出现，而且当频率下降到低于34Hz时，方程的解放大了。实验数据中可见的倍周表1 案例一中的识别结果图6 实验()与仿真()分别所得分岔图的比较期层叠结构和混沌运动在这个系统中没有表示。这可能是由将电感（L0）作为一个恒定值的假设对电感做了近似，从而引入了误差。因为磁通密度（B）和磁场（H）之间，Fm和i之间是非线性的，所以电感也取决于B-H图的工作点。这可以通过实验绘制电感电流曲线图验证。重点工作是当转子的气隙固定在0.44mm时，在从0.2到6V的不同偏置电压下以0.2V为间隔计算电感。然后，不同频率（70到80Hz之间）的26个小振幅正弦输入叠加在每个偏执电压上，同时记录线圈电流的动力学稳态响应以及正弦输入。图7显示了对应各种偏执电压的电感值，这些偏执电压是利用这些数据并应用上述识别技术得到的。可以看出，电感值并非保持不变。相图7 不同偏置电流对应的电感：实验数据()与 案例一估计值()的比较反，它作为净线圈电流（I）的函数而变化。如果线圈电流保持在I0.5A的区域内，电感值将会近似为一个恒定值（I0.5A是为0.0168H）。然而，在我们的案例中，线圈电流倾向于0.685A，并且不可避免地在这两个区域内来回震荡（i）。这种情况下电感的估计值采用L0=0.0264988H。此值在较高受迫力频率下是合适的，这是因为电流i较小。然而，当提高受迫力频率的同时将电流i变大，L0的估计值相对于物理系统而言会变得过小。这可能就是图6中当电流i变大时简单模型会引入一个幅度较大的误差的主要原因。3.2 案例二一旦电感的性质已知，例如曲线拟合的技术可以用于获得与实验数据完全符合的合适形式。在这种方法下，方程（4）中F最简单形式与电磁铁特性相配合，可以得到 (7)其中，I0是偏置电流，可通过实验电流时间序列取均值直接测量，i是与I0相关的震荡电流。然后将动力学方程组用于我们的物理系统中可得 (8) (9)方程（8）与（5）以同样的方式取得。利用方程（8）和（9），以和案例一相似的识别方法进行计算，结果显示在表2中。使用这些系数可计算出方程（8）和（9）中的频率响应，如图8中的细线所示。由图看出，与案例一相比，该模型的稳态位移幅值与实验数据符合得更加紧密。可以看到，第一次倍周期分叉发生在大约41.8Hz处，倍周期层叠结构和混沌运动能够显示出来。但是倍周期分叉的分岔点与实验数据的偏差是非常显著的表2 案例二中的识别结果图8 实验()与案例二仿真()所得分岔图的比较（相对误差为11.7%）。因此，这个模型仍不能接受。由于分岔行为属于高度非线性系统的特点，对这个物理系统来说用多项式的简单形式去模拟电磁力可能是不足的。为了证实这点，我们进行了一系列的实验去发现电磁力、电流、位移之间的关系。图9给出了该实验的装置。在我们的物理系统中使用的电磁铁固定于一个沉重的底座上，一个长度较短的转子固定在测力计上，与电磁铁之间有指定的气隙。测力计（KISTLER 9257B）感应的引力通过电荷放大器（KISTLER 5019A）记录在个人电脑里。由于电磁力是气隙和线圈电流两者的函数，测试是在不同的气隙下将电流从0按照每次0.25A的步骤增加到2.0A进行的。供给电流由功率放大器提供，并事先通过电脑计量。由于控制系统的额定气隙为0.44mm，所以在测试中对气隙取五次值，即从0.3mm到0.5mm，每次增加0.05mm。在每个阶段，同时对电流、气隙和电磁力进行记录。实验结果如图10所示。在图中可以看出，在各种气隙下，当线圈电流增加到超过0.3A时电磁力便会饱和。当线圈电流通过这一点时，电磁力对线圈电流的增加变得相当不敏感。这表明电磁铁中电流与力之间有着高度的非线性。在我们的物理系统中，线圈电流的工作点置于0.685A使转子悬浮于平衡位置（在额定气隙0.44mm下）。当线圈电流的震荡幅度升高时，电磁力会饱和，使得系统具有丰富的动态特性。图9 电磁力测量装置图10 各种气隙下电磁力气隙特性曲线: (a)0.30mm (b)0.40mm (c)0.45mm (d)0.50mm3.3 案例三根据手中的电磁力实验数据，使用曲线拟合程序可获得如下所示的两个表示力与电流（固定气隙）和力与气隙（固定电流）关系的多项式 固定气隙 （10） 固定电流 （11）其中I是总电流，包括输入到线圈上的偏置电流和震荡电流，是气隙。图11显示了曲线拟合的结果。在该图中，方程（10）和（11）的非线性项合理地符合了实验数据。值得注意的是，虽然大量用来描述电磁力的参数的增加可提高近似值的准确性，但是在随后的识别计算中，与参数数量成正比的随机误差也会相应地增加。另外应注意，因为转子运动时电磁力是气隙和线圈电流两者的函数，而它们仅在固定气隙或是固定电流时才有效，所以通过曲线拟合得到的系数不能直接代入公式（3）中。因此，在这里应用曲线拟合技术只是为了找到适当的非线性项以方便识别。联立方程（10）（11），并用工作点处的电流偏置代表电磁力（Fm（i,y），方程（3）可变为 （12） （13）其中I0是由实验电流时间序列的均值直接算出的偏置电流，i是I0中的震荡电流。同样，利用实验数图11 (a)各气隙下实验数据与曲线拟合的磁力电流特性比较：:气隙=0.40mm下的曲线拟合（方程(8)），:气隙=0.30mm下的曲线拟合（方程(8)），:气隙=0.30mm下的实验数据，:气隙=0.40mm下的实验数据。(b)各电流下实验数据与曲线拟合的磁力气隙特性比较：:电流=1.1A下的曲线拟合（方程(8)），:电流=1.7A下的曲线拟合（方程(8)），:电流=1.7A下的实验数据，:电流=1.1A下的实验数据据和案例二中的谐波平衡法可获得方程（12）和（13）的必要系数（见表3）。将这些结果代入方程（12）和（13）中，并令A0=3.0V，进行数值仿真可获得模拟的频率响应，并将其与实验数据比较见图12。通过这些数据，首先可以注意到该模型的稳态频率响应几乎与案例二一样。其次，随着受迫力频率（）的减少，可以清楚地看到导致系统混沌的倍周期层叠结构。第一次倍周期分叉点（约39Hz）与实验数据（约37.6Hz）有相当不错的一致性，相对误差仅约3.7%。表3 案例三的识别结果图12 实验()和案例三通过仿真() 分别所得分岔图的比较为了验证案件三中的非线性模型是否可以获得真实系统的特性，模拟非线性方程（12）和（13）可得两个分支曲线b1、b2，并与根据实验数据获得的分支曲线a1、a2对比。结果显示在图13中。为了便于比较，同样将案例二中通过模拟方程（8）和（9）得到的分支曲线c1、c2也绘制于图13中。该图中，在源于实验数据的各种受迫力振幅（A0）方面，曲线a1和a2分别有四周期和二周期的分支点。如果我们以较高的频率开始，然后缓慢降低受迫力频率，直至它达到拥有二周期分支的曲线a2（图13所示）T周期轨迹失稳，分支到2T周期轨迹。同样，当受迫力频率不断下降直至达到有四周期分支出现的曲线a1处时，2T周期轨迹失稳，分支到4T周期轨迹。换句话说，二周期轨迹出现在曲线a1和a2之间的区域内。曲线b2（二周期分支曲线）和曲线b1（四周期分支曲线）来自于案例三。曲线c2（二周期分支图13 在A0-区域内减少驱动频率时不同情况下倍周期分岔区域及其边界。曲线a1:实验所得四周期分界曲线；曲线b1：案例三估计所得四周期分界曲线；曲线c1：案例二估计所得四周期分界曲线；曲线a2:实验所得二周期分界曲线；曲线b2：案例三估计所得二周期分界曲线；曲线c2：案例二估计所得二周期分界曲线曲线）和曲线c1（四周期分支曲线）来自于案例二。显然，比起案例二，案例三在二周期与四周期曲线和混沌运动上与实验数据的一致性更好。这里数据上存在有限的错误可认为是由数学模型的近似造成的。为了调查用于这三个案例中表示电磁力的多项式中各项的有效性和相对贡献，绘制出代表这个多项式的电流与受力两者关系的曲线与实验数据做比较。如图14(a)所示，其中将电磁力取标准值。可以清楚地看到，电磁力的简单多项式（如案例二）仅在工作点（I0=0.685A）附近与实验数据相匹配。由于线圈电流与偏置电流的差别较大，故简单多项式被证明大大偏离了实验数据。这可能就是方程（8）和（9）未能完全符合我们物理系统非线性特性的原因。图14(b)显示了标准化电磁力实验测定值和案例三中各非线性项得出的假设值之间的对比。可以看出，案例三对电磁力的预测更加令人满意。因此，可以得出结论，该模型成功地预测了物理系统的动态特性。实践中，实验测定的数据中可能包含一定程度图14 (a)实验和案例二中估计所得的电磁铁标准化力-电流曲线的比较：，实验数据；，无非线性项；,有非线性项y2,i2；,有非线性项y2,y3,i2,i3 (b)实验和案例三中估计所得的电磁铁标准化力-电流曲线的比较：,实验数据；,有非线性项y2,y3,i2；,有非线性项y2,y3,i2,i2/3；，有非线性项y2,y3,i2,i2/3,i4/3的噪音，这会使识别工作变得复杂。为了研究该识别技术在含噪声信号中的效果。在A0=3.0V，的范围从38到80Hz的实验中，时间序列上添加了如图15(a)所示的随机噪音。通过使用这些数据以及和以前一样的鉴别步骤，获得了方程（10）和（11）的系数。将结果代入方程（10）和（11）中并令A0=3.0V，可得到如图15(b)所示的稳态频率响应。从该图中我们可以发现，稳态频率响应几乎与无随机噪声的实验数据相同。并且发现第一次倍周期分支点（约39.5Hz）与无随机噪音的实验数据（约39Hz）有相当好的一致性。这是因为在识别计算中使用了“离散傅立叶变换法”。高频噪音在计算中会被过滤。因此，该识别技术已被证明在小干扰噪音的试验中是有效的。图15 (a)随机噪声 (b)随机噪声下案例三所得分岔图4 结论和意见本文中，运用曲线拟合法来拟合气隙和线圈电流去逼近实验数据。并结合由此得到的与气隙和线圈电流相关的方程可得到代表非线性电磁力的必要非线性项。最后，使用谐波平衡程序和加权最小二乘法分析，来获得这些非线性项的系数。有了这样的改进，所提的识别技术被证明在实验中更加可行。从实验数据中可以发现该系统中含有丰富的非线性现象。是什么样的机制导致这种动力学特性，值得进一步研究。这一点的进行需要使用案例三中得到的非线性模型并运用先进的非线性理论。此外，本研究只在垂直方向对系统的动力学特性进行了研究。当转子旋转时，垂直和水平方向的耦合作用，特别是在高转速和打干扰振幅下，可能会变得显著。在这种情况下，识别计算时应注意以下几点。（1）再假设模型中，电磁铁的所有电磁力都应是垂直和水平两个方向上关于电流和气隙两者的函数。（2）与旋转地转子相关的陀螺效应应予以考虑。（3）这种情况下的识别过程应该与本文所采用的相同，但是更加复杂。我们即将展开的工作是确定一个系统来捕捉这种情况下的系统动力学特性。参 考 文 献1 C. 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