2007年全国高中数学联赛试题解答集锦.pdf

陕西省数学竞赛委员会 刘康 宁 西 北 工 业 大 学 附 中 焦和平 一 选择题 本题 满分 3 6分 每小题 6分 1 在正 四棱锥 P ABC D 中 AP C 6 0 则二 面角 A PB C的平面角的余弦值为 A B 一 号 c 丢 D 一 丢 基 本解 法 如 图 1 过 点 A 作 AM上P B 垂足为点 M 由对 称 性 知 AMC 为 二 面 角 A PB C的平 面 角 不 妨 设AB 一 2 则 由 AP B 一 6 0 得P A AC P 图 l C 一 2 4 5 容 易 求 得 M A M C 专 ff A A M C 中 由 触栅 一 番 7 7 一 枷 巧思妙解 设 AC与 BD 的交点为 0 易知平 面 P AB在平 面 P B D 上 的 射影 为 P OB 不妨 设 AB 一2 贝 0 S 髓 一 S 脚 一 设二 面 角 A P B C 的 平 面 角 为 则 二 面 角 A P B 一 0 的 平 面 角 为 导 因 为c o s 导 一 一 所 以c o s 一 2 号 一 1 一 一 了1 故 选 B 2 设实数 口使 得不等 式 l 2 x一口l l 3 x一2 a l 口 对任意实数 X恒成立 则满足条件的 口所组成的 集合是 A 一 号 号 B 一 丢 丢 C 一 1 了1 D 3 3 基本解法 设 厂 z l 2 x 一口l l 3 x一2 a l 则 一 嗣I Sx 3a x tIliIl 一 厂 警 一 号 由 口 号 得 o 口 号 当 口 时 一 一 口 警 z 号 f 一 5 z z l 口 号 tIliIl一 厂 警 一 一 号 由 口 一 号 得 一 号 口 o 综 上 所 述 一 口 号 故 选 A 巧思妙解 1 令 z a t t R 则原不等式为 l 口l J 2 t 1 J J 口J J 3 t 一2 J 口 即 J 口J J 2 t 一1 J l 3 t 2 l 对任意的 t E R恒成立 f s 件 3 专 因 为 l 2 一 1 l l 3 一 2 l 一 一 丢 詈 所以 1 2 一1 1 1 3 一2 1 i 一了 1 由 l口 l 丢 得 一 丢 口 故 选A 0 0 巧思妙解 2 取 z 2 a 则 有 丢l 口 l 口 z 得 一 O 0 口 可排除 B D 又 由对称性可排除 c 故选 A 维普资讯 竞赛之路 2 0 0 年第 1 1 期 青 中 3 将号码分别为 1 2 9的九个 小球放人一 个袋中 这些小球仅号码不同 其余完全相同 甲从袋 中摸出一个球淇 号码为 口 放回后 乙从此袋中再摸 出一个球 其号码为 b 则使不等式 a 一2 b 1 0 0成 立的事件发生 的概率等于 A 85 z 1 B 8591 c 86o1 D 861 1 基本解法 因为是有放回的摸球 所以甲 乙各有 9种不同的取法 故基本事件总数为 9 一8 1 由 a 2 b 1 0 O 得 a 1 0 2 b 当 6 1 2 5时 a可取 1 2 9中的每一 个 则共有 5 9 4 5种 当 6 6时 a可取 3 4 9中的每一个 则共有 7种 当 6 7时 a可取 5 6 9中的每一个 则共有 5种 当 6 8时 a可取 7 8 9 有 3种 当 6 9时 a只能取 9 有 1种 故 所 求 概 率 一 箜 一 器 故 选 D 4 设函数 z 一3 s i n z 2 c o s z 1 若实数 a 6 C 使得 a f z b f x f 一1对 任意实数 z恒成 立 则丝箜 的值等于 A 一 B C 一1 D 1 基本解 法 由 a f x 一f 一1 得 a 3 s i n z 2 c o s z 1 b 3 s i n z f 2 c o s x f 1 一1 即 3 口 2 b s i n C 3 b c o s c s i n 2 a一 3 b s i n c 2 b c o s f C O S a 6 一 1 f 3 a 2 b s i n f 3 b c o s C 0 J 2 a 3 b s i n f 2 b c o s C 一0 f a 6 一1 所以 b 0 从而 一1 故选 C 巧思妙解 取 f 7 则对任意的 z R 都有 z f x c 一 2 即 厂 z 寺厂 z c 一1 与a f x b f x c 一1 比较 得口 一6 一 于是 取 口 一6 一 1 f 兀 b c o 口 s c一一1 故选 C 5 设0 D 1 和0 D2 是两个定圆 动圆 P与这两个 定 圆都 相 切 则 oP 的 圆心 轨 迹 图 2 不 可 能 是 o I A B C D 图2 基本解法 设o 0 1 和o 0 2 的半径分别为 n r 2 l 0 1 0 2 l 一2 则一般地 oP的圆心轨迹是焦点为 0 0 2 离心率分别为 和T 的圆锥曲线 当 r 一r 2 时 线段 01 D 2的垂直 平分线是 轨迹 的一部分 当 f 一0时 轨迹是两个同心圆 当 r 一r 2 且 r r 2 f时 圆心 P的轨迹如选 项 B 当 0 2 f l r r 2 l 时 圆心 P的轨迹如选项 C 当 r r 2 且 r r 2 f 时 圆心 P的轨迹如选项 D 故选 A 巧思妙解 由于动圆 P与两个定 圆都相切 通过 计算 圆心距知 若 oP的圆心 轨迹是两个 圆锥曲线 它们应具有相同的焦点 01 0 2 而选项 A 中的椭圆和 双 曲线焦点不重 合 因而它不 可 能是 oP的 圆心轨 迹 故 选 A 6 已知 A与B是集合 1 2 3 1 0 0 的两个子 集 满足 A与 B的元素个数相同 且 AnB为空集 若 2 A时 总有 2 2 2 B 则集合 AUB的元素个 数最多为 A 6 2 B 6 6 C 68 D 7 4 基本解法 先证 l AUBl 6 6 由于 AnB j 2 所 以只需证 l A l 3 3 为此 只需证 若 A 是 t 2 4 9 的任一个 3 4元子集 则必存在 2 A 使得 2 2 2 A 将集合 1 2 4 9 划分为如下 3 3个子集 1 4 3 8 5 1 2 2 3 4 8 共 1 2个 2 6 1 0 2 2 1 4 3 0 1 8 3 8 共 4 个 2 5 2 7 2 9 4 9 共 1 3个 2 6 3 4 4 2 4 6 共 4个 由于 A是 1 2 4 9 的一个 3 4 元子集 由抽屉 原理知 上述 3 3个集合 中至少有一个 2元子集 中的 两个元素均属 于 A 即存在 nEA 使 得 2 2 2 A 矛 盾 故 l Al 3 3 即l AUBl 6 6 事实上 取 A一 1 3 5 2 3 2 1 0 1 4 1 8 2 5 2 7 2 9 4 9 2 6 3 4 4 2 4 6 B一 2 2 2 l 2 A 则 A B满足题设条件 此时 l AUBl 一6 6 故 l AUBl 一6 6 故选 B 维普资讯 二 填空题 本题满分 5 4分 每 小题 9分 7 在平 面直 角坐标 系 内 有 四个定 点 A 一3 O B 1 一1 C 0 3 D 一1 3 及一个 动点 P 则 l PA l l P B l l P Cl l PDl 的最小值为 基本解法 易知 四边形 AB C D 为凸 四边形 设 对角线 AC与 BD 的交点为 P 则 J P A l l PCl l ACl l AP l l P C l J PB J J PD J J B D l J B P J j P D J 当且仅 当点 P 与 P 重 合时 上 两式 等 号 同时 成 立 故 l P A J l P B J J PC J l P D J 的最小 值为 l ACl J B Dl 一3 2 2 5 8 在AAB C和AAEF中 B是 EF 的中点 AB EF 一 1 B C 6 C A一 若 一 2 则商 与 的夹角 的余弦值等于 基本 解法 因为 一2 所 以 商 B 2 即 一 吉 商 十 专 商 一 2 亦即 f 一 商 一 2 一 J J z 所以赢 商 一4 2 J J z 一2 又 I A I 一 1 一1 二 2 1 3 3 一一 1 所以赢 商 一4 故 c O s 一 器一 一 号 9 已知正方体 AB C DA B C 1 D 的棱 长为 1 以 顶点 A为球心 为半径作一个球 则球面与正方 体的表面相交所得到的曲线 的长等于 基 本 解 法 因 为 1 0 2 所以球面与正方体 的六 个面都相交 如 图 3 设其 与 棱B C C D DD1 D1 A1 A B B B 的 交 点 分 别 为 P1 P 2 P3 P 4 P5 P6 在 平 面 ABC D 平面 ADD A 平面 AA B1 B内的交线分 别为圆弧 2 它们都是以A为圆心 为 半 径 的 圆 弧 在 平 面C DD c 平 面 A B C 1 D 平面 B C C B 内的交线分别为圆弧 它 们 分 别 是 以 D A B 为 圆 心 字 为 半 俭 明 圆 易 知 2 所 对 的 圆 心 角 均 为 詈 所 对 的 圆 心 角 均 为 号 故弧线P P P P P P P 的长为 3 学 6 3 y g 3 丌 说明 本题类似于笔者 近期 主编 出版的 高 中数 学竞 赛 专 题 讲 座 立 体 几 何 第 1 7 7页 例 3 参 见文 1 1 0 已知等差数列 口 的公差 d不 为 0 等比数 列 b 的公 比 q是小 于 1的正 有理数 若 口 一d b 口 2 且 a 2 干 a 2 a2 是正整数 则 q 等于 基本解法 一 6 1 q b 1 q 因 所 以 一 由题设知 1 F q F q 为 其 中 为正整数 令 1 t q F q 2 一 1 4 则q 1 十 5 S g 3 m 因为 q 是小于 1的正有理数 所以 1 1 4 3 即 5 1 3 且 三塑是某个有理数的平方 由此可 4m 知 q 一 1 巧 思 妙 解 同 基 本 解 法 得 1 q q 因 为 o q 1 所 以 警 1 4 所 以 5 6 1 3 易知 只有 一8 使得 q 为正有理数 故 q 1 1 1 已 知 函 数f z 一 s i n n x c os n x 2 Z 1 z 詈 则 z 的 最 小 值 为 其 太 健 渍 一 三 二 基 本 解 法 厂 z 一 L 因 为 z 所 以 o z 一 维普资讯 设 g z 一 n 丌 z 一 詈 则 g z 且 g z 在 上 单 调 递 增 在 上 单 调 递 减 要使 厂 z 最小 只需 g z 最小 且 大 故 c 乩 一 一 竽 1 2 将 2个 a和 2个 b共 4个字 母填在如图 4所示 的 1 6个小方格 内 每个小方格 内至多填 1个 字母 若 使 相同字母既不 同行也不 同列 则 不 同 的填法共有 种 用数字作答 田 图 4 基本解法 使 2 个 a既不同行也不 同列的填法有 C i Ai 7 2种 同样 使 2个 b既不 同行也不 同列的 填法也有 C i Ai 一7 2种 由乘法原理知 这样的填法 共有 7 2 种 其中不符合要求 的有两种情况 2个 a所在的方格内都填有 b的有 7 2种 2个 a所在的方格内仅有 1个方格内填有 b的有 C A 1 6 7 2 故符 合 条 件 的填 法 共 有 7 2 一 7 2 1 6 7 2 3 9 6 0 种 三 解答题 本题满分 6 0分 每小题 2 0分 1 3 设 一 k l k n l 一 k 求证 当正整数 2 时 a 1 所 以 a 一 l 0 即 a l l 1 1 1 1 所以口 一a n l 一 1 n i l 1 一 号 一 一 f 一 1 一 1 0 故 a 1 0 交于两个不 同点 M N 求 曲线 C在点 M N 处的切线 的交点轨迹 基 本 解 法 设 点M N的 坐 标 分 别 为 M x a X l 去 N X 2 X 2 去 直 线 z 的 方 程 为 一 点 z 1 代入 z 得 1 k x 一z 1 0 z 0 由题设 知 X X 是方程 的两个 不相 等 的正 根 则有 r 一 1 4 1 一点 0 t n z z 一 z z 一 1 解 得 志 又 一 1 1 所 以曲线 c在点 M N 处的切线 方 稗 分 别 为 X l 去 一 一 壶 c z z z w X 2 去 一 一 c z z z f z 一 单一 2 I Xl I X2 1 一 2 一 4 因为 点 1 所以 2 y 5 维普资讯 故 曲线 C在点 M N 处 两切 线 交 点 的轨 迹 是 一 条 线 段 z 一 2 2 Y O 的部分 图象如图 4所示 I 求 a 6 的值 1I 若方 程 3 I f z 一 m 图 4 一 0 在 一 号 等 内 有 两 个 不 同 的 解 求 实 数m 的 取 值 范 围 1 9 本 小题 满 分 1 4分 如图 5 在矩 形 AB C D 中 AB 一2 B C E为 AB上一 点 以直线 E C为折线将 点 B折起至点 P 并保持 P E B为锐角 连结 P A P C PD 取 PD 的中点 F 若有 AF 平 面 P E C I 试确定 点 E的位 置 1 I 若 异面直线 P E C D所成的 角 为 6 O 求 证 平 面 P E CI 平 面 AEC D 2 O 本 小题 满 分 1 6分 设 圆 锥 曲 线C l 的 焦 点 为 F o 一 相 应 准 线 为 z 一 警 且 C l 经过点 M 2 3 I 求 C l的方程 C D 图 5 1 I 设 曲线 C z 2 7 y 一 5 过点 P 0 口 作与 y轴不 垂 直 的直线 m 交 C 于 A D两 点 交 C 2 于 B C两点 且 一C 5 求实数 的取值范围 2 1 本 小题 满 分 1 6分 已知定义在 R上 的函数 z 同时满足 1 f x 1 x z q f x l z 2 一2 f x 1 C O S 2 x 2 4 a s i n z z t z 2 R a为 常数 2 o 一 s f 1 1 3 当z o 手 时 I z I 2 L 1 J 求 I 函数 z 的解 析式 1 I 常数 a的取值范 围 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 电 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 上接第 5 1页 一 一 一 一 一 一 得 4 f t z 一厂 z A f x 厂 兀 z f t z l 4 z C O S z 一厂 z 厂 一z 一厂 兀 z 一f