高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充与复数的概念 3.1.2 复数的几何意义课件 新人教A版选修22(1).ppt

3 1 2复数的几何意义 主题1复数的几何意义1 实数可以与数轴上的点一一对应 类比实数 复数z a bi a b r 与有序实数对 a b 有怎样的对应关系 提示 复数的代数形式z a bi a b r 因为它是由实部a和虚部b同时确定 即有顺序的两实数 不难想到有序实数a b与有序实数对 a b 一一对应 2 复数z a bi a b r 能否用直角坐标平面内的点表示 提示 由1知 任何一个复数z a bi a b r 都可以由一个有序实数对 a b 唯一确定 由于有序实数对 a b 与平面直角坐标系中的点一一对应 因此复数可以用平面直角坐标系中的点表示 3 复数能否用平面向量表示 提示 每一个平面向量都可以用一个有序实数对表示 而复数也可用有序实数对表示 因此复数可用平面向量来表示 结论 1 复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做 x轴叫做 y轴叫做 实轴 轴上的点都表示 除 外 虚轴 轴上的点都表示纯虚数 复平面 实轴 虚轴 x 实数 0 0 y 2 复数的几何意义 1 复数z a bi a b r 复平面内的点 2 复数z a bi a b r 平面向量 z a b 微思考 如何作出复数在复平面内的对应点或向量 提示 将复数化成代数形式a bi a b r 从而确定a b 再作出z a b 或 主题2复数的模1 设z a b 则向量的模如何用a b表示 提示 2 复数可以用向量表示 那么向量的模是复数的什么 提示 用文字语言描述 向量的模就是复数的模 用符号语言描述 结论 复数的模复数z a bi a b r 对应向量的模记作复数z的模 用 或 表示 z a bi 微思考 计算复数的模时 应先找出复数的实部和虚部 再利用模的公式计算 那么对于两个复数z1和z2 是否存在z1 z2或 z1 z2 提示 复数不能比较大小 但模可以 预习自测 1 实部为 2 虚部为1的复数所对应的点位于复平面的 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 解析 选b 实部为 2 虚部为1的复数为 2 i 所对应点的坐标为 2 1 在第二象限 2 在复平面内 复数z a2 2a a2 a 2 i对应的点在虚轴上 则a的值为 a a 0或a 2b a 0c a 1且a 2d a 1或a 2 解析 选a 因为复数z a2 2a a2 a 2 i对应的点在虚轴上 所以a2 2a 0 所以a 0或a 2 3 已知复数z 1 i 那么 z 等于 a 0b 1c d 2 解析 选c z 1 i 4 下面四个式子中 正确的是 a 3i 2ib 2 3i 1 4i c 2 i 2i4d i2 i 解析 选c 因为两个虚数不能比较大小 因此排除选项a和d 因为 2 3i 1 4i 所以 2 3i 2i4 选项c正确 5 已知复数z 1 2i i为虚数单位 则 z 解析 z 1 2i z 1 2i 答案 备选训练 已知复数z a2 4 a 2 i a r 1 若z为纯虚数 求实数a的值 2 若z在复平面上对应的点在直线x 2y 1 0上 求实数a的值 解题指南 1 纯虚数指的是实部为零 虚部不为零的复数 因此只需找到复数的实虚部 满足相应条件即可 2 复数对应的点的坐标是由实部和虚部构成的 解析 1 若z为纯虚数 则a2 4 0且a 2 0 得a 2 2 若z在复平面上对应的点在直线x 2y 1 0上 则a2 4 2 a 2 1 0 得a 1 类型一复数与点的一一对应 典例1 在复平面内 若复数z m2 2m 8 m2 3m 10 i对应的点分别满足下列条件 1 在虚轴上 2 在第二象限 3 在x轴上方那么实数m的取值范围应分别是多少 解题指南 由z a bi a b r 与点z a b 一一对应知第 1 问要求实部为0 第 2 问要求实部小于0 虚部大于0 第 3 问要求虚部大于0 解析 复数z m2 2m 8 m2 3m 10 i在复平面内对应的点为z m2 2m 8 m2 3m 10 1 点z在虚轴上 则m2 2m 8 0 解得m 2或m 4 2 点z在第二象限内 则解得2 m 4 3 点z在x轴上方 则m2 3m 10 0 解得m 2或m 5 延伸探究 1 若本例条件不变 求复数z表示的点在第二 四象限时实数m的范围 解析 由题意知 m2 2m 8 m2 3m 10 0 所以2 m 4或 5 m 2 2 若本例条件不变 求复数z表示的点在直线y x上时实数m的值 解析 由已知得m2 2m 8 m2 3m 10 所以m 方法总结 复数与点的对应关系及应用 1 复平面内复数与点的对应关系的实质是 复数的实部就是该点的横坐标 虚部就是该点的纵坐标 2 已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数的取值范围时 可根据复数与点的对应关系 建立复数的实部与虚部满足的条件构成的方程 组 或不等式 组 通过解方程 组 或不等式 组 得出结论 补偿训练 已知i为虚数单位 a r 若a2 1 a 1 i为纯虚数 则复数z a a 2 i在复平面内对应的点位于 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 解析 选d 因为i为虚数单位 a r a2 1 a 1 i为纯虚数 所以解得a 1 所以z 1 i z 1 i在复平面内对应的点的坐标为 1 1 所以该点位于第四象限 类型二复数与向量的对应 典例2 1 已知平面直角坐标系中o是原点 向量 对应的复数分别为2 3i 3 2i 那么向量对应的复数是 a 5 5ib 5 5ic 5 5id 5 5i 2 已知向量对应的复数是4 3i 点a关于实轴的对称点为a1 将向量平移 使其起点移动到a点 这时终点为a2 求向量对应的复数 求点a2对应的复数 解题指南 1 利用向量平移的特征可求出向量对应的坐标 再利用其坐标确定其对应的复数 2 根据复数与点 复数与向量的对应关系求解 解析 1 选b 向量 对应的复数分别为2 3i 3 2i 根据复数与复平面内的点一一对应 可得向量 2 3 3 2 由向量减法的坐标运算可得向量 2 3 3 2 5 5 根据复数与复平面内的点一一对应 可得向量对应的复数是5 5i 2 因为向量对应的复数是4 3i 所以点a对应的复数也是4 3i 因此点a坐标为 4 3 所以点a关于实轴的对称点a1为 4 3 故向量对应的复数是4 3i 依题意知 而 4 3 设a2 x y 则有 4 3 x 4 y 3 所以x 8 y 0 即a2 8 0 所以点a2对应的复数是8 延伸探究 若将本例 2 中条件作如下改动 向量对应的复数为 5 3i 将向量向下平移1个单位 向右平移2个单位得到向量 如何求 向量对应的复数 点a1对应的复数 解析 如图 由于o为原点 对应的复数为 5 3i 所以a点坐标为 5 3 向量向下平移1个单位 向右平移2个单位后 点o1的坐标为 2 1 点a1的坐标为 3 2 向量对应的复数与对应的复数相同 仍为 5 3i 点a1对应的复数为 3 2i 方法总结 复数与向量的对应关系的两个关注点 1 复数z a bi a b r 是与以原点为起点 z a b 为终点的向量一一对应的 2 一个向量可以平移 其对应的复数不变 但是其起点与终点所对应的复数可能改变 巩固训练 在复平面内 a b c三点对应的复数分别为1 2 i 1 2i 1 求向量对应的复数 2 判定 abc的形状 解析 1 由复数的几何意义知 所以所以对应的复数分别为1 i 2 2i 3 i 2 因为所以所以 abc是以bc为斜边的直角三角形 类型三复数的模 典例3 1 已知i为虚数单位 复数z1 a 2i z2 2 i 且 z1 z2 则实数a的值为 a 1b 1c 1或 1d 1或0 2 2017 杭州高二检测 设复数z1 a 2i z2 2 i 且 z1 1b 11d a 0 解题指南 1 先分别求出复数z1 a 2i z2 2 i的模 再利用模相等求出对应的值 2 根据复数模的计算公式列不等式得出答案 解析 1 选c 根据题意可知a2 4 4 1 所以a 1 2 选b 因为 z1 z2 所以即a2 4 5 所以a2 1 即 1 a 1 方法总结 复数模的计算 1 计算复数的模时 应先确定复数的实部和虚部 再利用模的公式计算 虽然两个虚数不能比较大小 但它们的模可以比较大小 2 设出复数的代数形式 利用模的定义转化为实数问题求解 提醒 复数的模表示该复数在复平面内的对应点到原点的距离 则任何一个复数的模都是非负数 巩固训练 已知复数z 3 ai 且 z 4 求实数a的取值范围 解析 方法一 因为z 3 ai a r 所以 z 由已知得32 a2 42 所以a2 7 所以a 方法二 利用复数的几何意义 由 z 4知 z在复平面内对应的点在以原点为圆心 以4为半径的圆内 不包括边界 由z 3 ai知z对应的点在直线x 3上 所以线段ab 除去端点 为动点z的集合 由图可知 a 补偿训练 已