对如何避免试题命制出现科学性错误的几点思考.pdf

2 0 1 4 年第2 期中学数学研究 3 解析几何是高中数学的难点 解析几何的学习 需要良好的方程函数基础 需要学生有分析复杂图 形中的基本图形的能力 需要向量运算以及三角在 平几中的应用的基本功 需要扎实的运算能力和合 情合理的猜想 从历年高考试题来看 多为压轴题 对应解析几何小题的复习应分别按概念类 解 几与平几 解几与三角 解几与函数 解几与向量等 类型收集整理 从而形成对高考试题较完整的覆盖 解析几何大题的复习既要平时穿插又应适时整合 应整理一些参量选择新颖 消参方法新颖 运算过程 巧妙的试题 当堂练习并立即讲评 阐明曲线方程的 概念 突出坐标法的运用 既让成功者品尝胜利的喜 悦 又让失败者多角度尝试 帮助他们寻求突破 三 运算主线 对数学最朴实的理解是 数学就是算 即运算 运算包括运算对象和运算规律 其目的就是把 解 具体地构造出来 随着运算对象的不断拓展 运算成 为贯穿整个数学课程的又一条主线 高中阶段的运算除了数的运算和代数式运算 外 还有向量 指数 对数 三角等运算和导数运算 等 甚至包括解析几何的证明问题也是运算 它们构 成了高中数学运算的主体 运算的学习对于培养学 生的逻辑推理能力具有重要作用 近两年的高考 许 多学生因运算准确率不高 运算速度慢等导致高考 失误 因此 在高三数学复习中 学生的运算能力亟 待提高 一要明算理 有依据 严谨运算过程 学生运算 能力较弱的原因之一是算理不清 错用或混用公式 针对这种问题 复习过程中要结合典型例题和学生 典型错误 讲透概念 阐明算理 演示运算过程 做到 演算有条不紊 步步有据 务求明晰 这是一种严谨 的数学推理的复习 二要重分析 善转化 明确运算方向 学生运算 能力较弱的深层次原因是数学思维能力较弱 不善 于分析问题 转化问题 运算方向不明确所致 这种 情况 要注意克服运算思维定势 引导学生进行有目 标的恒等变形 比如 用导数研究函数的单调性 很 多学生受定势影响 遇到这种问题 往往是去解不等 式 再判断符号 导致无法完成任务 正确的方法是 判断导数的符号 而 不是解不等式 三要用对应观点指导运算 数列与函数中的运 算错误 相当大一部分是不注意对应关系 教师应结 合学生的典型错误 结合函数概念 应用对应观点 讲清 儿 用什么代换 四要用算法程序化思想指导运算 在中学数学 中 方程 不等武 线性规划 几何 函数问题的运算 步骤性强 程序化明显 教师复习此类问题时 应适 时小结 画一画解决此类问题的思路框图 这对提高 学生的思维能力 运算能力都极有帮助 五要加强检验与复核 积极倡导反思 检验与复 核既是总结解题思路 提高学习能力昀有效方法 也 是校验错误 提高运算准确率的关键步骤 要注意结 合不同的情境 研究运算检验与复核的办法 总的来说 高三数学复习 学生是学习的主体 教师应充分发挥主导作用 要求学生克服 拿来 思 想 务必独立完成 想方设法激发学生的学习热情 克服畏难情绪 指导学生由 听 到 思 由 听 到 做 成功地 做出来 是最好的老师 教师还应根 据不同的班级 不同的学生 采取相应的策略 帮助 每一位学生顺利通过复习阶段 提高中学数学能力 帮助每位学生根据实际情况 攻坚克难 克服瓶颈 走上自主学习的道路 不断取得新的进步 对如何避免试题命制出现科学性错误的几点思考 江苏省苏州市木渎高级中学 2 1 5 1 0 1 朱雪民 一般来说 数学题应满足以下科学性要求 描述清晰 无歧义 要得到结论的条件不能少 也不能多 条件之间不能产生矛盾 问题是可 解的 一旦违背了上述四条 就可认定为是 错题 本文所说的 错题 均指此意 科学性是对试题的基本要求 若违反科学性 势 必会直接影响到考察目标的实现 对高考来说甚至 会影响到考生的命运 但遗憾的是 近年来在各类考 试乃至高考中都出现了一些 错题 或说有 瑕疵 的试题 引发了教育界甚至全社会的极大关注 如 2 0 0 3 高考江苏错题风波 无论孰是孰非 试题出现 争议在客观上严重影响了考试的严肃性与公正性 万方数据 4 中学数学研究2 0 1 4 年第2 期 造成了负面后果 应该说参与各级考试命题的人员 都是水平很高的教师 专家或教授 但缘何还会屡屡 出错 难道我们只能感慨 人非圣贤孰能无过 难 道不能从技术层面来最大限度避免此类情况的发生 吗 笔者作为一名高中教师 在教学工作中比较喜欢 命题 也参与过市级考试命题工作 结合自身的实践 对此有一些认识 现不揣浅陋 就如何避免试题命制 出现科学性错误与同行探讨 1 在命题环节层面 增加复检次数 在试题编制过程中 命题组内部会对试题进行 多次讨论与斟酌以确保试题无误 这自然是必须的 但笔者认为这还不够 还应该在保密的前提下 请若 干没有参与命题的一线教师对试题再次进行校验 道理很简单 命题组人员对试题已经烂熟于心 产生 了 审美疲劳 很难客观的审视试题 只有新面孔 才能客观 准确地审视试题 也就更容易发现问题 对于高考命题流程 笔者无从可知 但若本着对考生 负责的态度 尽量增加复检次数 不应该是很难的事 吧 笔者曾作为一线教师参与过市级统考试题的验 卷工作 在验卷过程中就曾发现过一些问题 避免了 错题的 面世 下面仅举一例 说明 本文中的略 解均指命题人给出的解答 案例1 已知a b c 分别为锐角z M B C 三个内 角A 曰 C 的对边 满足怕c 2 a s i n C I 求A 一 若口 2 怕 山忸c 的面积为2 怕 求6 i C 略解 I 由正弦定理得A 睾 J 1 一 a a s c 的面积S b c s i n A 2 3 6 c 二 8 而n 2 c 2 b 2 2 6 j c o s A 得c 2 b 2 2 0 解得 f b 4 击 b 2 I c 2 甄I c 4 分析 此题是某次全市高一期末统考试题 在签 字付印前教研员邀请笔者参加了验卷工作 这道题 看似平常 对知识与能力的考察到位 解法常规 似 乎挑不出什么毛病了 但笔者在作完 后 审视 了一下这个三角形赫然发现 三边为2 4 2 3 这个 三角形不是直角三角 形吗 与题千矛盾了 命题教师 在设计问题 的数据时只考虑了使关于6 c 的方 程组有解 而忽视了题于中 锐角 的限制 险些编 出一个不存在的三角形 修改方案 较简单的处理是去掉题干中 锐角 的限制 这样也并不影响考察面 点评 目前的解答题往往设计成2 或3 个问题 要注意已知条件是对某一问起作用还是对所有问都 起作用 还有一种习惯思维是 我们往往认为只有那 些综合性较强 难度较大 有创新性的题目才容易出 错 在验题时就把注意力更多地放在那样的题上 而 对常规题 平凡题就比较轻视 这种看法是片面的也 相当危险 在科学性面前 一切题目都是平等的1 2 从验题的技术层面保证试题的科学性 2 1 对多条件问题要特别注意条件之问是否 相容 和谐 一道题是一个和谐的整体 各条件之间除了题 目陈述的比较显然的关系之外 往往还受一些隐含 条件的约束 如果命题者对这些隐含的约束关系不 能准确把握 就可能在条件之间产生矛盾 案例2 若函数f 茹 满足 茗 1 一八石 且当茁 一1 1 时以石 戈2 则函数灭茁 的图像 与函数Y l g x 的交点个数有个 略解 茗 1 一 茗 则八菇 2 一火石 1 以茹 故函数八并 的周期为2 画出函数 火菇 的图像 可知八茗 与 l g x 的图像交点个数为 9 个 分析 若函数满足以茗 a 一以茗 确实可证 函数的周期为2 口 仅此而己吗 实际上还应该认识 到 该式还表明 任意两个相差n 的自变量对应的函 数值互为相反数 本题中 设 一l 0 则必有 粕 1 0 1 而八髫 菇2 恒非负 故产生了矛 盾 正是命题者对 以石 1 一以茹 的认识存在 片面性导致了错误的产生 修改方案 用 周期为2 取代 以戈 1 一只髫 这是给出周期最简单的方式 实际上高考 题多采取此法 越简单越不易出错 点评 题目的条件个数越多 自然条件之间产生 矛盾的概率就越大 需要尤为注意 另外还要特别注 意题面上的显性奈件与某些隐性条件 如与题目相 关的定理等 要相容如下题 设I I 4 I 苔I 3 且 2 苔 若一3 否 0 求 苔 读者能看出此 题有什么问题吗 2 2 用不同解法来检验题目的科学性 命题者在对题目进行检验时 往往偏好用自己 的 标准解法 来检验 这样其实很容易陷入 只缘 身在此山中 的 死循环 这时不妨考虑试题的其 他解法 视角改变了 题日的缺陷也许立刻就会显 现 案例3 2 0 1 3 江苏五市三模 在平面四边形 万方数据 2 0 1 4 年第2 期中学数学研究 5 A B C D 中 点E F 分别是边A D 髓的中点 且A B 1 E F 厄 c D 石 痂 B C 1 5 则赢 B D 的 值为 略解 如图l 所示 朋一 A B E A E C D C E D 一烈 得A 昱 D C 邪 昱C 2E F 平方并整理得A 曰 D C 2 即A 曰 A C A D DC 图1 A B A C A B A D 2 D 由A D B C 1 5 得A D A c A 召 A D A c A D A 曰 1 5 爹 由 爹一 得A D A C A B A C A C A D A 8 A C B D 1 3 分析 乍看本题 给人一种设计精巧 含义深远 之感 那么它是不是真的 看上去那么美 呢 我们 用解析法试一试 不妨设a 0 0 B 1 0 c a 6 D m 1 由E F E 得 m 一 d 1 2 l 一6 2 8 由C D 亨得 m 一口 2 l 一6 2 3 则 一 得m 一口 一2 再由A D B C 1 5 即 m n n 一1 6 1 5 得m 口 n b g O 1 5 一 J 由 得m 口 n b 一口 1 3 于是A C B D a b m l 珏 露 口 n b 一口 1 3 殊途同归了吗 别 急 回头看 显然 不符合 说明不存在题中的四 边形 这竟然是一道错题 修改方案 由解析法可知 问题就出在给定的3 个长度上 只需改变一个即可 如改变C D 的话方法 如下 由解答得m 一口 c D 2 7 则题目中的 上 四边形存在的充要条件是 m 一口 2 c 驴 即 f 丢 c 矿一7 1 谚 可取C D 石 得蔚 历 二1 1 4 点评 数学题目往往存在多种解法 从上例看 出 不同的解法恰似一盏盏不同角度放置的聚光灯 提供给我们迥异的观察角度 对题目有了全方位的 认识 可见 用多种解法来检验题目的科学性 是一 种行之有效 易于操作的方法 2 3 改编试题务必要在吃透原题基础上进行 与原创新题相比 改编成题自然难度要小的多 更容易操作 效率高 所以在各类考试中都会发现改 编题的身影 有人认为 有了成题为基础 背靠大树 好乘凉 就不容易出错了 果真如此吗 如果对原题 没有理解透彻 改编方法不恰当 同样会陷入险境 案例4 2 0 1 3 扬州高三期末检测 数列 窿 1 满足吐l 1 口州一1 口 口 一1 n 且 u 1 1 上 2 则口舢一4 a 1 的最小值为 略解 由已知得麦 i 了1 一i a 玎 于是丢口 口n I l l口1 i 1 i 1 再1 一毒了 2 得 s 了一 了 Z 千子n 1 3 a 2口铷1 28 1 一la 加1 3 一l 箍删 砒 幽 2 3 砌 高一竽 一虿7 当且仅当口 鲁时取等 号 因此所求最小值为一 7 分析 这是一道改编题 原型为 数列 满足 口 妻 口 l 口 一口 l 乃E 则m 土 2 虿 口州2 口一一口一 1 I 乃E 以 则m 2i 土 1 的整数部分是 口2 口猢 解 由递推关系得m i 了1 一i 了 2 一 i j 易证数列递增 因为口 百7 口 而371 2 口2 0 1 0 一 斗 1 0 故口加l o 2 所以1 m 2 与条件矛盾 因此 斗 a 1口 a 1 均值不等式的等号取不到 修改方案 延续原型的思路 增加对分类讨论思 想的考察 可修改为下题 数列 满足口 i 4 万方数据 6 中学数学研究 2 0 1 4 年第2 期 口 1 口 一n l nE 且s 一 土 嘶 2 1 则蔓的整数部分的所有可能值构成的集合是 珥 答案为 O 1 2 点评 改编试题要充分j f 0 用原题酌优点 再加入 恰当的新鲜元素 以达到 旧瓶装新酒 的目的 这 实际上也是很有难度的 不能简单理解为 嫁接 犯上例的错误 需要我们首先对原题进行深刻的剖 析 彻底莠清其命制脉络 才有可能进行科学的改 编 试题命制是一个非常复杂的过程 对命题者有 较多的能力要求 特别是对思维曲深刻性 灵活性 严谨性 批判性以及对知识本质的理解要求较高 同 时要看到 命题并不是一件仅凭 创意 就能做好的 事 它本身又是一门科学 有其自身的规律 我们应 该努力求真求实 探索 掌握其规律 才能命制出科 学 创新 高质量的试题 参考文献 1 陈云平 高中数学试题命制的实践与认识 J 数学通 讯 2 0 1 2 o s 5 2 5 6 2 戴再平 数学习题理论 M 上海 上海教育出版社 1 9 9 6 化归思想下的解题教学 以一道圆锥曲线试题为例 江西师范大学课程与教学研究所 3 3 0 0 2 7 揭丽群 江西师范大学数学与信息科学学院 3 3 0 0 2 7 刘咏梅 1 问题引出 圆锥曲线既是解析几何的重要基本知识 同时 又是高考每年必考的重点内容 由于其模块本身知 识点多 运算量大 综合性强 且此类问题的解决往 往要涉及到函数 不等式 方程 三角 向量等有关的 知识 面对一些圆锥曲线的综合题 学生在解题过程 中往往思维不畅 甚至出现