高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.2.2.2 抛物线的简单性质习题课课件 北师大版选修21.ppt

3 2 2 2抛物线的简单性质习题课 1 掌握直线与抛物线的位置关系 2 能够解决与抛物线有关的基本问题 1 直线与抛物线的位置关系直线与抛物线有三种位置关系 相离 相切 相交 1 斜率存在时 设直线y kx m与抛物线y2 2px p 0 相交于a x1 y1 b x2 y2 两点 将y kx m代入y2 2px 消去y并化简 得k2x2 2 mk p x m2 0 当k 0时 直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合 直线与抛物线只有一个公共点 但不能称为相切 当k 0时 判别式 0 直线与抛物线相交 有两个公共点 判别式 0 直线与抛物线相切 有且只有一个公共点 判别式 0 直线与抛物线相离 没有公共点 2 斜率不存在时 设直线l x m 抛物线 y2 2px p 0 显然 当m0时 直线与抛物线相交 有两个交点 说明 1 直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件 2 直线y kx b k 0 与抛物线相交所得弦ab的长度计算公式与椭圆的弦长公式相同 即 3 在直线与抛物线的位置关系问题中经常遇到中点弦的问题 处理的基本方法是利用点差法或根与系数的关系快速地求出中点弦所在直线的斜率 做一做1 与直线2x y 4 0平行的抛物线y x2的切线方程为 a 2x y 3 0b 2x y 3 0c 2x y 1 0d 2x y 1 0解析 设与直线2x y 4 0平行的直线为2x y m 0 联立y x2得x2 2x m 0 由 4 4m 0 得m 1 所求切线方程为2x y 1 0 答案 d 题型一 题型二 题型三 题型四 例1 已知直线l y kx 1和抛物线c y2 4x 试讨论直线l与抛物线c的公共点的个数 分析 本题主要考查直线与抛物线的位置关系 可将直线l y kx 1和抛物线c y2 4x联立组成方程组 消元得到关于x的一元二次方程 再根据判别式确定k的取值范围 考虑到抛物线的特殊性 一些特殊情形还要根据图形来分析说明 题型一 题型二 题型三 题型四 解 将直线l和抛物线c的方程联立 得消去y 得k2x2 2k 4 x 1 0 当k 0时 方程 只有一个解x 14 直线l与抛物线c有一个公共点 此时直线l与抛物线c相交 当k 0时 方程 是关于x的一元二次方程 2k 4 2 4k2 1 当 0 即 2k 4 2 4k2 0时 解得k 1且k 0 直线l与抛物线c有两个公共点 此时直线l与抛物线c相交 2 当 0 即 2k 4 2 4k2 0时 解得k 1 直线l与抛物线c有一个公共点 此时直线l与抛物线c相切 题型一 题型二 题型三 题型四 3 当 1 直线l与抛物线c没有公共点 此时直线l与抛物线c相离 综上所述 当k 1或k 0时 直线l与抛物线c有一个公共点 当k1时 直线l与抛物线c没有公共点 反思直线与抛物线的位置关系 主要用代数法 联立方程组 利用 判断 注意二次项系数为零的情况 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 例2 在抛物线y2 2x上求一点p 使p到直线x y 3 0的距离最短 并求出距离的最小值 分析 思路一 设出抛物线上的点p x0 y0 利用点到直线的距离公式转化为求二次函数的最值 思路二 平移直线至与抛物线相切的位置 将点线距转化成线线距 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思处理抛物线的最值常用方法 1 代数法 转化为二次函数求最值 2 几何法 转化为相切 运算量小 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 例3 已知a b是抛物线y2 2px p 0 上的两点 且满足oa ob o为坐标原点 1 求证 a b两点的横坐标之积 纵坐标之积分别为定值 2 求证 直线ab经过一个定点 分析 1 由oa ob 得koa kob 1 从而可以证明结论 2 用a b的纵 横 坐标表示出直线ab的方程即可证明 oa ob x1x2 y1y2 0 x1x2 y1y2 y1y2 4p2为定值 从而x1x2 y1y2 4p2也为定值 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思在抛物线的综合性问题中 存在着许多定点 定值问题 我们不需要记忆这些定值的结论 但要掌握这些定值问题的基本研究方法 如设直线的点斜式方程 根与系数关系的利用等 处理直线过定点问题 常将直线方程转化为只含有一个参变量的方程 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练3 过抛物线y2 x上一点a 4 2 作倾斜角互补的两条直线ab ac交抛物线于b c两点 如图所示 求证 直线bc的斜率是定值 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 错因分析 本题造成错解的原因有两个 一个是遗漏了直线斜率不存在的情况 只考虑了斜率存在的直线 二是方程组消元后的方程被认定为二次方程 事实上 当二次项系数为零时 一元方程的解也符合题意 题型一 题型二 题型三 题型四 12345 1 若抛物线的顶点在原点 对称轴为x轴 焦点在直线3x 4y 12 0上 则抛物线的方程是 a y2 16xb y2 12xc y2 16xd y2 12x解析 令y 0 得x 4 故