数学课程改革背景下的研究性学习.pdf

数学课程改革背景下的研究性学习 齐建华 王红蔚 河南教育学院数学系 郑州 450014 在我国基础教育的深度改革中 数学课程发生 了体制性变化 这一变化导致了课程目标和学习内 容的结构性调整 而学习方式的变革尤其成为数学 课程变化的显著特征 当前 一种包含 自主探究 合作交流 思考数学 实践数学0 学习思想的 可以 被称作研究性数学学习的学习方式在数学课程改 革中被普遍倡导 诚然 要使这一学习理念成为现 实 就必须清楚形成数学学习方式的原理 分析促 成学习方式的转变因素 研究转变学习方式的对 策 1 研究性数学学习的课程驱动力 数学课程具有学习驱动力 数学学习方式的形 成基本是由数学课程驱动力决定的 所谓课程驱动 力 是指课程中教材内容对学习方法的决定性力 量 毛泽东在5实践论6 中曾经提出了一个著名的理 论命题 即存在决定意识 教材内容作为一种知识 存在形态 对于知识理解和知识延续的学习方法这 一意识活动具有决定性作用 总的来说 知识创造 者与知识学习者对知识的认识过程在思维程序上 多有相似之处 因此 形成知识的方式与学习知识 的方式就具有社会性自同构的特点 也就是说 经 验性知识对应于实践形式的学习 理论性知识对应 于逻辑形式的学习 但是 形成知识的方式与学习 知识的方式并不纯粹是个体思维活动 还与创造知 识和学习知识的主体所处社会背景及具备的学习 条件密切相关 所以他们的认识过程必然又有差异 性 而且 从对数学学习内容的价值判断来说 数学 课程中知识的价值取向又具有主观性 在知识的多 重价值中 价值权重也不同程度地决定着学习方 式 在不同的价值判断引导下 理论价值取向导致 偏重理性形式的学习方式 文化价值取向导致偏重 感性形式的学习方式 我国传统上已形成两种数学学习方式 以传授 为主的传统方式和以经验活动为基础的现代方式 两种学习方式作为课堂文化积淀的形成 均来自数 学课程自身的驱动性 以中学数学为例 上世纪八 十年代以前 数学学习内容主要是代数运算规律以 及几何演绎推理 运算和理性分析在学习中占主要 成分 而对直觉经验的要求很不突出 学习这些内 容一般要首先接受运算规律和逻辑推理规则 然后 按照这些规律和规则进行演算或推理 这种形式训 练的要求自然造成了传统学习方式的授受性 80 年 代后期以来 根据时代需要 数学学习内容逐步增 加了体现变量关系的 函数0 需要作出分析的 统 计0 以及需要活动的 解决简单的实际问题0 等 经 验成分大大增加 由于经验进入到学习内容中 学 习要取得成效 就要通过实践进行学习 于是 在 进行概念教学时 应当从实际事例或学习已有的知 识中 逐步引导学生加以抽象 弄懂概念的含义 对 于容易混淆的概念 要引导学生用对比的方法 弄 清它们的区别和联系 0 1 实践中教师尝试采用启 发式教学引导学生进行数学学习 经过经验在实践 中不断积累 逐步形成了以经验活动为基础的现代 数学学习方式 本世纪初 基础教育课程在我国社会经济体制 发生重要变化的背景下进行了全面改革 数学课程 从内容上作了大幅度调整 删除了一些繁琐的形式 化内容 增加了较多实用性的和产生于经验活动的 数学知识 根据数学课程标准 在保留核心知识的 基础上 初中阶段主要加强了体现数量关系和变化 规律的 函数0 知识 体现运动的 变换几何0 平移 旋转 轴对称 相似等 知识 以及增加依赖活动的 数据处理0 技能 通过实验观察活动方可获得的 频率与概率0 的知识等 高中阶段对上述知识的经 验性要求进一步提高 且增加了带更多经验特点的 数学知识 比如 体现程序化问题解决的 算法0 知 20数学通报 2007 年 第 46 卷 第 1 期 识 需要经历数据分析处理全过程的 统计案例0 研 究 用计算机或实物 模拟0 概率试验的技能等 根据课程驱动原理 学习知识的方式与知识产 生的方式相关 学习带有经验性数学知识的有效方 式应当是以经验活动为基础的学习方式 学习者在 活动中积累经验 领悟数学的方法或原理 这就需 要不同于传统学习方式的一些新方式 新方式带有 研究性的学习特征 其次 当前对数学文化性的关注也导致学习方 式中需渗透研究性 数学不再是纯粹知识的化身 学习数学要 寻求数学进步的历史轨迹 激发对于 数学创新原动力的认识 接受优秀文化的熏陶 领 会数学的美学价值 提高文化素养和创新意识 0 2 历史上重要的数学概念或定理 来自于人类艰苦卓 越的创造 对数学的发展或社会进步具有重要意 义 比如 无理数0 的发现 勾股定理0 的提出 微 积分0 概念的创立 随机0 思想的产生等 都是人类 文明发展史上的灿烂明珠 在以往的学习中 这些 概念与其他概念一样 作为定义被提出 没有要求 学生了解它们的文化背景 也不要求学生进行心理 体验 当前的数学课程改革 希望数学学习是渗透 文化性的学习 学生在学习中了解数学的历史 体 验发现的艰辛和创新的激情 理解数学的科学价 值 要达到这个学习层次 学生必需在探索知识形 成的过程中经历心灵体验 这也需要带有研究性质 的学习 此外 课程驱动力还表现在训练形式上 传统 数学学习方式中的训练突出程序性 而当前的数学 课程改革强调增强学生的创新意识 改善学生的学 习方式 为此 训练中加强了探索性与开放性 近年 来的数学实验教材及试卷中 逐渐出现了开放性问 题 探究性问题 操作实验性题目 实际应用题目 等 学生参加这种形式的训练 必需进行观察 实 验 操作 选择判断等实验性思维活动 这也是进行 研究性质的学习 2 研究性数学学习的本质和现象 研究性数学学习是学习者通过实践活动 积极 思考 感悟或发现数学规律 事实 定理等 以探索 的方式主动获取数学知识的一种学习方式 数学学 习活动主要包括掌握大纲规定的数学知识和技能 演练学习材料中的数学问题以及用数学解决实际 问题等 因而研究性数学学习的意义和特点可以认 为是 基于对学习内容的充分理解 带有实践性和 思考性的数学学习 基于体验发现及创新的目的 尝试解答较强智力性的数学问题 基于发展实践能 力的目的 尝试用数学解决现实问题 研究性数学学习的精髓在于思考性和实践性 因而要激活这种学习方式 学习者必需被置于预备 的情境之中 或者面临有待解决的实际问题 据此 从事相关数学活动 进行研究 数学不仅可以研究 数 还可以研究形 不仅要演算 还要推理 不仅要 统计 还要分析 不仅要针对纯粹理论问题 还要针 对现实具体问题 不仅要构思 还要决策 因此 研 究性数学学习的活动十分广泛 从学生的学习任务 来看 研究性数学学习活动大体可以分为三类 第 一类 对于原有数学概念和定律的经验认定 当学 习课本上的数学知识时 主体对已经形成概念的知 识需要心理认可 由于概念的原有生成历经了复杂 的过程 概念的原创者对此进行过艰苦的研究 学 生学习这类概念也要大致经历一个过程 学生在设 置的情境之中 进行试验 观察 归纳 获得符合数 学概念的结论 从而获得数学概念的心理认可 第 二类 尝试发现数学方法 这类数学活动一般发生 在解决相对较高思维程度的数学问题过程中 研究 活动通常包括观察 联系 延伸 推广等 第三类 发 现现实世界和现实社会中的数学关系和数学事实 这类数学活动一般发生在用数学解决实际问题的 过程中 研究活动通常包括收集整理信息 查询资 料 阅读文献 之后进行信息分析 找出数学关系 得到数学结论 检验结论与实际的吻合程度等 3 开展研究性数学学习的三条途径 数学概念的经验认定 经验数学方法的发现以 及用数学解决实际问题 这些常常是中小学生所开 展的研究性数学学习 根据学生的学习任务 开展 研究性数学学习主要有三条途径 311 课本上数学概念的研究性学习 我们不主张学生完全自我地发现数学知识 事 实上这也是难以做到的 数学教科书上的知识不是 哪一个人探讨数学的结果 而是人类共同的智力结 晶 数学探索异常艰苦 知识成熟的历史阶段漫长 因此 学生一般不是通过直接经验学习数学 而是 通过间接经验学习数学 不过 对于数学概念 学生 应当具有经验认定 尤其对于那些意义重大或具有 典型发现性或发生性的数学概念 学生更需要经验 212007 年 第 46 卷 第 1 期数学通报 认定 否则 数学对于学生就是唯心的 经验认定需 要通过具体事例 进行试验 观察 比较 分析等活 动 得出符合已知数学现象的结论 这样的活动就 是研究 比如 无理数概念的引入 无理数概念属于发 现式概念 要学生接受它 必须让他们见证无限不 循环小数的存在 数学教材中是以寻找满足 a2 2 的数 a 引导无理数概念学习的 历史的发展经验是 穷竭法 现代教育中可以采用其他的发现方法 比 如借助计算工具 运用数值逼近法 发现 a 这个数 的小数部分永无终结 在这里 学生通过操作 试 验 观察 对无限不循环小数作了逼近的研究 在研 究过程中去认定无理数的存在 进一步地 当学生 具备较高推理素质时 还可以通过反证法的推理研 究 认定无理数的存在 再比如 概率的统计定义 数学中典型的发生 式概念当属概率的统计定义 它是这样来描述的 在相同的条件下做大量的重复试验 一个事件出现 的次数 k 与总的试验次数 n 之比 称为这个事件在 这 n 次试验中出现的频率 当试验次数 n 很大时 频 率将 稳定0 在一个常数附近 n 越大 频率偏离这 个常数的可能性越小 这个常数称为该事件的概 率 可以看出 这个概念产生的前奏是 研究者对一 些事件做过大量试验 发现了 频率稳定0 的现象 学习产生于试验的数学概念 学生应当用试验去验 证 这是符合科学精神的教育原则 历史上 数学家 做了大量的实物试验 掷硬币等 我们的教学中 可以重复数学家的活动 也可以开辟其他的类似活 动 当然 条件具备时可以使用计算机做模拟试验 计算机能够描绘出频率变化图 使学生更方便地通 过图形观察频率的稳定性 对于这样复杂的需要高 度抽象 归纳 提炼的概念 学生必须经历研究的过 程 否则 频率变化0 与 频率稳定0 概念对于学生 将是虚无的 他们就很难理解概率的 n 越大 频率 偏离这个常数的可能性越小0 这一根本属性 总之对课本中那些具有显著经验特征的数学 概念 其学习的过程须是研究过程 当前中学数学 内容中的一些知识 如 函数0 几何变化0 数据处 理0 算法0 等 都具有显著经验特征 教师应当引导 学生进行研究性学习 312 训练中数学问题的研究性学习 巩固练习是数学学习的重要环节 学生做作业 即接受训练时也存在学习方式问题 一般地 数学 训练分为几个层次 掌握核心知识 理解数学方法 培养数学素养 根据现代信息社会的特点 以及 对数学应用及数学文化的关注 数学课程改革已越 来越注重第二与第三层次的训练 这里主要是综合 知识和综合能力的训练 也就是做研究的训练 下 面是从近期出版的数学课程标准实验教材中选出 的训练题目 从中可以看到数学训练中的研究性学 习 例 1 研究填幻方 将 4 3 2 1 0 1 2 3 4 九个数字填在 3 3 的方格中 使得每行每列 以及对角线上的和相等 北京师范大学出版社 七 年级 分析 该训练不属于基本层次的训练 而是高 层次的综合能力训练 解决这一问题必须进行研 究 研究数组和方格阵的结构 研究结构间的彼此 对应 研究确定通过方格阵中心的行 列 对角线上 的数组 研究最大数可处的位置等 如果研究得透 彻 而不仅能够解决这里的问题 还可以发现填古 代三级幻方 3 3 方格中填 1 2 3 4 5 6 7 8 9 九 个数 行 列 斜线上数的和相等 的方法 进而 还 可以延伸为用任意连续的 9 个整数 按照要求充填 方格的问题 例 2 研究身边的概率现象 在 5 个人中至少 有 2 个人是同月所生的机会有多大 说出你能想到 的所有模拟试验的方法 选择其中你认为最便捷的 方式判断问题的答案 华东师范大学出版社 八年 级 分析 由于初中尚未学习记数原理 解决这个 问题必须开展实际活动的研究 实验 计算频率 观察频率的变化 同时研究价值更表现为培养概 率的思维 理解模拟的意义 辨别模拟方法的优劣 比较直觉想法与实际结果的差别等 例 3 体验数学方法 一个凸多边形共有 20 条 对角线 它是几边形 是否存在 18 条对角线的多边 形 说明得出结论的道理 人民教育出版社 八年 级 分析 解决这个问题需要解方程 但最为重要 的是研究一般多边形的边数 n 与对角线 ln的关系 解方程正需要利用这个关系 在整个研究过程中 学生实质上在体验数学的 一般化0 方法 从具体问 题中引申出一般问题 解决一般问题后 再回头研 22数学通报 2007 年 第 46 卷 第 1 期 究具体的问题 313 用数学解决实际问题中的研究性学习 理论知识是实际应用的基础 但由于实际问题 的真实性与现实性 数学应用于不同的现实问题 需要进行不同的研究 一般的研究过程大致包括 确定研究对象和研究目的 准备资料数据 寻找事 实的依据 列出相关因素 求本舍末 确定关键 因素 用符号表示之 研究问题中变量间的关 系 获得数学表达式 表格 图等 用数学方法 求解 检验 获得结果或修正模型 简言之 研究 的基本途径是 抽象提炼 y 数学推演 y 检验讨论 数学应用的研究是高层次研究 需要具备基本 数学知识 掌握计算工具 储备相关领域的知识 比 如 初中生关于某个事件的数据调查 统计 分析的 应用活动 高中生关于某个具体问题的算法设计的 数学研究活动等 可以说 现代数学教育中的训练已不会再回到 纯粹的形式化训练上 训练形式已发展为多样性 其中较高层次的数学训练是必须思考研究的 训练 中做研究已是必然趋势 4 对研究性数学学习的基本把握 由于基础教育改革中数学课程的驱动力量 学 习方式不可避免地应有所转变 要使研究性学习方 式自然地进入课堂 我们必须正确认识变化过程中 不同学习方式的关系 首先 数学学习方式需要 改善0 而不是彻底 改变0 大家公认 我国学生的数学基础知识相当 扎实 这与传统数学学习方式中具有科学因素是相 关的 教师采用启发式教学 学生 通过理解接受知 识 并接受基本训练 变式训练0 达到更好理解 这 样的学习方式具有一定的科学性 因此也具有成效 性 其中的合理作法需要继承 然而 培养学生的创 新精神和实践能力是时代发展的要求 要达到这一 目标 学习方式中就需要渗透体现 内驱力0 的主动 学习成分 动手实践 自主探索 合作交流0 等这些 现代学习方式的必要元素 就需要融入于原有学习 方式中 使学习方式更加合理 更加科学 学生以新 的学习方式学习 能更好地培养各种能力 第二 数学的基础知识和基本技能是开展研究 性学习的根基 通过上述的分析我们知道 研究性 方式适合学习经验性的数学概念 以及接受较高层 次的数学训练 或者解决有关领域中的实际问题 没有基础知识和基本技能的铺垫 是无法从事高一 层次学习的 可以想象 如果没有掌握好有理数的 概念 就难以观察 2 的有理数逼近 也就难以理解 无理数的意义 如果不了解频率 频率的随机性 也 就不能理解频率的稳定性 从而影响对概率概念的