函数的极限(四).doc

函数的极限（四）在这个文件里，我们先讨论无穷小的比较，再做些无穷小量的综合例题。一无穷小的比较同样都是无穷小，但它们趋向于零的速度有快慢，所以出现了彼此同阶，等阶，高阶，乃至阶的区别。注意，这些比较都是相对的，单个无穷小谈不上什么阶的问题，而且必须注明在何种趋向下。建立了这些概念，那么，你所记住的那些公式才是有用的。当时，下列一些等阶无穷小量的组在计算极限时能帮助你解决问题：；更一般地，还有 等。但要注意，我们不能写成诸如等形式，因为这时，两边的函数已经不是无穷小量了。例1.1 证明：时，。证： 令，故，且时，。因为 ，故 时，。注意，这个结果可以作为公式使用。例1.2 证明：时，。证：利用等阶无穷小公式 ，并运用指数变换，有 第一个等阶关系符号是由于，第二个等阶关系符号是由于。例1.3 求极限。解：当时，所以 原式。上面第2个极限，分子是无穷小与有界函数的乘积，极限为0。 本题若不用等阶无穷小作为工具，用我们现在的知识还有难度，当然，以后学了导数和Lhospital法则后，还有较简便的方法。例1.4 求解：这个题一上来可能觉得不知从何下手，用吧，还差个指数，第2个对数函数，有，是个无穷大而不是无穷小，所以也不能用。怎么办？需要做变换，使它们能实现可用现在公式的样子，尽量利用等阶无穷小将式中的对数化去：因为当时，以及有变换，而其中的 。所以，原式，其中最后一个等式是因为 。例1.5 求 解：本题看上去也很难下手，实际上逼着之剩下“华山”一条路可走利用三角函数的和差化积： 原式 ，到了这一步，似乎可以看到“华山”的顶峰了：当时，是无穷小，所以有，仍然为无穷小；而是有界函数。这样 原式。例1.6 求 解1：本题看起来似乎很容易，因为，所以立即有 原式。解2： 利用三角变换 ，原式。上述2个解法答案不同，哪个对？是解2。解法1的毛病出在“在加减运算中不能用各自的等阶无穷小代换”。那么，是否一定不能代换呢?实际上，在一定条件下可以各自代换。要注意，要有一定的条件！请看下列定理：定理1 设当时，且。若存在或者为无穷大，则 也存在，且 。我想先对这个定理说几句。利用等阶无穷小量的代换，可以使得求极限的过程得到简化，所以我们大家都喜欢用（我也如此）。但是量等无穷销量相减时，如果分别用它们的等价无穷小量代换，有时会出错。例1.6就是一个例子。上述定理1告诉我们，如果不是等价无穷小量（见条件），那么可以分别用它们的等价无穷小量代换。但若，就不能分别用它们的等价无穷小量代换。请看下面的例子。例1.7 求 解： 当时，与不是等阶无穷小（因为），所以可以分别用它们的等价无穷小量代换。 原式。例1.8 求 解：当时，与不是等阶无穷小，所以 原式。例1.9 求 本题留给大家做吧。 下面我们给出定理1的证明（其实很简单，等阶以后要慢慢地学会证明，简单的证明题要比计算题好做，因为证明题有明确的方向，而计算题常常不知做到哪里！）定理1的证明：只要证明就行（为什么？请同学们自己给出理由）。 因为 ，所以 ，所以我们有 。中就完成了证明。有了定理1，我们可以放心地正确地做题了。二无穷小量的综合习题下面我们多做些题，不过在读解答前，还是希望大家自己独立做一遍，实在做不出，可以看一步或两步。总之，要养成独立思考的习惯。自己想出来的，才属于自己真实的本事。再说，中个过程也是锻炼自己的意志与毅力的过程。例2.1 求 。解：首先判断极限的类型。显然这是型。它带根号，所以第一个进入脑子的思路，是作分母的有理化，然后再考虑利用等阶无穷小的代换。(注意次序先后) 原式 ，到了这里，要考虑用等阶无穷小的代换了：，于是继续下去有原式。例2.2 .解：都不是时的无穷小，虽然它们是有界函数，但对求极限的意义几乎没有。用和差化积的办法，也不见效果。那么该怎么办呢？思路是人为制造出无穷小来，而且要制造出不等价的无穷小（因为有减法运算）。原式 （注意和不是等阶无穷小） ，（到了这里，又遇到了和都不是无穷小的情况，再次用“制造无穷小”的办法） 。例2.3 求 。解：本题属于型极限。显然是时的无穷小，为此记，则。 原式上面的最后一步利用了。但是到了这里，似乎又陷入了困境，后面那个方括号怎么处理？利用这个武器！，这样原式 （这时好利用这个等阶关系了！） 。指数代换是需要大家记牢的。下面是关于无穷小量的阶的判定问题。例2.4证明下列等式：（时） （1） ； （2）； (3) .证：（1）因为 ，所以根据无穷小量的同阶无穷小的定义，。（2）表示 ，而表示，所以 。 。同理可以证明同阶情况下有 。由此题，我们可知，在作加减的极限运算时，可以丢掉高阶的无穷小量部分。（3） 因为 ，所以 。同理可证 。例2.5 当时，证明下列等式：（1）； (2); (3).证：要证明是同阶无穷小，只须看其两者之比的极限是否等于一个常数。 因为 ，所以 ，（）。（2）同（1）的理由，求 ，所以 ， （）。（3） 要证明高阶无穷小，须得到两者之比的极限为0. 因为 ，所以 ， （）。例2.6 当时，下列无穷小量是的几阶无穷小量？（1）； （2）； (3) ；（4） ； （5）； （6）。解：（1）当时，在中，与都是的高阶无穷小量，根据例2.4 中的（2）知，以次数最低者为准，故，即是的一阶无穷小量。（2）当时，故，所以 ，从而是的二阶无穷小量。（3）将做变形，得 ，由于 ，所以，是在时的一阶无穷小量。（4）将变形，,由于 ，故是在时的一阶无穷小量。（5）将 变形，得 ，当时，第二项较第一项为高阶无穷小量，实施上第一项是的二阶无穷小，第二项是的三阶无穷小，所以 ，所以，是在时的二阶无穷小量。（6）将原式变形：，因为当时，故有 。这样