数学典故中的数学文化.doc

数学典故中的数学文化数学典故中的数学文化【背景分析】“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题，最早出现在孙子算经中。该知识点是人教版数学教材六年级上册里的知识点，是在学生已经学习了列举法、方程等知识的基础上进行教学的。本课对教材进行了有机的整合与补充，其目标定位不仅是引导学生通过分析解决这道古典名题，还注重培养学生的逻辑推理能力和思维能力，提高学生解决问题的能力和自信心，进而让学生体会数学的价值。【案例描述】片段一：“化繁为简”的问题导入师：数学在中国历史久矣。中国是世界上最早研究数学的文明古国之一，我们的先辈写了很多在全世界都非常有影响力的著作，比如：周髀算经、九章算术、孙子算经等，这些著作对全世界数学的发展都有非常大的贡献。在我国古代数学名著孙子算经中记载了这样一道数学趣题。我们一起来看看。课件出示：今有雉兔同笼，上有八头，下有二十六足，问雉兔各有几只？师：我们把它翻译成现代文就是：（课件出示：今有鸡兔同笼，上有8头，下有26足。问：鸡有几只？兔有几只？）师：这是一道什么问题？（鸡兔同笼问题）师：鸡兔同笼是什么意思？（鸡和兔关在同一个笼子里）师：不少同学在兴趣小组活动的时候，在自己的课外阅读中都已经接触过这类问题，今天我们一起来研究它。【评析】“鸡兔同笼”的原题为：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各有几？由于原题的数据较大，不便于学生进行探究，所以教师以化繁为简的思想为指导，将书中例一进行改编导入课前的导入，由此激发学生的解题兴趣，促进学生的数学思考。另外，课始的教师讲解，向学生阐述了我国的数学文化，让学生体会到我国数学文化博大精深，增强学生的上进心以及学好数学的信心。片断二：列举法与假设法的有效结合师：现在我们看看这位同学做的。其他的同学看看他的做法和你的有什么不同，看可以从同学身上可以学到什么？学生出现的情况：头/个鸡/只兔/只腿/条8 8 0 168 7 1 188 6 2 208 5 3 228 4 4 248 3 5 268 2 6 288 1 7 308 0 8 32学生汇报交流，得出答案。师：介绍列举法。列举法有什么优点？生：很好理解，一目了然。师：如果题目变成30个头或者50个头呢？我们在用列举法合适吗？生：如果数很大，用列举法很麻烦，效率低。师：那我们就来尝试研究新的更简洁方法。同学们再来观察下自己刚才列的表格，看看这些数量之间是否存在着一些数学的规律，请将你的想法跟同组的同学相互交流下。开始。（通过列举法来启发学生，这样也可以帮助学生理解不同方法之间的内在联系）学生汇报方法：生：鸡的数量每减少1只，兔的数量就增加1只，脚的数量也跟着增加2只。兔的数量每减少1只，鸡的数量就增加1只，脚的数量反而减少2只。师：在这里老师有个疑问：增加1只兔子应该增加2只脚，为什么大家却说增加了2只脚？生：因为1只兔子比1只鸡多2只脚。师：老师还有一个疑问，既然是鸡兔同笼为什么表格中左起的第一行有8只鸡和0只兔？生：假设笼子里全是鸡师：刚才我们已经用列举法解决了这个问题，你能用其他的方法来解决这个问题吗？小组之间讨论，一会儿派代表汇报一下。（1）假设全是鸡生：把兔当成鸡再算。一只兔当成一只鸡算少两只脚，那把5只兔当成了鸡算就会少算10只脚，即10里面有5个2。用5只兔当成了鸡算，这个5就表示应该有5只兔，从而得到鸡有3只。学生和教师一起边说算式，教师边板书，画图帮助学生理解。结合课件进行演示82=16（只）（如果把兔全当成鸡一共就有82=16只脚）26-16=10（只）（把兔看成鸡来算，4只脚兔有当成2只脚的鸡算，每只兔就少了2只脚，10只脚是少算了兔的脚）4-2=2（假设全是鸡，是把4只脚的兔有当成2只脚的鸡。所以4-2表示是一只兔当成一只鸡就要少算2只脚。）102=5（只）兔（那把多少只兔当成鸡算就会少10只脚呢？就看10里面有几个2就是把几只兔当成了鸡来算，所以102=5就是兔的只数。）8-5=3（只）鸡（用鸡兔的总只数减去兔的只数就是鸡的只数，8-5=3只鸡）（2）假设全是兔假设笼子里全是兔。这个时候把什么当什么算？那就是把里面的鸡也当成兔来计算了，那把一只2只脚的鸡当成一只4只脚的兔来算会有什么结果呢？（就会多算两只）84=32（条）（如果把鸡全看成兔一共就有84=32只脚）32-26=6（条）（把鸡当成兔来算，两只脚的鸡当成4只脚兔算，每只鸡就多了两只脚，6只脚是多算了鸡的腿）4-2=2（假设全是兔，是把两只脚的鸡当成有4只脚的兔。所以4-2表示是一只鸡当成一只兔多算了2只脚。）62=3（只）鸡（那要把多少只鸡当成兔来算就会多算6只脚呢？就看6里面有几个2就是把几只鸡当成了兔算，所以62=3就是现在鸡的只数。）8-3=5（只）兔肯定学生的答案，用课件结合画图法再演示一次，最需要强调的是4-2=2的2是怎么来。【评析】：在学生独立思考的探索过程中，首先考虑到的就是用列举的方法来寻找问题的答案。对于学生的这一方法，教师给予了肯定又加于了否定，即在数据量大的情况下就不适用了。而在引导学生尝试探索新方法时，教师并没有直接摈弃列举的方法，而是有效地利用了列举出的图表，根据图表中的数据引导学生思考，原来在列举法中就存在着假设的思想。层层递进，探索出假设法的思路和解题过程，既让学生掌握了鸡兔同笼的解题方法，也让学生在缜密的思考中，体会数学的魅力，遨游在数学和海洋中，养成数学良好的思维品质。片段三：建构模型，突破本质师：不但我国古代的数学著作孙子算经中就记载了鸡兔同笼问题，日本人对鸡兔同笼问题也有研究，日本人又称它叫“龟鹤问题”。（课件演示：龟鹤的图片）师：日本人说的“龟鹤”和我们说的“鸡兔”有联系吗？生：是一样的意思：龟就相当于兔，都是四只脚；鹤就相当于鸡，都是两只脚。师：假如我们不叫它鸡兔同笼，也不叫龟鹤问题，还可以给它取个其它的名字吗？生1：鸭猫问题。生2：猪鹅问题。生3：马鹰问题。师：抓住了本质的东西！看来这里的鸡不仅仅代表鸡，这里的兔也不仅仅是指兔！师：这儿有一首民谣，我们一起来读一读：（课件出示：一队猎人一队狗，两队并成一队走。数头一共是十二，数脚一共四十二。）师：读了这则民谣，你有没有什么话想说？生：我觉得这还是鸡兔同笼问题。师：（追问）不对吧？这里是人和狗？生：这里的猎人有两只脚其实就是鸡，而狗就是兔。师：你说的是这个意思吗？（课件出示：猎人鸡两条腿 狗兔四条腿）师：你能算出猎人和狗各有多少吗？用你喜欢的方法自己去试一试。评析：从“鸡兔同笼”到日本的“龟鹤问题”，再到“人和狗”的民谣，逐步提炼出鸡兔同笼问题的基本特征。通过这一系列的问题情境，一方面让学生进一步明确“鸡兔同笼”问题的实质，了解其在生活中的广泛应用；另一方面也巩固了解决这类问题的方法。另外，在课中教师安排了学生给鸡兔同笼重新命名的环节。这一举动让不积极的学生变得积极，积极的学生更为主动，抖擞了学生的上课精神，也活跃了课堂气氛，促使更有效的教学。片断四：拓展延伸，应用模型师：刚才我就问大家，生活中有类似鸡兔同笼的问题吗？现在大家觉得有吗？师：下面就让我们带上一双“数学的眼睛”到我们身边去看一看（课件出示：师生共42人去划船，共租了10条船，恰好坐满，每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船和小船各租了几条？）师：读懂了吗？同桌先交流一下你通过读题知道了什么？（同桌相互讨论。）生：这其实还是一个鸡兔同笼问题，也就是说：一种怪鸡有4只脚，一种怪兔有6只脚，一共有10个头，42只脚，问：怪鸡有几只？怪兔有几只？师：经过我们的奇思妙想，这个问题也转化成了一道鸡兔同笼问题。（课件出示：怪鸡4脚，怪兔6脚，共10头，42脚，问：怪鸡？只，怪兔？只。）【评析】：在学生已经掌握“鸡兔同笼”模型的基础上，引导学生利用模型解决实际问题，同时也促进了学生对模型的进一步内化。该问题与之前略有不同，不再是学生之前熟悉的2、4组合，而是变化为4和6，但其本质还是一样的，学生经过分析仍能转化为鸡兔同笼问题进行解决，相信经过这一次又一次的问题解决，能够让学生有效地掌握鸡兔同笼的具体解题方法。另外，在教学过程中，教师配合着学生的口吻，使问题以怪鸡怪兔的形式，也增添了不少乐趣，这样的课堂教学也让学生收获了丰富的知识。【案例分析】“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题，趣题中所蕴含的数学文化也让学生充分体验了中国古典文学的精炼、博大和精深，让学生思维得到了一次次的拓展和历练。1.注意渗透化繁为简的思想“鸡兔同笼”的原题数据比较大，不利于学生进行探究，因此教师在课始安排了书本中的例一，通过化繁为简的思想,帮助学生先探索出解决该类问题的一般方法后，再解决数据量较大的问题。这样既引起了学生的学习兴趣，也促进了学生的数学思考，为这节课成功的学习打下了基础。2.建构模型，深刻理解在“鸡兔同笼”的假设法教学中，学生容易出现这一疑问：26-16=10，102=5，这里的10为什么要除以2，2又是什么意思？因为假设全是鸡，是把4只脚的兔有当成2只脚的鸡，所以4-2表示是一只兔当成一只鸡就要少算2只脚。在这一环节，很多学生都难以理解。因此，教师要针对学生在教学中出现的难懂问题，要精心设计教学活动，展示数学结语的过程教学，让学生在参与数学结语的动态活动中，深刻建构数学概念。3.算法的多样化和优化算法多样化不是教学追求的最终目的，它的实质是通过算法多样化这一教学策略，让学生充分利用已有的知识、经验和方法，在独立思考、积极探索的有效学习活动中开发创新潜能，而其含意是通过自主探索、合作交流，寻求最简捷、最容易、最适合的算法，提高学生的数学思维水平，做到“多中选优，择优而用”。正如叶澜教授所说：“没有聚焦的发散是没有价值的，聚焦的目的是为了促进学生发展。”由此可见，算法多样化和算法优化只有二者和谐统一，才能从“量”和“质”两个层面发展学生的思维。教师应组织和引导学生正确认识、分析各种算法特点，择优选用简算的方法，从而达到预期的教学效果。在鸡兔同笼的解题过程中，学生先后产生了列举法、