高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件课件 北师大版选修21.ppt

1 2充分条件与必要条件 一 二 三 四 思考辨析 一 充分条件 名师点拨定义中p q 即如果具备了条件p 就可以保证结论q成立 所以p是q的充分条件 从集合的角度来认识充分条件 若p表示的集合为a q表示的集合为b p q 就有a b 做一做1 x 5 是 x 7 的条件 答案 充分 一 二 三 四 思考辨析 二 必要条件 名师点拨若p q 则称p是q的充分条件 同时 我们称q是p的必要条件 所谓必要 即q是p成立的必不可少的条件 缺其不可 从集合的角度来认识必要条件 若p表示的集合为a q表示的集合为b p q 就有a b 做一做2 ab 0 是 a 0 的条件 答案 必要 一 二 三 四 思考辨析 三 充要条件充要条件 对于p和q 如果有p q 又有q p 那么 记作p q 这时 p既是q的充分条件 又是q的必要条件 同时 q既是p的充分条件 也是p的必要条件 我们称p是q的充分必要条件 简称充要条件 也称p与q是等价的名师点拨如果p q 那么p与q互为充要条件 也可以说p与q是等价的 从集合的角度来认识充要条件 若p表示的集合为a q表示的集合为b p q 就有a b 一 二 三 四 思考辨析 做一做3 在 abc中 a b 是 sina sinb 的条件 解析 在三角形中由大角对大边可知a b a b 再结合正弦定理 a sinb 反之 仍然结合正弦定理及大边对大角可得出sina sinb a b 因此在 abc中 a b 是 sina sinb 的充要条件 答案 充要 一 二 三 四 思考辨析 四 充分 必要条件的四种情形设原命题为 若p 则q 则其逆命题为 若q 则p 得p与q的关系有以下四种情形 一 二 三 四 思考辨析 名师点拨如果把p研究的范围看成集合a 把q研究的范围看成集合b 则可得下表 一 二 三 四 思考辨析 做一做4 设点p x y 则 x 2 且y 1 是 点p在直线l x y 1 0上 的条件 解析 将 2 1 代入直线方程 符合方程 即 x 2且y 1 可推出 点p在直线l x y 1 0上 而点p在直线l上 则点p不一定就是 2 1 点 即 点p在直线l x y 1 0上 推不出 x 2且y 1 故 x 2且y 1 是 点p在直线l x y 1 0上 的充分而不必要条件 答案 充分而不必要 一 二 三 四 思考辨析 判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 如果p是q的充分条件 那么命题 若p 则q 不一定为真 2 如果p是q的充分条件 那么q就是p的必要条件 3 如果p是q的必要条件 那么p是唯一的 4 如果p是q的充要条件 那么q也是p的充要条件 探究一 探究二 探究三 思维辨析 充分条件 必要条件和充要条件的判断 例1 指出下列各组命题中 p是q的什么条件 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 1 p 数a能被6整除 q 数a能被3整除 2 p x 1 q x2 1 3 p abc有两个角相等 q abc是正三角形 4 p a b a b q a b 0 5 在 abc中 p a b q bc ac 6 p a 3 q a 2 a 3 0 7 p a 2 q a 5 8 p a b q 1 探究一 探究二 探究三 思维辨析 思维点拨 判断p是q的什么条件 主要判断p q及q p两命题的真假 若p q为真 则p是q的充分条件 若q p为真 则p是q的必要条件 若p q 则p是q的充要条件 解 1 因为p q qp 所以p是q的充分不必要条件 2 因为p q qp 所以p是q的充分不必要条件 3 因为pq q p 所以p是q的必要不充分条件 4 因为当a b 0时 a b a b 所以 a b a b 不能推出 a b 0 即p不能推出q 而当a b 0时 有 a b a b 即q p 所以p是q的必要不充分条件 探究一 探究二 探究三 思维辨析 5 在 abc中 a b bc ac 所以p是q的充要条件 6 a 3 a 2 a 3 0 但 a 2 a 3 0a 3 所以p是q的充分不必要条件 7 a 2a 5 但a 5 a 2 所以p是q的必要不充分条件 反思感悟充分条件 必要条件 充要条件的判断方法1 定义法 1 分清命题的条件和结论 分清哪个是条件 哪个是结论 2 找推式 判断 p q 及 q p 的真假 3 根据推式及条件得出结论 2 集合法 写出集合a x p x 及b x q x 利用集合间的包含关系进行判断 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1 1 下列 若p 则q 形式的命题中 p是q的充分条件的是 d 若x y 则x2 y2 2 a 2 是 直线l1 a 1 x y 2 0与直线l2 ax 2a 2 y 1 0互相垂直 的 a 必要不充分条件b 充分不必要条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解析 1 b项中 x2 1 x 1或x 1 c项中 当x yy2 所以b c d中p不是q的充分条件 2 由l1 l2 得a a 1 2a 2 0 解得a 1或a 2 故选b 答案 1 a 2 b 探究一 探究二 探究三 思维辨析 充分条件 必要条件的探求 例2 已知集合m x x5 p x x a x 8 0 1 求实数a的取值范围 使它成为m p x 5 x 8 的充要条件 2 求实数a的一个值 使它成为m p x 5 x 8 的一个充分但不必要条件 思维点拨 1 利用集合m和m p 通过分析求得a的取值范围 2 借助 1 的结论 根据充分但不必要条件所满足的关系 确定a的值 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 1 由m p x 5 x 8 得 3 a 5 因此m p x 5 x 8 的充要条件是 a 3 a 5 2 求实数a的一个值 使它成为m p x 5 x 8 的一个充分但不必要条件 就是在集合 a 3 a 5 中取一个值 如取a 0 此时必有m p x 5 x 8 反之 m p x 5 x 8 未必有a 0 故a 0是m p x 5 x 8 的一个充分不必要条件 反思感悟解答本例 2 时 需借助 1 的结论 即求某一个结论的充分不必要条件或必要不充分条件时 一般是先求出这个结论的充要条件 成为m p x 5 x 8 的一个充分不必要条件 从集合的包含关系来看 即为确定集合m p x 5 x 8 的一个真子集即可 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2已知p x k q 1 如果q是p的必要不充分条件 那么k的取值范围是 因为q是p的必要不充分条件 所以k 2 答案 2 探究一 探究二 探究三 思维辨析 充要条件的证明 例3 已知x y都是非零实数 且x y 求证 的充要条件是xy 0 思维点拨 充要条件的证明可用其定义 即条件 结论且结论 条件 如果每一步的推出都是等价的 也可以把两个方面的证明合并在一起 用 写出证明 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟充要条件的证明方法 1 定义法 分别证明充分性和必要性两个方面 在解题时要避免出现把充分性当必要性来证明的错误 这就需要先分清条件与结论 若从条件推出结论 就是充分性 若从结论推出条件 就是必要性 2 等价法 就是从条件开始 逐步推出结论 或者从结论开始 逐步推出条件 但是每一步都是可逆的 即反过来也能推出 故必要性 或者充分性 也可以不再重复证明 仅作为说明即可 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3已知ab 0 求证 a b 1的充要条件是a3 b3 ab a2 b2 0 思维点拨 本题中ab 0是前提 证明充要条件即证明既是充分条件又是必要条件 必须证明必要性与充分性都成立 证明 先证必要性 a b 1 b 1 a a3 b3 ab a2 b2 a3 1 a 3 a 1 a a2 1 a 2 a3 1 3a 3a2 a3 a a2 a2 1 2a a2 0 必要性成立 再证充分性 a3 b3 ab a2 b2 0 即 a b a2 ab b2 a2 ab b2 0 a b 1 a2 ab b2 0 又 ab 0 a 0 且b 0 从而a2 ab b2 0 a b 1 0 即a b 1 故充分性成立 综上 a b 1的充要条件是a3 b3 ab a2 b2 0 探究一 探究二 探究三 思维辨析 误将 必要条件 充当 充要条件 致误 典例 函数f x a 1 tan2x 3sinx a2 3a 4为奇函数的充要条件是 a a 4b a 1c a 4或a 1d a r易错分析 由f x 为奇函数 定义域中有0 一定有f 0 0 但反过来 由f 0 0不能说明f x 为奇函数 探究一 探究二 探究三 思维辨析 该定义域关于原点对称 f x 为奇函数且0 a f 0 0 即a2 3a 4 0 a 4或a 1 当a 1时 易证f x 3sinx x a 是奇函数 当a 4时 f x 5tan2x 3sinx x a f x 5tan2x 3sinx x a 既不是奇函数也不是偶函数 不合题意 a 4应舍去 故选b 纠错心得运用必要条件探求充要条件时 一定要进行验证 千万不可以把 必要条件 充当 充要条件 12345 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 既不充分也不必要条件d 充要条件 答案 a 12345 2 已知 是两个不同的平面 直线a 直线b 命题p a与b无公共点 命题q 则p是q的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件解析 无公共点 a b无公共点 但a b无公共点不能推出 无公共点 即不能推出 所以p是q的必要不充分条件 答案 b 12