信息论与编码_陈运主编答案完整.pdf

2 1 试问四进制 八进制脉冲所含信息量是二进制脉冲的多少倍 解 四进制脉冲可以表示 4 个不同的消息 例如 0 1 2 3 八进制脉冲可以表示 8 个不同的消息 例如 0 1 2 3 4 5 6 7 二进制脉冲可以表示 2 个不同的消息 例如 0 1 假设每个消息的发出都是等概率的 则 四进制脉冲的平均信息量symbolbitnXH 24loglog 1 八进制脉冲的平均信息量symbolbitnXH 38loglog 2 二进制脉冲的平均信息量symbolbitnXH 12loglog 0 所以 四进制 八进制脉冲所含信息量分别是二进制脉冲信息量的 2 倍和 3 倍 2 2 居住某地区的女孩子有 25 是大学生 在女大学生中有 75 是身高 160 厘米以上的 而女 孩子中身高 160 厘米以上的占总数的一半 假如我们得知 身高 160 厘米以上的某女孩是大 学生 的消息 问获得多少信息量 解 设随机变量 X 代表女孩子学历 X x1 是大学生 x2 不是大学生 P X 0 25 0 75 设随机变量 Y 代表女孩子身高 Y y1 身高 160cm y2 身高 log6 不满足信源熵的极值性 17 0 16 0 17 0 18 019 02 0 654321 xxxxxx XP X 解 2 585 26log 657 2 17 0log17 016 0log16 017 0log17 018 0log18 019 0log19 02 0log2 0 log 2 6 XH symbolbit xpxpXH i ii 不满足极值性的原因是 107 1 6 i i xp 2 7 证明 H X3 X1X2 H X3 X1 并说明当X1 X2 X3是马氏链时等式成立 证明 0 log1 log log1 log log log log log 2 123 1321 2 123 321 123 1321 123 2 213 13 321 123 213 13 321 123 13321 123 213321 13 1331 123 213321 13213 exxpxxp exxxpxxpxxp e xxxp xxp xxxp xxxp xxp xxxp xxpxxxpxxxpxxxp xxpxxpxxxpxxxp XXHXXXH iii iiii iii iii iii iiii iii iii ii iii iii iii ii iii iii iiiii iii iiiiii ii iiii iii iiiiii 氏链是马等式等等的等等是 时等式等等当 01 321 1321312 32113121 212131321 21313 213 13 13213 XXX xxxpxxpxxp xxxpxxpxxpxp xxpxxxpxxpxxp xxxpxxp xxxp xxp XXHXXXH iiiiiii iiiiiiii iiiiiiiii iiiii iii ii 2 8 证明 H X1X2 Xn H X1 H X2 H Xn 证明 0 0 2133213 12212 12121312121 XXXHXHXXXI XXHXHXXI XXXXHXXXHXXHXHXXXH nnn 3 0 32121 121121 nn nNNnN XHXHXHXHXXXH XXXXHXHXXXXI 2 9 设有一个信源 它产生 0 1 序列的信息 它在任意时间而且不论以前发生过什么符号 均按 P 0 0 4 P 1 0 6 的概率发出符号 1 试问这个信源是否是平稳的 2 试计算H X 2 H X 3 X1X2 及H 3 试计算H X 4 并写出X4信源中可能有的所有符号 解 1 这个信源是平稳无记忆信源 因为有这些词语 它在任意时间 而且不论以前发生过什么符号 2 symbolbitXHXXXXHH symbolbitxpxpXHXXXH symbolbitXHXH NNN N i ii 971 0 lim 971 0 6 0log6 04 0log4 0 log 942 1 6 0log6 04 0log4 0 2 2 121 3213 2 3 1111111011011100 1011101010011000 0111011001010100 0011001000010000 的所有符号 884 3 6 0log6 04 0log4 0 4 4 4 4 X symbolbitXHXH 2 10 一阶马尔可夫信源的状态图如下图所示 信源X的符号集为 0 1 2 1 求平稳后信源的概率分布 2 求信源的熵H 解 1 4 3 1 3 1 3 1 1 3 2 1 321 321 133 322 211 1313333 3232222 2121111 ep ep ep epepep epepep eppeppep eppeppep eppeppep eepepeepepep eepepeepepep eepepeepepep 3 1 2 3 1 1 3 1 0 3 13 3 13 3 13 131313333 323232222 212121111 XP X ppeppeppexpepexpepxp ppeppeppexpepexpepxp ppeppeppexpepexpepxp 2 symbolbitpppp pppppppppppp eepeepeepeepeepeep eepeepeepeepeepeep eepeepeepeepeepeep eepeepepH ij ijiji loglog log 3 1 log 3 1 log 3 1 log 3 1 log 3 1 log 3 1 log 3 1 log 3 1 log 3 1 log 3 1 log 3 1 log 3 1 log 3 1 log 3 1 log 3 1 log 333332323131 232322222121 131312121111 33 2 11 黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种 即信源X 黑 白 设黑色出现的概率为 P 黑 0 3 白色出现的概率为P 白 0 7 1 假设图上黑白消息出现前后没有关联 求熵H X 2 假设消息前后有关联 其依赖关系为P 白 白 0 9 P 黑 白 0 1 P 白 黑 0 2 P 黑 黑 0 8 求此一阶马尔可夫信源的熵H2 X 3 分别求上述两种信源的剩余度 比较H X 和H2 X 的大小 并说明其物理含义 解 1 symbolbitxpxpXH i ii 881 0 7 0log7 03 0log3 0 log 2 5 symbolbit eepeepepH ep ep epep epep epepep epepep eepepeepepep eepepeepepep ij ijiji 553 0 9 0log9 0 3 2 1 0log1 0 3 2 2 0log2 0 3 1 8 0log8 0 3 1 log 3 2 3 1 1 2 2 0 9 0 1 0 8 0 2 1 21 12 122 211 1212222 2121111 3 7 44 2log 553 02log 9 11 2log 881 02log 0 0 1 0 0 1 H HH H HH H X H2 X 表示的物理含义是 无记忆信源的不确定度大与有记忆信源的不确定度 有记忆信源的结构化信息较多 能够进行较大程度的压缩 2 12 同时掷出两个正常的骰子 也就是各面呈现的概率都为 1 6 求 1 3 和 5 同时出现 这事件的自信息 2 两个 1 同时出现 这事件的自信息 3 两个点数的各种组合 无序 对的熵和平均信息量 4 两个点数之和 即 2 3 12 构成的子集 的熵 5 两个点数中至少有一个是 1 的自信息量 解 1 bitxpxI xp ii i 170 4 18 1 log log 18 1 6 1 6 1 6 1 6 1 2 bitxpxI xp ii i 170 5 36 1 log log 36 1 6 1 6 1 3 两个点数的排列如下 11 12 13 14 15 16 6 21 22 23 2425 26 31 32 33 3435 36 41 42 43 4445 46 51 52 53 5455 56 61 62 63 6465 66 共有 21 种组合 其中 11 22 33 44 55 66 的概率是 36 1 6 1 6 1 其他 15 个组合的概率是 18 1 6 1 6 1 2 symbolbitxpxpXH i ii 337 4 18 1 log 18 1 15 36 1 log 36 1 6 log 4 参考上面的两个点数的排列 可以得出两个点数求和的概率分布如下 symbolbit xpxpXH XP X i ii 274 3 6 1 log 6 1 36 5 log 36 5 2 9 1 log 9 1 2 12 1 log 12 1 2 18 1 log 18 1 2 36 1 log 36 1 2 log 36 1 12 18 1 11 12 1 10 9 1 9 36 5 8 6 1 7 36 5 6 9 1 5 12 1 4 18 1 3 36 1 2 5 bitxpxI xp ii i 710 1 36 11 log log 36 11 11 6 1 6 1 2 13 某一无记忆信源的符号集为 0 1 已知P 0 1 4 P 1 3 4 1 求符号的平均熵 2 有 100 个符号构成的序列 求某一特定序列 例如有m个 0 和 100 m 个 1 的自信息量的表达式 3 计算 2 中序列的熵 解 1 symbolbitxpxpXH i ii 811 0 4 3 log 4 3 4 1 log 4 1 log 2 bitmxpxI xp m ii m mm i 585 15 41 4 3 log log 4 3 4 3 4 1 100 100 100 100 100 7 3 symbolbitXHXH 1 81811 0100 100 100 2 14 对某城市进行交通忙闲的调查 并把天气分成晴雨两种状态 气温分成冷暖两个状态 调查结果得联合出现的相对频度如下 若把这些频度看作概率测度 求 1 忙闲的无条件熵 2 天气状态和气温状态已知时忙闲的条件熵 3 从天气状态和气温状态获得的关于忙闲的信息 解 1 根据忙闲的频率 得到忙闲的概率分布如下 symbolbitxpxpXH xx XP X i i i 964 0 103 40 log 103 40 103 63 log 103 63 log 103 40 103 63 闲忙 2 21 2 设忙闲为随机变量 X 天气状态为随机变量 Y 气温状态为随机变量 Z symbolbitYZHXYZHYZXH symbolbit zypzypYZH symbolbit zyxpzyxpXYZH jk kjkj ijk kjikji 859 0977 1 836 2 977 1 103 28 log 103 28 103 32 log 103 32 103 23 log 103 23 103 20 log 103 20 log 836 2 103 12 log 103 12 103 5 log 103 5 103 15 log 103 15 103 8 log 103 8 103 16 log 103 16 103 27 log 103 27 103 8 log 103 8 103 12 log 103 12 log 3 symbolbitYZXHXHYZXI 159 0859 0964 0 8 2 15 有两个二元随机变量X和Y 它们的联合概率为 Y X x1 0 x2 1 y1 0 1 8 3 8 y2 1 3 8 1 8 并定义另一随机变量Z XY 一般乘积 试计算 1 H X H Y H Z H XZ H YZ 和H XYZ 2 H X Y H Y X H X Z H Z X H Y Z H Z Y H X YZ H Y XZ 和H Z XY 3 I X Y I X Z I Y Z I X Y Z I Y Z X 和I X Z Y 解 1 symbolbitypypYH yxpyxpyp yxpyxpyp symbolbitxpxpXH yxpyxpxp yxpyxpxp j jj i ii 1 log 2 1 8 1 8 3 2 1 8 3 8 1 1 log 2 1 8 1 8 3 2 1 8 3 8 1 22212 12111 22122 21111 Z XY 的概率分布如下 symbolbitzpZH zz ZP Z k k 544 0 8 1 log 8 1 8 7 log 8 7 8 1 8 7 10 2 21 symbolbitzxpzxpXZH zpzxp zxpzxpzp zxpzpzxp zxpzxpzp xpzxp zxp zxpzxpxp ik kiki 406 1 8 1 log 8 1 8 3 log 8 3 2 1 log 2 1 log 8 1 8 3 5 0 8 7 5 0 0 222 22212 11112 12111 111 21 21111 9 symbolbitzypzypYZH zpzyp zypzypzp zypzpzyp zypzypzp ypzyp zyp zypzypyp jk kjkj 406 1 8 1 log 8 1 8 3 log 8 3 2 1 log 2 1 log 8 1 8 3 5 0 8 7 5 0 0 222 22212 11112 12111 111 21 21111 symbolbit zyxpzyxpXYZH yxpzyxp yxpzyxpzyxp zyxp yxpzyxp yxpzyxpzyxp zyxpzxpzyxp zxpzyxpzyxp yxpzyxp yxpzyxpzyxp zyxp zyxp zyxp ijk kjikji 811 1 8 1 log 8 1 8 3 log 8 3 8 3 log 8 3 8 1 log 8 1 log 8 1 0 8 3 8 3 8 1 2 1 8 1 0 0 0 2 22222 22222122 122 12112 12212112 11111121 11111121 11111 11211111 212 221 211 2 symbolbitXYHXYZHXYZH symbolbitXZHXYZHXZYH symbolbitYZHXYZHYZXH symbolbitYHYZHYZH symbolbitZHYZHZYH symbolbitXHXZHXZH symbolbitZHXZHZXH symbolbitXHXYHXYH symbolbitYHXYHYXH symbolbityxpyxpXYH ij jiji 0811 1811 1 405 0406 1811 1 405 0406 1811 1 406 01406 1 862 0544 0406 1 406 01406 1 862 0544 0406 1 811 01811 1 811 01811 1 811 1 8 1 log 8 1 8 3 log 8 3 8 3 log 8 3 8 1 log 8 1 log 2 3 10 symbolbitYZXHYXHYZXI symbolbitXZYHXYHXZYI symbolbitYZXHZXHZYXI symbolbitZYHYHZYI symbolbitZXHXHZXI symbolbitYXHXHYXI 406 0405 0811 0 457 0405 0862 0 457 0405 0862 0 138 0862 0 1 138 0862 0 1 189 0811 0 1 2 16 有两个随机变量X和Y 其和为Z X Y 一般加法 若X和Y相互独立 求证 H X H Z H Y H Z 证明 log log log 0 2 YHZH XZHZH YHypypxp xzpxzpxpxzpzxpXZH Yxz Yxzyp xzpxzp YXZ ij jji ik ikiki ik ikki ik ikj ikik Q Q 同理可得 XHZH 2 17 给定声音样值X的概率密度为拉普拉斯分布 Q 2 18 连续随机变量X和Y的联合概率密度为 其他0 1 222 2 ryx ryxp 求H X H Y H XYZ 和I X Y 提示 2 0 22 2log 2 sinlog xdx 解 12 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 2 0 2 0 2 22 2 0 2 2 0 2222 2 22 2 22 22 22 2 2 22 2 22 2 2 22 2 22 2 sinlog 2 2cos14 2 2cos1 log 4 sinlogsin 4 logsin 4 sinlogsin 4 sinlogsin 4 cos sinlogsin 4 cos log 4 log 2 log log 2 1 log log 2 1 1log 2 log log 2 log log 2 log 2 log log 21 22 22 22 22 ddr drd dr drr r rdrr r rx dxxrxr r dxxr r xr dxxrxp symbolbiter er r dxxrxp r dxxrxpdx r xp dx r xr xp dxxpxpXH rxr r xr dy r dyxypxp r r r r r r r r r r r r r r r c xr xr xr xr 令 其中 13 e ee dede de de d e d d d er dr ddrr dddrdr 2 2 0 22 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 2 0 2 2 0 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 0 2 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 log 2 1 2sinlog 2 1 log 2 1 2coslog 1 log 1 2 2cos1 log 2 coslog 2 sin logcos cossin2 1 sinlog2sinsinlog2sin 1 2sinsinlog 1 sinlog2cos 2 log 2 1 1log sinlog2cos 2 1log sinlog2cos 2 2log 2 2 2sinlog 1 log sinlog2cos 2 sinlog 2 2coslog 2 log 2 其中 bit symbole rer XYHYHXHYXI bit symbolr dxdyxypr dxdy r xyp dxdyxypxypXYH bit symbolerXHYH xpyp ryr r yr dx r dxxypyp cccc R R R c CC yr yr yr yr loglog logloglog2 log log 1 log log log 2 1 log 21 22 2 22 2 2 2 2 22 2 22 2 22 22 22 22 14 2 19 每帧电视图像可以认为是由 3 10 5个像素组成的 所有像素均是独立变化 且每像素又 取 128 个不同的亮度电平 并设亮度电平是等概出现 问每帧图像含有多少信息量 若有一 个广播员 在约 10000 个汉字中选出 1000 个汉字来口述此电视图像 试问广播员描述此图像 所广播的信息量是多少 假设汉字字汇是等概率分布 并彼此无依赖 若要恰当的描述此 图像 广播员在口述中至少需要多少汉字 解 1 symbolbitXNHXH symbolbitnXH N 101 27103 7128loglog 65 2 symbolbitXNHXH symbolbitnXH N 13288288 131000 288 1310000loglog 3 158037 288 13 101 2 6 XH XH N N 2 20 设是平稳离散有记忆信源 试证明 N XXXX 21 12121312121 NNN XXXXHXXXHXXHXHXXXH 证明 log log log log log log log log 121213121 21 11 12 21 12 1221 1 11 11 12 21 12 1221 1 1 2 21 12 1112121 12 2121 NN iii iii iii ii iiii i ii iii iii iii ii ii i iii i i ii iii iii iiiiiiiii iii iiiiii N XXXXHXXXHXXHXH xxxpxxxp xxpxxpxpxp xxxpxxxp xxpxxxpxpxxxp xxxpxxpxpxxxp xxxpxxxp XXXH NN N N NN N N N N N N N NNN N NN 2 21 设是N维高斯分布的连续信源 且X N XXXX 21 1 X2 XN的方差分别是 它们之间的相关系数 22 2 2 1 N 2 1 0 jiNjiXX ji 试证明 N维高斯分布的 连续信源熵 15 N i iNcc eXXXHXH 2 21 2log 2 1 证明 相关系数 jiNjixx ji 2 1 0 说明是相互独等的 N XXX 21 N i i N Ncccc iic NcccNcc e eee XHXHXHXH eXH XHXHXHXXXHXH 1 2 22 2 2 1 21 2 2121 2log 2 1 2log 2 1 2log 2 1 2log 2 1 2log 2 1 Q 2 22 设有一连续随机变量 其概率密度函数 其他0 0 2 axbx xp 1 试求信源X的熵Hc X 2 试求Y X A A 0 的熵Hc Y 3 试求Y 2X的熵Hc Y 解 1 symbolbit e a bXH ba aF bx xF e aba b xdxxbb dxxxfdxxfb dxbxxfdxxfxfXH c XX R RR RR c log 3 2 log 1 3 3 log 9 2 log log2log log log log log 3 33 33 2 2 2 Q 2 R RR RR c Ay A Y AydAyAybb dyAyyfdyyfb dyAybyfdyyfyfYH AybyFyf Ay b dxbx AyXPyAXPyYPyF AayA aAyax log 2log log log log log 3 00 2 2 2 2 32 Q 16 symbolbit e a bYH ba AaFAy b yF symbolbit e aba b c YY log 3 2 log 1 3 3 log 9 2 log 3 3 3 33 Q 3 symbolbit e a bYH ba aFy b yF ba e aba b e abab ydyy bb dyyyfdyyf b dyy b yfdyyfyfYH y b yFyf y b dxbx y XPyXPyYPyF ay a y ax c YY R RR RR c y Y 1log 3 2 log 1 3 2 24 3 29 log 9 2 log 8 log 9 2 8 log log 48 log log 8 log 8 log log 8 24 2 2 20 2 00 3 3 3 333 33 2 2 2 2 3 2 0 2 Q Q 17 17 3 1 设信源 4 06 0 21 xx XP X 通过一干扰信道 接收符号为 Y y1 y2 信道转移矩 阵为 4 3 4 1 6 1 6 5 求 1 信源X中事件x1和事件x2分别包含的自信息量 2 收到消息yj j 1 2 后 获得的关于xi i 1 2 的信息量 3 信源X和信宿Y的信息熵 4 信道疑义度H X Y 和噪声熵H Y X 5 接收到信息Y后获得的平均互信息量 解 1 bitxpxI bitxpxI 322 1 4 0log log 737 0 6 0log log 2222 2121 2 bit yp xyp yxI bit yp xyp yxI bit yp xyp yxI bit yp xyp yxI xypxpxypxpyp xypxpxypxpyp 907 0 4 0 4 3 log log 263 1 6 0 4 1 log log 263 1 4 0 6 1 log log 474 0 6 0 6 5 log log 4 0 4 3 4 0 6 1 6 0 6 0 4 1 4 0 6 5 6 0 2 2 22 222 2 1 21 212 2 2 12 221 2 1 11 211 2221212 2121111 3 symbolbitypypYH symbolbitxpxpXH j jj i ii 971 010log 4 0log4 06 0log6 0 log 971 0 10log 4 0log4 06 0log6 0 log 2 2 4 symbolbit YHXYHXHYXH YXHYHXYHXH symbolbit xypxypxpXYH ij ijiji 715 0 971 0 715 0 971 0 715 0 10log 4 3 log 4 3 4 0 4 1 log 4 1 4 0 6 1 log 6 1 6 0 6 5 log 6 5 6 0 log 2 Q 18 5 symbolbitYXHXHYXI 256 0715 0971 0 3 2 设二元对称信道的传递矩阵为 3 2 3 1 3 1 3 2 1 若P 0 3 4 P 1 1 4 求H X H X Y H Y X 和I X Y 2 求该信道的信道容量及其达到信道容量时的输入概率分布 解 1 symbolbitYXHXHYXI symbolbitXYHYHXHYXH XYHYHYXHXHYXI symbolbitypYH xypxpxypxpyxpyxpyp xypxpxypxpyxpyxpyp symbolbit xypxypxpXYH symbolbitxpXH j j ij ijiji i i 062 0749 0811 0 749 0918 0980 0811 0 980 0 4167 0log4167 05833 0 log5833 0 4167 0 3 2 4 1 3 1 4 3 5833 0 3 1 4 1 3 2 4 3 918 0 10log 3 2 lg 3 2 4 1 3 1 lg 3 1 4 1 3 1 lg 3 1 4 3 3 2 lg 3 2 4 3 log 811 0 4 1 log 4 1 4 3 log 4 3 22 22212122212 21211112111 2 22 2 2 1 082 0 10log 3 2 lg 3 2 3 1 lg 3 1 2loglog max 222 i mi xp symbolbitHmYXIC 3 3 设有一批电阻 按阻值分 70 是 2K 30 是 5 K 按瓦分 64 是 0 125W 其余是 0 25W 现已知 2 K 阻值的电阻中 80 是 0 125W 问通过测量阻值可以得到的关于瓦数的平均信息 量是多少 解 对本题建立数学模型如下 求 2 0 8 0 36 0 64 0 4 18 1 瓦数 3 07 0 52 阻值 1211 2121 YXI xypxyp yy YP Yxx XP X 以下是求解过程 19 symbolbitXYHYHXHYXI symbolbit yxpyxpXYH symbolbitypYH symbolbitxpXH yxpypyxp yxpyxpyp yxpypyxp yxpyxpyp xypxpyxp xypxpyxp ij jiji j j i i 186 0638 1943 0881 0 638 1 22 0log22 008 0log08 014 0log14 0 56 0 log56 0 log 943 036 0log36 064 0log64 0 881 03 0log3 07 0log7 0 22 014 036 0 08 056 064 0 14 02 07 0 56 08 07 0 2222 22 22 21222 22212 11112 12111 12121 11111 Q Q 3 4 若X Y Z是三个随机变量 试证明 1 I X YZ I X Y I X Z Y I X Z I X Y Z 证明 log log log log log log log log ZYXIZXI zxp zyxp zyxp xp zxp zyxp zxpxp zxpzyxp zyxp xp zyxp zyxpYZXI YZXIYXI yxp zyxp zyxp xp yxp zyxp yxpxp yxpzyxp zyxp xp zyxp zyxpYZXI ijk ki kji kji ijk i ki kji ijk kii kikji kji ijk i kji kji ijk ji kji kji ijk i ji kji ijk jii jikji kji ijk i kji kji 2 I X Y Z I Y X Z H X Z H X YZ 证明 ijk kjki kjkji kji ijk ki kji kji zypzxp zypzyxp zyxp zxp zyxp zyxpZYXI log log 20 log log log log log log log log log YZXHZXH YZXHzxpzxp YZXHzxpzyxp zyxpzyxpzxpzyxp zxp zyxp zyxpZYXI ZXYI zyp zxyp zyxp zypzxp zyxp zyxp zypzxp zyxp zyxp zypzpzxp zyxp zyxp ik kiki ik ki j kji ijk kjikji ijk kikji ijk ki kji kji ijk kj kij kji ijk kjki kji kji ijk kjki kji kji ijk kjkki kji kji 3 I X Y Z 0 当且仅当 X Y Z 是马氏链时等式成立 证明 0 0 log1 log1 log log1 log log 2 2 2 2 ZYXI ezxp ezxpzyp ezyxp zyxp zxp zyxp e zyxp zxp zyxp zyxp zxp zyxpZYXI zxp zyxp zyxpZYXI i ki i ki jk kj ijk kji ijk kji ki kji ijk kji ki kji ijk kji ki kji ijk ki kji kji Q 当01 kji ki zyxp zxp 时等式成立 21 kjikikj kkjikikj kjikikjk kjkjikikj kjiki zyxpzxpzyp zpzyxpzxpzyp zyxpzxpzypzp zypzyxpzxpzyp zyxpzxp 所以等式成立的条件是 X Y Z 是马氏链 3 5 若三个随机变量 有如下关系 Z X Y 其中X和Y相互独立 试证明 1 I X Z H Z H Y 2 I XY Z H Z 3 I X YZ H X 4 I Y Z X H Y 5 I X Y Z H X Z H Y Z 解 1 log log log 0 2 2 2 YHZHXZHZHZXI YH ypypxp xzpxzpxp xzpzxpXZH Yxz Yxzyp xzpxzp YXZ ij jji ik ikiki ik ikki ik ikj ikik Q 2 0 0 log log 0 1 2 2 ZHZHXYZHZHZXYI yxzpyxzpyxp yxzpzyxpXYZH zyx zyx yxzp YXZ ijk jikjikji ijk jikkji kji kji jik Q 3 22 0 0 log log 0 1 2 2 XHXHYZXHXHYZXI zyxpzyxpzyp zyxpzyxpYZXH yzx yzx zyxp YXZ jki kjikjikj ijk kjikji jki jki kji Q 4 0 0 log log 0 1 2 2 YHYHXZYHXYHXZYI zxypzxypzxp zxypzyxpXZYH xzy xzy zxyp YXZ ikj kijkijki ijk kijkji ikj ikj kij Q 5 0 0 log log 0 1 2 2 ZXHZXHYZXHZXHZYXI zyxpzyxpzyp zyxpzyxpYZXH yzx yzx zyxp YXZ jki kjikjikj ijk kjikji jki jki kji Q 0 0 log log 0 1 2 2 ZYHZYHXZYHZYHZYXI zxypzxypzxp zxypzyxpXZYH xzy xzy zxyp YXZ ikj kijkijki ijk kijkji ikj ikj kij Q 23 3 6 有一个二元对称信道 其信道矩阵为 98 002 0 02 098 0 设该信源以 1500 二元符号 秒的速度 传输输入符号 现有一消息序列共有 14000 个二元符号 并设P 0 P 1 1 2 问从消 息传输的角度来考虑 10 秒钟内能否将这消息序列无失真的传递完 解 信道容量计算如下 symbolbit HYHXYHYHYXIC mi 859 0 02 0 log02 0 98 0 log98 0 2log max max 222 max 也就是说每输入一个信道符号 接收到的信息量是 0 859 比特 已知信源输入 1500 二元符号 秒 那 么每秒钟接收到的信息量是 sbitsymbolbitssymbolI 1288 859 0 1500 1 现在需要传送的符号序列有 140000 个二元符号 并设 P 0 P 1 1 2 可以计算出这个符号序列的 信息量是 bit I 14000 5 0log5 05 0log5 0 14000 22 要求 10 秒钟传完 也就是说每秒钟传输的信息量是 1400bit s 超过了信道每秒钟传输的能力 1288 bit s 所以 10 秒内不能将消息序列无失真的传递完 3 7 求下列各离散信道的容量 其条件概率P Y X 如下 1 Z 信道 2 可抹信道 3 非对称信道 4 准对称信道 ss1 01 21 2 12 121 1 1 ss s ss sss 4 3 4 1 2 1 2 1 3 1 6 1 6 1 6 1 3 1 3 1 6 1 3 1 解 1 Z 信道 这个信道是个一般信道 利用一般信道的计算方法 a 由公式 j jij j ijij xypxypxyp log 2 求 j s s ssss s s ssssss 1 2222 1 2122 12 1 log 1 loglog 1 0 1 1 log 1 log 1log1 b 由公式 j j C 2log2 求 C symbolbitssC s s j j 1 1log2log 1 22 24 c 由公式 C j j yp 2 求 p yj s s s s C s s C ss ss yp ss yp 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 d 由公式 i ijij xypxpyp 求 p xi 由方程组 1 22 211 sxpyp sxpxpyp 解得 s s s s s s s s ss s xp ss s xp 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 因为 s 是条件转移概率 所以 0 s 1 从而有 p x1 p x2 0 保证了 C 的存在 2 可抹信道 可抹信道是一个准对称信道 把信道矩阵分解成两个子矩阵如下 mik k kk Myp j Myp j k Myp j k mik s k kk HypypmC s yp m yp yp s ypyp m yp yp m yp yp sssxypxpxypxpyp ssssxypxpxypxpyp ssssxypxpxypxpyp HypypmYXIC s s M sss sss M j j kj log 1 2 1 2 2 2 2 12 1 2 2 12 2 1 log max 1 1 2 2 1 1 3 2 2 1 21 1 1 1112321313 12122221212 12212121111 2 1 1 1 2 212 221 1 2 1 25 symbolbitssssss s s ssssssssss ss log 1 log 1 2 1 log 1 loglog 1 log 1 log 2 1 log 2 1 2 22221221 1 21 12122221221121 1 2 1 3 非对称信道 这个信道是个一般信道 利用一般信道的计算方法 a 由公式 j jij j ijij xypxypxyp log 2 求 j 6225 0 3775 1 4 3 4 1 4 3 log 4 3 4 1 log 4 1 2 1 2 1 2 1 log 2 1 2 1 log 2 1 2 1 2122 2122 b 由公式 j j C 2log2 求 C symbolbitC j j 049 0 22log2log 6225 03775 1 22 c 由公式 C j j yp 2 求 p yj 628 0 22 327 0 22 049 06225 0 2 049 03775 1 1 2 1 C C yp yp d 由公式 i ijij xypxpyp 求 p xi 由方程组 4 3 2 1 628 0 4 1 2 1 372 0 21 21 xpxp xpxp 解得 512 0 488 0 2 1 xp xp p x1 p x2 0 保证了 C 的存在 4 准对称信道 把信道矩阵分解成三个子矩阵如下 26 symbolbit HypypmC yp m yp yp yp m yp yp ypyp m yp yp m yp yp xypxpxypxpyp xypxpxypxpyp xypxpxypxpyp xypxpxypxpyp HypypmYXIC MMM mik k kk Myp j Myp j Myp j k Myp j k mik s k kk j j j kj 041 0 6 1 log 6 1 3 1 log 3 1 3 1 log 3 1 6 1 log 6 1 3 1 log 3 1 4 1 log 4 1 2 log 6 1 1 3 1 1 4 1 2 4 1 4 1 2 6 1 6 1 2 1 6 1 2 1 3 1 3 1 2 1 3 1 2 1 4 1 3 1 2 1 6 1 2 1 4 1 6 1 2 1 3 1 2 1 log max 6 1 6 1 3 1 3 1 3 1 6 1 6 1 3 1 222222 2 3 1 4 3 3 3 2 2 21 1 1 2421414 2321313 2221212 2121111 2 1 221 3 2 1 3 8 已知一个高斯信道 输入信噪比 比率 为 3 频带为 3kHz 求最大可能传输的消息率 若信噪比提高到 15 理论上传送同样的信息率所需的频带为多少 解 Hz P P C W sbit P P WC N X t N X t 1500 151log 6000 1log 600031log30001log 2 2 3 9 有二址接入信道 输入 X1 X2和输出 Y 的条件概率 P Y X1X2 如下表 0 p p 试写出 N 3 次扩展无记忆信道的信道矩阵 P 解 322 2 23 2 2 2232 2 223 2 223 2 2 32 23 2 2 322 2 2 223 2 2 3 2 23 2 2 322 2 322 2 2322 2 2 32 2 223 111 110 101 100 011 010 001 000 111 110 101 100 011 010 001 000 ppppppp ppppppp ppppppp ppppppp ppppppp ppppppp ppppppp ppppppp ppppppp ppppppp ppppppp ppppppp ppppppp ppppppp ppppppp ppppppp P 3 16 设信源X的N次扩展信源X X1X2 XN通过信道 X P Y X Y 的输出序列为Y Y1Y2 YN 试证明 1 当信源为无记忆信源时 即 X1 X2 XN之间统计独立时 有 1 YXIYXI N k kk 2 当信道无记忆时 有 1 YXIYXI N k kk 3 当信源 信道为无记忆时 有 1 YXNIYXIYXI NN N k kk 30 4 用熵的概念解释以上三种结果 证明 1 N k kk NN kkkkkk N kk kkk N k N k k N kk N N NN NN N N N NN N NN N N N NNNN N NN N NNNNN YXIYXI YXIYXHXHXXYXHXH YXHXXYXH XXYXHXH XXYXHXHXYXHXHYXHXH XXYXHXYXHYXHXHXHXHYXI XXYXHXYXHYXHYXH XHXHXH XXXHXXHXHXH YXHXHYXI 1 11 11 1 11 1112211 1112121 11121 21 11121 Q 2 log log log log log log 112212111 221111121 2211 11121 2121 11 222121 11 112121 11 22112121 11 21212121 11 NNNN NNNN NN NN n i m j ijjjjiii m j n i n i m j ijjjjiii m j n i n i m j ijjjjiii m j n i n i m j ijijijjjjiii m j n i n i m j iiijjjjjjiii m j n i n i m j ijji NN NN N NNNNN XYHYYYHXYHYYHXYHYH XYHXYHXYHYYYHYYHYHYXI XYHXYHXYH xypyyyxxxp xypyyyxxxp xypyyyxxxp xypxypxypyyyxxxp xxxyyypyyyxxxp abpbapXYH YYYHYYHYHYH XYHYHYXI NN NNNN NN NN NN NN NN NNNN NN NNNN NN 31 N k kk NN kkkkkkkkk kkk N k kkkk YXIYXI YXIXYHYHXYHYYYH YHYYYH XYHYYYH 1 11 11 1 11 Q 3 如果信源