人教A版选修1-1第二章第2节《双曲线及其标准方程》的教学设计.doc

双曲线及其标准方程（人教A版选修11第二章第2节）一、教学设计教学内容与内容解析本节课为普通高中课程标准实验教科书数学选修11(人教A版)第二章“圆锥曲线与方程”中第二节双曲线的第一课时本节课是在学生学习了直线、圆和椭圆的基础上进一步研究学习的，为后面的抛物线及其标准方程做铺垫双曲线是继椭圆之后的另一种圆锥曲线，无论是定义的探索或是问题的解决或是学生的学法、教师的教法等等方面，这两者都具有极强的相似性，是渗透学法指导（如类比学习）的良好载体新课程强调教师要创造性使用教材，这就需要教师对教材的精心解读由椭圆的距离之和引发对距离之差的思考，再对常数的考虑，引起学生对教材双曲线定义不严密性（常数必须大于0）的思考，培养学生思维的缜密解析几何的教育价值在于通过坐标法，利用代数方法解决几何问题，为此，在推导双曲线的标准方程时，仍需让学生类比思考：怎样建立坐标系，为什么这样建立，这对文科的学生而言，“知其所以然”是需要反复强调，方可内化的教学目标与目标解析1 学生能了解双曲线的定义、双曲线标准方程的推导及化简过程2 在定义的探索或问题的解决中，学生能类比椭圆进行双曲线的学习3学生在经历双曲线定义的获得过程，能类比发现问题、不断完善、解决问题教学问题诊断分析1学生的知识储备分析:学生已经学习直线、圆和椭圆,基本掌握了求曲线方程的一般方法,能对含有两个根式的方程进行化简，对分类讨论、类比推理的思想方法有一定的体会2学生的数学能力分析:通过一年多的高中学习,学生已具备了一定的观察事物的能力,积累了一些研究问题的经验,在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力但是他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展,仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系3 本节课是一节2012年泉州市“送教送研下乡”活动中的一节公开课，由于借班上课，拿不准永春侨中高二年文科的学生的水平“以不变应万变”，本节课重点在于“类比”学习双曲线，考虑文科学生计算能力相对弱，故难点在于双曲线标准方程的推导教学支持条件分析课本以拉链问题呈现双曲线的定义，虽然直观，但实际操作性难，于是弃之不用，选择当场制作课件，让学生直接感受同时通过列表的形式，让学生更为直观理解椭圆与双曲线的差异，且通过对题目合理变式让学生明白椭圆与双曲线不仅定义可类比、解题同样可以类比，对学生学法指导（如“类比”学习）做了很好的铺垫与引导 教学过程设计（一）复习引入1椭圆的定义:平面内与两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距设是椭圆上的动点，则需满足2椭圆的标准方程:(1) 焦点在轴：(2) 焦点在轴： 其中3导入新课:问题：我们知道，差是和的逆运算，那么，平面内与两个定点距离的差等于常数的点的轨迹是什么呢？为了研究方便，设动点，则问题即为研究满足常数的轨迹问题解析：实数可以分为【学情预设】由于学生事先有预习，所以急着给出答案：双曲线果真是双曲线吗？一石激起千层浪！【设计意图】从“差是和的逆运算”，引导学生思考问题，过渡自然，且在“发现问题”做了较好的引导对学生的答案及时加以肯定，但“果真是双曲线吗？”，又引起学生对实数的讨论，渗透分类讨论思想（二）新课学习1展示知识形成过程（几何画板揭示动点轨迹形成）在的解决中，关键在于动，但定，为此，可联想到圆的性质，圆上任一点到圆心的距离相等，可构造两相交圆（教师当场利用几何画板作图，如图1，2）教师借助直观，说明作图依据：如图1，设两定点，为以为端点的射线上的一点，则有定值以为圆心，为半径作圆，以为圆心，为半径作圆，设两圆的交点为，则常数【学情预设】学生对“轨迹的形成”充满好奇，却不知其原因，对知识形成充满好奇【设计意图】教师当场利用几何画板作图，可以让学生直观感受双曲线定义的形成，深刻理解定义的形成过程，避免出现学生“知其然，不知其所以然”的局面（2）“形”“数”两方面揭示定义从形的方面，我们可以看到图2中的两条曲线有完美的对称性（关于线段的中垂线对称），我们把这两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支从数的方面，可以统一为： ，类比椭圆，不妨记为【设计意图】虽然解析几何强调坐标法，但对形的认识也是必不可少的，借助几何画板，可以直观展示双曲线定义形成过程从形的直观提炼数的特征再到定义的归纳（即图形语言、符号语言、文字语言之间的转化）又是学生认识的一个提升2尝试、完善双曲线的定义（1）类比椭圆定义，获得双曲线定义：把平面内与两个定点,的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距即双曲线上的动点满足注：容易忽略的地方: “距离的差的绝对值”； “常数小于”思考：若：两条射线；若：无轨迹（2）师生共同阅读课本让学生解释拉链问题【学情预设】学生是有能力类比椭圆的定义得到双曲线的定义，但对“距离的差的绝对值”；“常数小于”认识不够，常忽视！【设计意图】让学生尝试、完善双曲线的定义，培养学生思维的慎密3探究双曲线的标准方程(1)回顾椭圆标准方程的推导过程:“建系、设点、列式、化简”（为了使学生更好类比椭圆标准方程的推导，教师引导学生回归课本，再次熟悉课本推导过程）【设计意图】引导学生回归课本，再次熟悉椭圆标准方程的推导过程，是为了更好地类比到双曲线！(2) 教师引导学生类比椭圆推导双曲线的标准方程建系:取过焦点的直线为轴,线段的垂直平分线为轴设点:设为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2()则 ,，列式: ，,整理得： ，由定义，令代入,得:，两边同除得:，此即为双曲线的标准方程它所表示的双曲线的焦点在轴上,焦点是,其中【学情预设】学生对方程的整理还是存在一定的困难，需要一定的时间处理问题【设计意图】让学生再次熟悉课本椭圆标准方程推导过程，不仅可以回顾旧知，而且可以较顺利解决新知让学生尝试推导双曲线标准方程，能进一步落实计算处理（3）若坐标系的选取不同,可得到双曲线的不同的方程类比焦点在轴上的椭圆方程以及类比刚才的推导过程，如图可得到：焦点在轴上则焦点是,将互换,得到，此也是双曲线的标准方程【设计意图】呈现焦点在轴上双曲线的形状，从形帮助学生的理解4找不同（让学生发现椭圆、双曲线标准方程的不同点）椭圆双曲线焦点在轴：焦点在轴：焦点在轴：焦点在轴：方程形式大小不一定大于焦点判断看分母的大小（看大的）看系数的正负（看正的）【设计意图】把信息表格化，能直观区分椭圆与双曲线的差异，能快速建立新知与旧知的联系5演练反馈1判断下列方程是否表示双曲线？若是,求出及焦点坐标（1） （2）【设计意图】强调双曲线标准方程（尤其（2）：把非标准方程化为标准方程）及基本量的计算2课本第47页例1：已知双曲线两个焦点分别为，双曲线上一点到 距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程变式：已知双曲线两个焦点分别为，在双曲线上，求双曲线的标准方程 解法一：因为双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为：则有，即，又，代入消去有，即，所以（舍去）即所求双曲线的标准方程为解法二：（教师先引导学生把课本翻到第34页，共同回顾例1的解题过程）因为双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为：由双曲线的定义有6所以，又因为，所以，因此，所求双曲线的标准方程为 【解题反思】求标准方程常见方法有二：待定系数法，立足基本量的运算：设方程、代入、消参；利用定义，注意：两焦点，用定义【学情预设】多数的学生会采用解法一：待定系数法，涉及基本量的计算，解法二对学生的理解要求较高，学生比较难以第一时间想到，让他们回顾椭圆中的解法，有利于建立新知与旧知的联系【设计意图】解法二的介绍目的在于让学生明白椭圆与双曲线不仅定义可类比、解题同样可以类比解完题，及时引导学生进行反思，有利知识的梳理与深化（三）课堂小结（1）通过表格总结椭圆与双曲线的定义和标准方程（2）关注双曲线与椭圆之间的类比学习,如定义、方程推导、解题等（四）课后作业课本第48页：练习1、2；课本第54页：A组1、2二、教学实践心得基于解析几何教学价值的学法指导 “高中数学课程应注重学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比等思维过程”只有学生掌握了一定的数学学习方法，才有可能从繁杂多样的“题海”中解脱，才有可能实现“减负”，因此，注重学生学法的指导是课堂教学的一个重要、长期的教学任务这也就要求教师在日常的教学中，能善于抓住教学时机，对学生渗透学习方法的指导， 并逐渐实现潜移默化，使教学效率得以提高1学法指导要有针对性即要结合数学学科的特征、学习内容，针对学生的实际情况进行指导，这是学法指导的根本原则比如双曲线与椭圆，无论是定义的探索或是问题的解决或是学生的学法、教师的教法等等方面，这两者都具有极强的相似性，这样无论是双曲线在定义形成、标准方程的推导、解题方法，都适合与椭圆进行类比，当然这种类比在抛物线的学习同样适用2学法指导要有实用性学法指导的最终目的是通过让学生掌握科学的学习方法，提高学习能力，培养良好的学习习惯，增强学习效果所以，学法指导应避免摆花架子，不切实际，死搬硬套，要立足日常的课堂教学，以常规的学习方法为重点椭圆、双曲线、抛物线是进行学法指导的良好载体，因此在双曲线（抛物线）的定义形成、方程推导、解题的学习要让学生体会“通过类比，可以解决诸如此类的问题”，让他们学以致用，用以生效更深层次可以引导学生归纳提炼它们的解决都是围绕着“练、思、算”，即圆锥曲线学习离不开“一定量的练习、勤于反思总结类比、合理简化运算”三步曲3学法指导要循序渐进学法指导过程中，要按照数学学科的逻辑系统和学生认知发展的规律，结合学法指导的内在规律，持续、连贯、有系统地进行指导，要循序渐进、逐步提高三种圆锥曲线适合类比学习，但并不意味着学生类比学习就能把它们学好，在一些具体的环节上仍需教师加以引导，比如为什么椭圆要求，而双曲线则要求，再如直线代入椭圆方程一般只须考虑判别式，而双曲线除了考虑判别式，还要考虑二次项前面的系数是否为0等等因此，师生对学习方法的掌握过程要有一定的“心理价位”，不可操之过急三、专家点评本节课作为新授课的教学，能凸显概念教学中重要而有效的突破点：经历概念的发生发展过程，提炼概念本质圆锥曲线的学习中，不仅要让学生深深体会、理解“坐标法”的核心思想，同时要让学生掌握学习的方法，即三种圆锥曲线之间的类比学习，本节课在学法指导方面下足功夫，教学顺畅，体现了授课教师很好的业务素质，教学效果良好，学生能得到很好的启发与引导本节课有如下几个亮点：1体现学科教育价值授课教师教学过程中能落实数学教育的任务数形结合思想是解析几何的重要思想之一，本节课在双曲线标准的推导中，能引导学生类比椭圆标准方程的推导，思考如何建系，如何整理方程，并通过表格使得椭圆与双曲线的差异直观呈现其次，教学中，教师舍得花时间让学生进行演算（而非直接给出双曲线的标准方程，计算能力的突破是解析几何教学的难点），能较好落实学生的计算能力的提升2能注重学法指导授课教师在双曲线定义的呈现上，以几何画板当场呈现，让学生直观感受动点轨