《电动力学》PPT课件.ppt

第1章 数学基础和基本理论 第1节电动力学的数学基础 矢量分析与张量简介场的概念和标量场的梯度高斯定理与矢量场的散度斯托克斯公式与矢量场的旋度常用运算公式有关矢量场的几个定理函数与点电荷的密度分布 主要内容 在直角坐标系中 矢量定义 矢量的基本运算 机动目录上页下页返回结束 1 1 1矢量分析与张量简介 矢量代数中的两个重要公式 混合积 矢量微分 双重矢量积 机动目录上页下页返回结束 并矢与张量 为单位并矢 张量的基 9个分量 矢量与张量的矩阵表示 机动目录上页下页返回结束 张量的运算 机动目录上页下页返回结束 两并矢的二次点乘 单位张量与矢量 张量的点乘 机动目录上页下页返回结束 两并矢的一次点乘 1 1 2场的概念和 三度 描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量 或说 若在一定空间中的每一点 都对应着某个物理量的确定值 就说在这空间中确定了一个场 如 强度场 速度场 引力场 温度场 电磁场 场用一个空间和时间坐标的函数来描述 稳恒场 稳定场 静场 场与时间无关 变化场 时变场 场函数与时间有关 机动目录上页下页返回结束 1 场的概念 已知场函数可以了解场的各种性质 随时空的变化关系 梯 散 旋度 已知场函数的梯度 散度 旋度可以确定场函数 这是电动力学求解电磁场的主要方法 2 标量场的梯度 在空间任意靠近两点函数的全微分 在空间某点的任意方向上 导数有无穷多个 其中有一个值最大 这个方向导数的最大值定义为梯度 机动目录上页下页返回结束 梯度的意义 空间某点标量场函数的最大变化率 刻画了标量场的空间分布特征 等值面 常数的曲面称为等值面 梯度与等值面的关系 梯度与等值面垂直 已知梯度即可求出沿任一方向的方向导数 3 矢量微分算子 它可以作用在矢量上 可以作点乘 叉乘 机动目录上页下页返回结束 解 机动目录上页下页返回结束 解 机动目录上页下页返回结束 4 高斯定理与矢量场的散度 矢量族 在矢量场中对于给定的一点 有一个方向 它沿某一曲线的切线方向 这条曲线形成一条矢量线 又叫场线 对静电场称为电力线 无穷多条这样的曲线构成一个矢量族 矢量场的通量 面元的通量 有限面积的通量 意义 用来描述空间某一范围内场的发散或会聚 不能反映空间一点的发散或会聚情况 闭合曲面的通量 机动目录上页下页返回结束 高斯公式 矢量场的散度 缩小到一点 若空间各点处处 则称为无源场 该点有源该点无源该点为负源 机动目录上页下页返回结束 例1 求 机动目录上页下页返回结束 证明 证 机动目录上页下页返回结束 5 斯托克斯公式与矢量场的旋度 矢量场的环量 环流 表明在区域内无涡旋状态 场线不闭合 表明在区域内存在涡旋状态 场线闭合 斯托克斯公式 定理 矢量沿任一闭合曲线的积分称为环量 机动目录上页下页返回结束 定义为矢量场的旋度 它在法线方向上的分量为单位面积上的环量 刻画矢量场场线在空间某点上的环流特征 若空间各点 则称为无旋场 矢量场的旋度 当L无限小 机动目录上页下页返回结束 例题4 证明 同理 只证 机动目录上页下页返回结束 证明 证 机动目录上页下页返回结束 1 1 3常用公式 1 矢量微分算子 哈密顿算子 直角坐标 柱坐标 球坐标 2 柱坐标 球坐标与直角坐标的关系 3 三度 在坐标系中的具体表示形式 4 关于 三度 的一些常用公式 复合函数的三度公式 机动目录上页下页返回结束 积分变换公式 高斯公式 斯托克斯公式 机动目录上页下页返回结束 格林公式 第一公式 第二公式 机动目录上页下页返回结束 积分变换的一般规则 一般变换规则证明方法 证 任取常矢量点乘上式两端 机动目录上页下页返回结束 矢量微分算符常用公式 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 机动目录上页下页返回结束 仅证明7式 同理 去掉脚标 微分运算 矢量运算 机动目录上页下页返回结束 证 1 1 4有关场的几个定理 关于散度旋度的两个定理 1 正定理 标量场的梯度必为无旋场 即逆定理 无旋场必可以表示为某一标量场的梯度 即若 则 称为无旋场的标量势函数 2 正定理 矢量场的旋度必为无源场 即逆定理 无源场必可表示为某个矢量场的旋度 即若 则 称为无源场的矢量势函数 机动目录上页下页返回结束 亥姆霍兹定理 任意矢量场 均可分解为无旋场和无源场之和 即可分解为 又称为的纵场部分 可引入标势 又称为的横场部分 可引入矢势 机动目录上页下页返回结束 唯一性定理 定理 在空间某一区域内给定场的散度和旋度以及矢量场在区域边界上的法线分量 则该矢量场如果有解 则该解在区域内是唯一确定的 机动目录上页下页返回结束 1 1 5函数与点电荷密度 一维 三维 机动目录上页下页返回结束 一个重要函数形式 点电荷密度分布 机动目录上页下页返回结束 1795 1799年在哥廷根大学学习 1799年获博士学位 1870年任哥廷根大学数学教授和哥廷根天文台台长 一直到逝世 1855年2月23日在哥廷根逝世 他一生中共发表323篇 种 著作 提出404项科学创见 发表178项 在各领域的主要成就有 1 关于静电学温差电和摩擦电的研究 利用绝对单位 长度质量和时间 法则量度非力学量以及地磁分布的理论研究 2 利用几何学知识研究光学系统近轴光线行为和成像 建立高斯定理光学 3 天文学和大地测量学中 如小行星轨道的计算 地球大小和形状的理论研究等 4 结合试验数据的测算 发展了概率统计理论和误差理论 发明了最小二乘