高中数学 第一章 三角函数 1.2 角的概念的推广课件 北师大版必修4.ppt

1 2角的概念的推广 1 初步理解用 旋转 定义角的概念 理解 正角 负角 零角 象限角 终边相同的角 的含义 2 掌握所有与角 终边相同的角 包括角 的表示方法 1 2 3 1 任意角 1 定义 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形称为角 所旋转射线的端点叫作角的顶点 开始位置的射线叫作角的始边 终止位置的射线叫作角的终边 如图 名师点拨给定一个角 就有唯一的一条终边与之对应 但是 对于直角坐标系内任意一条以原点为端点的射线 以它为终边的角有无数个 1 2 3 2 规定 按逆时针方向旋转形成的角叫作正角 按顺时针方向旋转形成的角叫作负角 如果一条射线从起始位置没有作任何旋转 终止位置与起始位置重合 我们称这样的角为零度角 又称零角 记作 0 这样就形成了任意大小的角即任意角 名师点拨1 规定了正角 负角和零角后 角的大小不再局限于0 到360 的范围 而是出现了任意大小的角 2 角的概念是通过角的终边的变化来推广的 根据角的终边的旋转 方向 得到正角 负角和零角 由此我们应当意识到角的终边位置的重要性 作图表示角时 应注意箭头的方向不可丢掉 箭头的方向代表角的正负 1 2 3 3 角的记法 用1个希腊字母表示 如 也可用3个大写的英文字母表示 字母前面要写符号 其中中间字母表示角的顶点 如 aob def 4 角的分类 按旋转方向分为正角 零角和负角 做一做1 下列说法中错误的是 a 按逆时针方向旋转所成的角是正角b 按顺时针方向旋转所成的角是负角c 没有作任何旋转所成的角是零角d 终边和始边相同的角是零角答案 d 1 2 3 2 象限角将角的顶点与原点重合 角的始边与x轴的非负半轴重合 那么就把角放在了平面直角坐标系中 角的终边 除端点外 在第几象限 我们就说这个角是第几象限角 角的终边在平面直角坐标系内 且不与坐标轴重合的角称为象限角 名师点拨象限角的集合 1 第一象限角的集合 k 360 k 360 90 k z 2 第二象限角的集合 k 360 90 k 360 180 k z 3 第三象限角的集合 k 360 180 k 360 270 k z 4 第四象限角的集合 k 360 270 k 360 360 k z 1 2 3 做一做2 1 给出下列四种说法 其中正确的有 75 角是第四象限角 225 角是第三象限角 475 角是第二象限角 315 角是第一象限角 a 1个b 2个c 3个d 4个答案 d 1 2 3 做一做2 2 请你用负角表示第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角的集合 解 第一象限角的集合 k 360 360 k 360 270 k z 第二象限角的集合 k 360 270 k 360 180 k z 第三象限角的集合 k 360 180 k 360 90 k z 第四象限角的集合 k 360 90 k 360 k z 1 2 3 3 终边相同的角 1 研究终边相同的角的前提是角的顶点与原点重合 角的始边与x轴的非负半轴重合 2 一般地 所有与角 终边相同的角 连同角 在内 可构成一个集合s k 360 k z 即任何一个与角 终边相同的角 都可以表示成角 与周角的整数倍的和 1 2 3 名师点拨理解集合s k 360 k z 要注意以下几点 1 式中的角 为任意角 2 终边相同的角有无数个 它们的度数相差360 的整数倍 在求终边相同的角的问题时 关键是找到一个与其终边相同的某一角 一般找0 360 的角 再用集合语言和符号语言表示出来 3 k z这一条件必不可少 4 k 360 与 之间是 如 k 360 30 应看成k 360 30 即与 30 角终边相同的角 5 终边相同的角不一定相等 但是相等的角 终边一定相同 1 2 3 6 终边落在x轴的非负半轴上的角的集合 k 360 k z 终边落在x轴的非正半轴上的角的集合 k 360 180 k z 终边落在x轴上的角的集合 k 180 k z 终边落在y轴的非负半轴上的角的集合 k 360 90 k z 终边落在y轴的非正半轴上的角的集合 k 360 270 k z 终边落在y轴上的角的集合 k 180 90 k z 终边落在坐标轴上的角的集合 k 90 k z 1 2 3 做一做3 1 在0 360 内 与 35 角终边相同的角是 a 325 b 125 c 35 d 235 答案 a 做一做3 2 若角 的终边落在第二象限的角平分线上 则 可用集合表示为 答案 135 k 360 k z 题型一 题型二 题型三 题型四 例1 在0 360 范围内 找出与下列各角终边相同的角 并指出它们是第几象限角 1 150 2 650 3 950 15 分析 解答本题可先利用终边相同的角的关系 即 k 360 k z 把所给的角转化到0 360 内 然后利用0 360 内的角分析该角所在的象限 题型一 题型二 题型三 题型四 解 1 因为 150 360 210 所以在0 360 范围内 与 150 角终边相同的角是210 角 而210 角的终边在第三象限 所以 150 角是第三象限角 2 因为650 360 290 所以在0 360 范围内 与650 角终边相同的角是290 角 而290 角的终边在第四象限 所以650 角是第四象限角 3 因为 950 15 3 360 129 45 所以在0 360 范围内 与 950 15 角终边相同的角是129 45 角 而129 45 角的终边在第二象限 所以 950 15 角是第二象限角 反思终边相同的角相差360 的整数倍 判断一个角是第几象限角 只要找与它终边相同的0 360 范围内的角 这个0 360 范围内的角所在的象限即为所求角所在的象限 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练1 与 457 角终边相同的角的集合是 a k 360 457 k z b k 360 97 k z c k 360 263 k z d k 360 263 k z 解析 方法一 457 2 360 263 应选c 方法二 457 角与 97 角的终边相同 97 角与263 角的终边相同 又263 角与k 360 263 角的终边相同 应选c 答案 c 题型一 题型二 题型三 题型四 分析 解答本题可先把角 表示成90 k 360 180 k 360 k z 再借助初中学习的有关不等式的性质对不等式按题目要求变形 最后利用坐标轴加以分析 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 例3 已知集合a 30 k 180 90 k 180 k z b 45 k 360 45 k 360 k z 求a b 分析 由角的集合找出角的变化区域 从而求出两个集合的交集 题型一 题型二 题型三 题型四 解 由30 k 180 90 k 180 k z 可得当k为偶数 即k 2n n z 时 30 n 360 90 n 360 n z 当k为奇数时 即k 2n 1 n z 时 210 n 360 270 n 360 n z 集合a中角的终边在如图的阴影 区域内 集合b中角的终边在如图的阴影 区域内 集合a b中角的终边在阴影 和 的公共区域内 a b 30 k 360 45 k 360 k z 题型一 题型二 题型三 题型四 反思解决与角有关的集合问题的关键是弄清集合中含有哪些元素 其方法有 一是将集合中表示角的式子化为同一种形式 这种方法要用到整数分类的有关知识 即分类讨论 二是用列举法把集合具体化 三是数形结合 即在平面直角坐标系上分别作出这些角 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练3 已知集合a k 90 36 k z b 180 180 则a b等于 a 36 54 b 126 144 c 126 36 54 144 d 126 54 所以a b 126 36 54 144 答案 c 题型一 题型二 题型三 题型四 易错点因不理解终边相同的角而致误 例4 如图 终边落在阴影部分内的角的集合是 错解 120 225 错因分析 终边落在阴影部分内的角不只有120 225 范围内的角 还有其他角 它们与120 225 范围内的角相差360 的整数倍 正解 k 360 120 k 360 225 k z 1 2 3 4 5 1 下列说法正确的是 a 角 与角k 360 k z 的终边相同b 第二象限角是钝角c 第二象限角一定大于第一象限角d 小于90 的角是锐角答案 a 1 2 3 4 5 a 第一或第三象限角b 第二或第三象限角c 第一或第四象限角d 第二或第四象限角解析 答案 d 1 2 3 4 5 3 把 3290 化为k 360 0 360 k z 的形式为 答案 10 360 310 1 2 3 4 5 4已知角 的终边在图中阴影所表示的范围内 不包括边界 则角 组成的集合为 解析 由图知 将x轴绕原点分别旋转30 与150 得边界 故终边在阴影内的角的集合为 k 180 30 k 180 150 k z 答案 k 180 30 k 180 150 k z 1 2 3 4 5 5 在0 360 范围内 找出与下列各角终边相同的角 并指出它们是第几象限