高中数学 第二章 平面向量 2.5 从力做的功到向量的数量积课件 北师大版必修4(1).ppt

2 5从力做的功到向量的数量积 1 通过物理中 功 的实例 理解平面向量数量积的含义及其几何意义 物理意义 2 掌握平面向量数量积的主要性质及其运算律 3 体会平面向量的数量积与向量投影的关系 会用平面向量的数量积判断两个平面向量的垂直关系 1 2 3 4 2 垂直 如果向量a和b的夹角是90 我们就说向量a与b垂直 记作a b 规定 零向量可与任一向量垂直 若a与b是非零向量 则a b a b所在的直线垂直 3 投影 b cos 叫作向量b在a方向上的投影数量 简称为投影 向量b在a上的投影不是向量而是数量 它的符号取决于角 的范围 1 2 3 4 名师点拨向量a b的夹角 与a b位置关系的对应如下表 1 2 3 4 答案 120 做一做1 2 已知向量a b满足 b 2 a与b的夹角为60 则b在a方向上的投影数量是 解析 b cos60 2 cos60 1 答案 1 1 2 3 4 2 向量的数量积 1 数量积 已知两个向量a与b 它们的夹角为 我们把 a b cos 叫作a与b的数量积 或内积 记作a b 即a b a b cos 2 几何意义 a与b的数量积等于a的长度 a 与b在a方向上射影 b cos 的乘积 或b的长度 b 与a在b方向上射影 a cos 的乘积 1 2 3 4 名师点拨1 两个向量的数量积是一个数量 这个数量的大小与这两个向量的长度及夹角有关 2 数量积是向量之间的乘法 它既不同于实数的乘法 也不同于实数与向量的积 它的结果是一个数量 书写时只能写成a b 不能写成ab或a b 3 由向量的数量积的定义式 我们可以得出它的几何意义是 向量b在向量a方向上的射影 b cos 等于向量b和与向量a同向的单位向量的数量积 或内积 1 2 3 4 答案 3 做一做2 2 如图 在rt abc中 a 90 ab ac 1 则ab bc的值是 a 1b 1c 2d 2答案 b 1 2 3 4 做一做2 3 已知 a 4 b 6 a与b的夹角为60 则向量a在向量b方向上的射影是 解析 向量a在向量b方向上的射影是答案 2 1 2 3 4 3 向量数量积的性质 1 若e是单位向量 则e a a e a cos 2 若a b 则a b 0 反之 若a b 0 则a b 通常记作a b a b 0 5 对任意两个向量a b 有 a b a b 当且仅当a b时 等号成立 1 2 3 4 1 2 3 4 做一做3 1 已知向量a b满足a b 2 a 1 b 4 则向量a b的夹角为 答案 c 做一做3 2 已知向量a与b的夹角为60 a 2 b 3 则 a b 1 2 3 4 4 运算律 1 a b b a 2 a b a b a b 3 a b c a b a c 做一做4 1 下列运算中不正确的是 a a b c a b c b a b c a c b cc m a b ma mbd a b c a b c 答案 d 1 2 3 4 答案 c 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 例2 已知向量a与b的夹角为120 且 a 4 b 2 求 1 a b 2 3a 4b 分析 利用公式 a 2 a2进行计算 解 a b a b cos 4 2 cos120 4 1 a b 2 a2 2a b b2 a 2 2 a b cos120 b 2 42 2 4 22 12 题型一 题型二 题型三 题型四 2 3a 4b 2 3a 4b 2 9a2 24a b 16b2 9 a 2 24 a b cos120 16 b 2 9 42 24 4 16 22 304 题型一 题型二 题型三 题型四 a2 2a b b2 27 a 2 2 a b cos120 b 2 27 a 2 3 a 18 0 解得 a 6或 a 3 不符合题意 舍去 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思1 求向量a与b的夹角 的步骤是 1 求出a b a b 2 代入夹角公式求cos 3 结合 的范围确定 2 两非零向量a与b的夹角 与a b的符号有如下关系 1 当 是锐角时 满足a b 0且向量a与b不共线 2 当 是钝角时 满足a b 0且向量a与b不共线 3 当 是直角时 满足a b 0 此结论可用来判断平面图形的内角是锐角 直角 还是钝角 也可用来求参数 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练3 已知a b是非零向量 且满足 a 2b a b 2a b 则a与b的夹角 是 答案 b 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 1 2 3 4 5 答案 b 1 2 3 4 5 2若 a 1 b 2 c a b 且c a 则向量a和b的夹角为 a 30 b 60 c 120 d 150 解析 c a c a a b a a 2 a b 0 a b 1 0 180 120 答案 c 1 2 3 4 5 3 已知向量a与b的夹角为120 且 a b 4 则a b的值为 解析 a b a b cos120 8 答案 8 1 2 3 4 5 4若 a 3 b 5 且a b与a b垂直 则 解析 因为a b与a b垂直 所以 a b a b 0 即 a 2 2