高中数学 第一讲 坐标系 1.3 简单曲线的极坐标方程课件 新人教A版选修44.ppt

三简单曲线的极坐标方程 1 极坐标方程的定义一般地 在极坐标系中 如果平面曲线c上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f 0 并且坐标适合方程f 0的点都在曲线c上 那么方程f 0叫做曲线c的极坐标方程 2 圆的极坐标方程 1 圆心在c a 0 a 0 半径为a的圆的极坐标方程为 2acos 如图 2 圆心在极点 半径为r的圆的极坐标方程为 r 如图 3 圆心在点处且过极点的圆的极坐标方程为 2asin 0 如图 做一做1在极坐标系中 以 3 0 为圆心 半径等于3的圆的极坐标方程为 答案 6cos 3 直线的极坐标方程 1 若直线l经过极点 从极轴到直线l的角为 0 则直线l的极坐标方程为 r 或 r 2 当直线l经过点m a 0 且垂直于极轴时 直线l的极坐标方程为 cos a 3 当直线l经过点m且平行于极轴时 直线l的极坐标方程为 sin b 4 若直线经过点m 0 0 且从极轴到此直线的角为 则直线l的极坐标方程为 sin 0sin 0 名师点拨图形的对称性1 若 则相应图形关于极轴对称 2 若 则相应图形关于直线 对称 3 若 则相应图形关于极点对称 做一做2过点p且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 4 规定若 0 我们规定点m 与点p 关于极点对称 5 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 做一做3直角坐标方程x2 y 2 2 4化为极坐标方程是 解析 x2 y 2 2 4可以化为x2 y2 4y 把代入 得 cos 2 sin 2 4 sin 化简整理得 2 4 sin 因为曲线经过极点 所以极坐标方程可简化为 4sin 答案 4sin 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 在极坐标系中 曲线的极坐标方程是唯一的 2 x轴所在的直线在极坐标系中的方程为 0 3 极坐标方程 3表示的曲线是圆 4 圆x2 y2 1化为极坐标方程一定是 1 5 极坐标方程cos 0 表示的曲线是两条射线 探究一 探究二 探究三 思维辨析 求圆的极坐标方程 例1 在极坐标系中 求半径为r 圆心为c的圆的极坐标方程 分析 根据题意画出草图 设出点m 建立 的方程并化简 最后进行检验 解 由题意知 圆经过极点o 设oa为其一条直径 m 为圆上除点o a以外的任意一点 如图 则 oa 2r 连接om am 则om ma 在rt oam中 om oa cos aom 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟求圆的极坐标方程的方法步骤1 建立适当的极坐标系 设p 是圆上任意一点 2 列出圆上任意一点的极径与极角之间的关系式 3 将列出的关系式整理 化简 4 证明所得方程就是圆的极坐标方程 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1在如图所示的极坐标系中 以m为圆心 半径r 1的圆m的极坐标方程是 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究二求直线的极坐标方程 例2 求过点a 1 0 且与极轴所成的角为的直线的极坐标方程 分析 本题可用两种解法 1 先根据题意画出草图 并设点m 是直线上除点a外的任意一点 从而由等量关系建立关于 的方程并化简 最后检验是不是所求即可 2 先由已知条件写出直线的点斜式的直角坐标方程 然后由公式化为极坐标方程即可 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解法一如图 设m 0 为直线上除点a以外的任意一点 连接om 化简 得 cos sin 1 经检验点a 1 0 的坐标适合上述方程 所以满足条件的直线的极坐标方程为 cos sin 1 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解法二以极点o为直角坐标原点 极轴为x轴正半轴 建立平面直角坐标系xoy 直线的斜率k tan 1 直线方程为y x 1 将y sin x cos 代入上式 得 sin cos 1 所以 cos sin 1 反思感悟解法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点m所满足的等式 从而建立了以 为未知数的方程 解法二先求出直线的直角坐标方程 再利用直角坐标与极坐标的互化公式间接求解 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 极坐标方程与直角坐标方程的互化 例3 1 直角坐标方程y2 4x化为极坐标方程为 2 直角坐标方程y2 x2 2x 1 0化为极坐标方程为 3 极坐标方程 0 化为直角坐标方程为 4 极坐标方程 2cos2 4化为直角坐标方程为 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解析 根据互化公式求解 1 将x cos y sin 代入y2 4x 得 sin 2 4 cos 化简 得 2sin2 4 cos 因为极点在曲线上 所以极坐标方程可简化为 sin2 4cos 2 将x cos y sin 代入y2 x2 2x 1 0 得 sin 2 cos 2 2 cos 1 0 化简 得 2 2 cos 1 0 4 2cos2 4 2cos2 2sin2 4 即x2 y2 4 答案 1 sin2 4cos 2 2 2 cos 1 0 3 y x x 0 4 x2 y2 4 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟1 将 2 x2 y2 cos x sin y tan x 0 代入曲线的极坐标方程 整理即得曲线的直角坐标方程 2 解决此类问题常常通过方程变形 构造出形如 cos sin 2的式子 进行整体代换 方程的两边同乘 或同除以 或方程两边平方是常用的变形方法 3 化曲线的直角坐标方程f x y 0为极坐标方程f 0 只要将x cos y sin 代入到方程f x y 0中即可 化为极坐标方程时 如果不加特殊说明 就认为 0 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3 1 极坐标方程 4asin 化为直角坐标方程为 2 极坐标方程 9 cos sin 化为直角坐标方程为 3 直角坐标方程x y 2 0化为极坐标方程是 4 直角坐标方程2x2 2y2 3x 7 0化为极坐标方程是 解析 1 两边同乘 得 2 4a sin 2 x2 y2 sin y 直角坐标方程为x2 y2 4ay 探究一 探究二 探究三 思维辨析 2 把方程变形为 2 9 cos sin 2 x2 y2 cos x sin y 直角坐标方程为x2 y2 9 x y 即x2 y2 9x 9y 0 3 把x cos y sin 代入x y 2 0 得 cos sin 2 0 即 cos sin 2 4 把x cos y sin 代入2x2 2y2 3x 7 0 得2 2cos2 2 2sin2 3 cos 7 0 化简得2 2 3 cos 7 0 探究一 探究二 探究三 思维辨析 极坐标表述不准确致误典例已知曲线c1 c2的极坐标方程分别为 cos 3 4cos 0 则曲线c1与c2交点的极坐标为 探究一 探究二 探究三 思维辨析 纠错心得在极坐标系中 有序实数对的集合 r 与平面上的点集不是一一对应的 给出一个有序实数对 在平面直角坐标系中可以唯一确定一个点 但对于极坐标系中的一点 它的极坐标不是唯一的 若点m不是极点 是它的一个极坐标 则点m有无穷多个极坐标 2k k z 与 2k 1 k z 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练极坐标方程 r 表示的曲线是 a 直线b 射线c 圆d 半圆 答案 a 12345 1 在极坐标系中 过点且平行于极轴的直线的极坐标方程是 a sin 2b cos 2c sin 2d cos 2 解析 过点与极轴平行的直线为y 2 即 sin 2 答案 a 12345 2 极坐标方程为 2cos 的圆的半径为 a 1b 2c d 3解析 由 2cos 得 2 2 cos 化为直角坐标方程为x2 y2 2x 即 x 1 2 y2 1 其对应的半径为1 答案 a 12345 3 曲线的极坐标方程 4cos 化成直角坐标方程为 解析 由已知得 2 4 cos 即x2 y2 4x 整理得 x 2 2 y2 4 答案 x 2 2 y2 4 12345 4 在极坐标系中 点到直线 cos 2的距离是 解析 点的直角坐标为 0 1 直线 cos 2的直