高中数学 第三章 导数应用 3.1 函数的单调性与极值 3.1.2 函数的极值课件 北师大版选修22.ppt

3 1 2函数的极值 1 函数的极值的有关概念在包含x0的一个区间 a b 内 函数y f x 在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值 称点x0为函数y f x 的极大值点 其函数值f x0 为函数的极大值 在包含x0的一个区间 a b 内 函数y f x 在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值 称点x0为函数y f x 的极小值点 其函数值f x0 为函数的极小值 极大值与极小值统称为极值 极大值点与极小值点统称为极值点 名师点拨1 极值是一个局部概念 是仅对某一点的左右两侧区域而言的 极值点是区间内部的点而不会是端点 2 若f x 在某区间内有极值 则f x 在该区间内一定不是单调函数 即在区间上单调的函数没有极值 3 可导函数的极值点是导数为零的点 但是导数为零的点不一定是极值点 即函数y f x 在一点的导数值为零是函数y f x 在这点取极值的必要条件 而不是充分条件 4 可导函数f x 在点x0处取得极值的充要条件是f x 0 在x0左侧和右侧f x 的符号不同 做一做1 已知函数y f x 的导函数y f x 的图像如图 则 a 函数f x 有1个极大值点 1个极小值点b 函数f x 有2个极大值点 2个极小值点c 函数f x 有3个极大值点 1个极小值点d 函数f x 有1个极大值点 3个极小值点答案 a 2 求函数极值点的步骤 1 求出导数f x 2 解方程f x 0 3 对于方程f x 0的每一个解x0 分析f x 在x0左 右两侧的符号 即f x 的单调性 确定极值点 若f x 在x0两侧的符号 左正右负 则x0为极大值点 若f x 在x0两侧的符号 左负右正 则x0为极小值点 若f x 在x0两侧的符号相同 则x0不是极值点 名师点拨1 函数f x 在某区间内有极值 它的极值点的分布是有规律的 相邻两个极大值点之间必有一个极小值点 同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点 2 当函数f x 在某区间上连续且有有限个极值点时 函数f x 在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的 3 从曲线的切线角度看 曲线在极值点处切线的斜率为0 并且 曲线在极大值点左侧切线的斜率为正 右侧为负 曲线在极小值点左侧切线的斜率为负 右侧为正 做一做2 函数f x x3 3x2 7的极大值为 解析 f x 3x2 6x 解3x2 6x 0得x 0或x 2 f x 的递增区间为 2 和 0 f x 的递减区间为 0 2 因此当x 0时 函数f x x3 3x2 7取极大值f 0 7 答案 7 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 任意一个函数f x 在定义域内必然存在极值 2 函数f x 的极大值一定大于极小值 3 可导函数y f x 在x x0处取得极值的充要条件是f x0 0 4 函数f x 在其定义域内可以有多个极小值和极大值 探究一 探究二 思维辨析 利用导数求函数的极值 例1 求函数y 3x3 x 1的极值 分析 首先对函数求导 然后求方程y 0的根 再检查y 在方程根的左右的值的符号 如果左正右负 那么此处取最大值 如果左负右正 那么此处取极小值 探究一 探究二 思维辨析 解 y 9x2 1 当x变化时 y 和y的变化情况如下表 探究一 探究二 思维辨析 反思感悟利用导数求函数极值的步骤 1 确定函数的定义域 2 求导数f x 3 解方程f x 0得方程的根 4 利用方程f x 0的根将定义域分成若干个小开区间 列表 判定导函数在各个小开区间的符号 5 确定函数的极值 若f x 的符号在x0处由正 负 变负 正 则f x 在x0处取得极大 小 值 探究一 探究二 思维辨析 变式训练1判断下列函数是否有极值 如果有极值 请求出其极值 如果无极值 请说明理由 2 y f x x x 当x 0时 y x2是增加的 当x 0时 y x2也是增加的 故函数y x x 无极值 探究一 探究二 思维辨析 已知极值求参数值 例2 已知函数f x ax3 bx2 cx a 0 在x 1处取得极值 且f 1 1 1 求常数a b c的值 2 判断x 1是函数的极大值点还是极小值点 试说明理由 并求出极值 分析 先求f x 再由函数f x 在x 1处取得极值 且f 1 1建立关于a b c的方程组 求出a b c的值 再由判定极值的方法判定其极值情况 探究一 探究二 思维辨析 解 1 f x 3ax2 2bx c x 1是函数f x 的极值点 x 1是方程f x 0的两根 即3ax2 2bx c 0的两根 探究一 探究二 思维辨析 当x1时 f x 0 当 1 x 1时 f x 0 函数f x 在 1 和 1 上是增加的 在 1 1 上是减少的 当x 1时 函数取得极大值f 1 1 当x 1时 函数取得极小值f 1 1 反思感悟已知函数极值求参数的方法 1 根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组 利用待定系数法求解 2 因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件 所以利用待定系数法求解后 必须要验证根的合理性 探究一 探究二 思维辨析 变式训练2已知函数f x x3 ax2 3x 9在x 3处取得极值 则a a 2b 3c 4d 5解析 f x 3x2 2ax 3 由题意得f 3 0 解得a 5 答案 d变式训练3已知函数y 3x x3 m的极大值为10 则m的值为 解析 y 3 3x2 3 1 x 1 x 令y 0 得x1 1 x2 1 经判断知x 1是极大值点 因此f 1 2 m 10 即m 8 答案 8 探究一 探究二 思维辨析 因误认为导数等于零的点就是极值点而致误 典例 已知f x x3 3ax2 bx a2在x 1处有极值0 求常数a b的值 易错分析 注意f x0 0是可导函数f x 在x x0处有极值的必要不充分条件 只有当f x 在x x0两侧符号相反时 函数f x 在x x0处存在极值 探究一 探究二 思维辨析 解 f x 在x 1处有极值0 且f x 3x2 6ax b 当a 1 b 3时 f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 函数f x 在r上是增加的 无极值 故应舍去 当a 2 b 9时 f x 3x2 12x 9 3 x 1 x 3 当x 3 1 时 f x 0 f x 在x 1处取得极小值 因此a 2 b 9 探究一 探究二 思维辨析 纠错心得1 根据极值的定义 函数先减后增为极小值 函数先增后减为极大值 2 对于可导函数 极值点导数为零 但导数为零的点不一定是极值点 因此已知函数的极值点 求某些参变量的值时 应验证能否使函数取到极值 否则易出现错解 探究一 探究二 思维辨析 变式训练如果函数f x ax5 bx3 c a 0 在x 1时有极值 极大值为4 极小值为0 试求a b c的值 解 f x 5ax4 3bx2 令f x 0 即x2 5ax2 3b 0 则f x 5ax2 x2 1 若a 0 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表 探究一 探究二 思维辨析 当x 1时 f x 有极大值 当x 1时 f x 有极小值 若a 0 同理 可得a 3 b 5 c 2 1234 1 设函数f x xex 则 a x 1为f x 的极大值点b x 1为f x 的极小值点c x 1为f x 的极大值点d x 1为f x 的极小值点解析 f x ex xex ex x 1 令f x ex x 1 0 解得x 1 易知x 1是函数f x 的极小值点 答案 d 1234 2 函数y x3 6x的极大值为 答案 a 1234 3 已知f x x3 3ax2 3 a 2 x 1有极大值和极小值 求a的取值范围 解 f x 3x2 6ax 3 a 2 f x 有极大值和极小值 f x 0有两个相异实根 36a2 4 3 3 a 2 0 解得a 2或a 1 a的取值范围是 1 2 1234 4 设函数f x x3 bx2 cx x r 已知g x f x f x 是奇函数 1 求b c的值 2 求g x 的极值 解