高中数学 第三章 导数应用 习题课 导数的综合应用课件 北师大版选修22.ppt

习题课 导数的综合应用 1 求可导函数y f x 的单调区间求可导函数y f x 单调区间的步骤是 1 求f x 2 解不等式f x 0 或f x 0 3 确认并指出递增区间 或递减区间 要注意函数的定义域 2 求解函数极值求解函数极值的一般步骤是 1 确定函数的定义域 2 求方程f x 0的根 3 用方程f x 0的根 顺次将函数的定义域分成若干个开区间 并列成表格 4 由f x 在方程f x 0的根左右的符号 来判断f x 在这个根处取极值的情况 3 求函数y f x 在 a b 上的最值求函数y f x 在 a b 上最值的一般步骤是 1 求y f x 在 a b 内的极值 2 把y f x 在 a b 内的极值与f a f b 比较 得最值 做一做1 函数f x x3 3x2 2在区间 1 1 上的最大值为 a 2b 0c 2d 4解析 f x 3x2 6x 3x x 2 令f x 0 可得x 0或x 2 舍去 当 1 x0 当0 x 1时 f x 0 因此当x 0时 f x 取最大值2 答案 c 做一做2 函数f x lnx ax2 x是定义域上的增函数 则a的取值范围是 解析 由题意知函数f x 的定义域为 0 答案 c 探究一 探究二 探究三 利用函数的单调性与导数的关系求参数 例1 已知a为实数 f x x2 4 x a 若f x 在 2 和 2 上都是增加的 求a的取值范围 解 方法一 f x x3 ax2 4x 4a f x 3x2 2ax 4 不难知道f x 3x2 2ax 4的图像为开口向上且过点 0 4 的抛物线 a的取值范围是 2 2 探究一 探究二 探究三 方法二 要使f x 在 2 和 2 上都是增加的 只需f x 3x2 2ax 4 0在 2 和 2 上恒成立即可 综上 a的取值范围为 2 2 探究一 探究二 探究三 反思感悟利用函数的单调性与导数的关系求参数 1 将问题转化为有关导函数的不等式在某区间上恒成立问题 即f x 0 或f x 0 恒成立 2 要利用分离参数或函数性质求解参数范围 常见思路有 m g x 恒成立 m g x max m g x 恒成立 m g x min 3 要注意检验参数取 时是否满足题意 探究一 探究二 探究三 变式训练1已知函数f x 2ax x3 x 0 1 a 0 若f x 在 0 1 上是增加的 则a的取值范围是 解析 f x 2a 3x2 且f x 在 0 1 上是增加的 f x 0在 0 1 上恒成立 探究一 探究二 探究三 变式训练2设函数f x xekx k 0 1 求函数f x 的单调区间 2 若函数f x 在区间 1 1 内是增加的 求k的取值范围 探究一 探究二 探究三 即 1 k 0时 函数f x 在 1 1 内是增加的 综上 可知函数f x 在区间 1 1 内是增加的时 k的取值范围是 1 0 0 1 探究一 探究二 探究三 含参数的最值问题 例2 已知函数f x 4x2 4ax a2 其中a0得递增区间 2 先求导 求出单调区间 通过对a讨论从而判断f x 在 1 4 上的单调性 根据单调性 表示出最值进而求出a的值 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 当 4 即a 8时 f x 在 1 4 上的最小值可能在x 1或x 4处取得 而f 1 8时没有符合题意的a值 由f 4 2 64 16a a2 8得a 10或a 6 舍去 当a 10时 f x 在 1 4 上是减少的 f x 在 1 4 上的最小值为8 故a 10 反思感悟1 含参数的函数最值问题的两类情况 1 能根据条件确定出参数 从而化为不含参数函数的最值问题 2 不能求出参数时 常需分类讨论 若参数对导数的正负有影响时 需讨论参数 若极值与函数端点值比较大小不能确定 也需分类讨论以确定最值 2 已知函数最值求参数值 范围 的思路已知函数在某区间上的最值求参数的值 范围 是求函数最值的逆向思维 一般先求导数 利用导数研究函数的单调性及极值点 探索最值点 根据已知最值列方程 不等式 解决问题 探究一 探究二 探究三 解 令f x 3x2 3ax 3x x a 0 得x1 0 x2 a 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表 从表中可知 当x 0时 y f x 取得极大值b 而f 0 f a f 1 f 1 故需比较f 0 与f 1 的大小 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 恒成立问题 1 当a 2时 求函数f x 的单调区间 2 若不等式f x 0对任意x r恒成立 求实数a的取值范围 分析 在第 2 小题中只需使f x 在x r上的最小值大于或等于0即可 解 对函数f x 求导得f x eax ax 2 x 1 1 当a 2时 f x e2x 2x 2 x 1 令f x 0 解得x 1或x 1 令f x 0 解得 1 x 1 所以f x 的递减区间为 1 1 递增区间为 1 1 探究一 探究二 探究三 2 令f x 0 即 ax 2 x 1 0 由a 0可得 探究一 探究二 探究三 故实数a的取值范围是 0 ln3 反思感悟恒成立问题是非常重要的常见题型之一 其中 不等式在某范围内恒成立 求参数的取值范围 这类问题较多 解决这类问题的常用方法是将问题转化为求函数的最值问题 对于不能分离参数的恒成立问题 直接求含参函数的最值即可 另外需特别小心 最值能否取得到 和 不等式中是否含等号 的情况 以此来确定参数的范围能否取得 探究一 探究二 探究三 变式训练4已知函数f x a r 对于y f x 定义域内的任意的x f x 27恒成立 则a的取值范围是 解析 函数y f x 的定义域为 0 由f x 27对任意x 0 12345 1 函数f x ax2 x 1有极大值的充要条件是 a a0d a 0解析 若a 0 则f x x 1是增加的 无极值 若a 0 则f x 的图像开口向上 无极大值 若a 0 f x 的图像开口向下 有极大值 答案 a 12345 2 已知函数f x 在定义域r上是增加的 且f x 0恒成立 g x x2f x 在 0 上是增加的 答案 b 12345 3 函数f x x3 3x2 9x k在区间 4 4 上的最大值为10 则其最小值为 解析 f x 3x2 6x 9 3 x 3 x 1 由f x 0 得x 3或x 1 f 4 k 76 f 3 k 27 f 1 k 5 f 4 k 20 由f x max k 5 10 得k 5 f x min k 76 71 答案 71 12345 4 已知f x x2 2lnx 1 求f x 的最小值 x1 1 因x 0 应舍去 x2 1 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 故当x 1时 f x min 1 12345 x 0 1 x4 30 h x 0 h x 在 0 1 上是减少的 2t 2 即t