高中数学 第二章 平面向量 2.2 向量的分解与向量的坐标运算 2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算课件 新人教B版必修4(1).ppt

2 2 2向量的正交分解与向量的直角坐标运算 1 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 2 会用坐标进行平面向量的加 减与数乘向量运算 3 能借助向量坐标 用已知向量表示其他向量 1 2 1 向量的坐标 1 若两个向量的基线互相垂直 则称这两个向量互相垂直 2 若基底的两个基向量e1 e2互相垂直 则称这个基底为正交基底 在正交基底下分解向量 叫做正交分解 3 在平面直角坐标系xoy内 分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量e1 e2 则对任一向量a 存在唯一的有序实数对 a1 a2 使得a a1e1 a2e2 a1 a2 就是向量a在基底 e1 e2 下的坐标 即a a1 a2 其中a1叫做向量a在x轴上的坐标分量 a2叫做a在y轴上的坐标分量 4 向量的坐标 设点a的坐标为 x y 则 xe1 ye2 x y x y 在平面直角坐标系中有双重意义 它既可以表示一个固定的点 又可以表示一个向量 为了加以区分 在叙述中 就常说点 x y 或向量 x y 1 2 做一做1 已知a 2016 2017 且a xe1 ye2 e1 e2 为正交基底 且e1 e2为单位向量 则x y 答案 2016 2017 1 2 2 向量的直角坐标运算 1 设a a1 a2 b b1 b2 则a b a1 b1 a2 b2 即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差 若 r 则 a a1 a2 即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积 2 已知a x1 y1 b x2 y2 则 x2 y2 x1 y1 x2 x1 y2 y1 即一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标 1 2 归纳总结1 两个向量的坐标相同时 这两个向量相等 但是它们的起点和终点的坐标却不一定相同 如a 3 5 b 6 8 c 5 3 d 2 6 则但a b c d各点的坐标却不相同 2 在平面直角坐标系中 给出了向量的坐标 将向量的运算代数化 同时也给出一种用向量运算解决问题的方法 向量坐标法 1 2 做一做2 1 已知a 1 1 b 3 0 则3a 2b等于 a 5 3 b 4 1 c 2 1 d 3 3 答案 d 做一做2 2 已知向量 9 7 o为原点 则点n的坐标为 a 9 7 b 9 7 c 9 7 d 9 7 答案 a 做一做2 3 已知a 2 x y b 2y 1 3 且a b 求x y的值 解 由a b 得 2 x y 2y 1 3 从多个角度来理解向量的坐标剖析若在平面直角坐标系下 我们分别取与x轴 y轴正方向相同的两个单位向量i j作为基底 任作一个向量a 则 1 i 1 0 j 0 1 0 0 0 4 两个向量相等的等价条件是它们对应的坐标相等 5 要把点的坐标与向量的坐标区别开来 相等的向量的坐标是相同的 但起点和终点的坐标却不一定相同 名师点拨向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同 当且仅当向量的起点是原点时 向量的坐标和这个向量终点的坐标才相同 题型一 题型二 题型三 例1 在平面直角坐标系中 质点从坐标平面内原点处开始做直线运动 分别求出下列位移向量的坐标 如图 1 向量a表示质点沿东北方向移动了2个单位长度 2 向量b表示质点沿西偏北60 方向移动了4个单位长度 3 向量c表示质点沿东偏南30 方向移动了6个单位长度 分析解答本题可利用向量正交分解的定义写出向量的坐标 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思向量的坐标表示是向量的另一种表示方法 解答本题的关键是选取x轴 y轴正方向上的单位向量e1 e2作为正交基底 其中向量的始点在原点 则终点坐标即为向量的坐标 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思向量的坐标运算主要是利用加 减 数乘运算法则进行 若已知有向线段两端点的坐标 则应先求出向量的坐标 解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则 题型一 题型二 题型三 a 2 1 b 2 1 c 1 2 d 1 2 答案 d 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思本题是平面向量基本定理与坐标运算相结合的题目 求解过程体现了方程的思想和待定系数法的特点 尤其要注意区分点的坐标与向量的坐标 题型一 题型二 题型三 变式训练3 1 已知a 1 0 b 1 1 c 1 1 满足c a b 其中 r 则 2 已知点a 2 3 b 1 5 则点c d的坐标分别为 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 变式训练4 已知 abcd a 2 1 b 1 3 c 3 4 求顶点d的坐标 1 2 3 4 5 1 已知a 1 2 b 1 2 则a b与a b的坐标分别为 a 0 0 2 4 b 0 0 2 4 c 2 4 2 4 d 1 1 3 3 答案 a 1 2 3 4 5 a 1 1 b 1 1 c 3 7 d 3 7 解析 1 3 2 4 1 1 答案 b 1 2 3 4 5 a x 2 y 1 b x 2 y 1 c 2