高中数学 第四章 导数应用 4.1 函数的单调性与极值 4.1.2.1 利用导数求函数极值（点）课件 北师大版选修11.ppt

4 1 2 1利用导数求函数极值 点 1 结合函数的图像 正确理解函数极值的概念 了解可导函数有极值点的充分条件和必要条件 2 掌握利用导数判断可导函数极值的方法 能熟练地求出已知函数的极值 1 极值与极值点 1 在包含x0的一个区间 a b 内 函数y f x 在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值 称点x0为函数y f x 的极大值点 其函数值f x0 为函数的极大值 2 在包含x0的一个区间 a b 内 函数y f x 在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值 则称点x0为函数y f x 的极小值点 其函数值f x0 为函数的极小值 3 函数的极大值与极小值统称为函数的极值 极大值点与极小值点统称为极值点 4 极值是函数在一个适当区间内的局部性质 函数的某些极大值有时候比其他极大值小 甚至可能比一些极小值还小 名师点拨由定义知 极值是一个局部概念 极值只是某个函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 并不意味着它在函数整个定义域内最大或最小 做一做1 函数y f x 的图像如图 则函数的极小值 极大值个数分别为 a 2 1b 2 2c 3 1d 3 2解析 在某点附近函数值都不大于该点的函数值 称该点为函数y f x 的极大值点 在某点附近函数值都不小于该点的函数值 称该点为函数y f x 的极小值点 因此可得极小值 极大值的个数分别为2 2 答案 b 2 极值点的确定方法 1 如果函数y f x 在区间 a x0 上是增加的 在区间 x0 b 上是减少的 则x0是极大值点 f x0 是极大值 2 如果函数y f x 在区间 a x0 上是减少的 在区间 x0 b 上是增加的 则x0是极小值点 f x0 是极小值 3 求函数y f x 的极值点的步骤一般情况下 求函数y f x 的极值点的步骤如下 1 求出导数f x 2 解方程f x 0 3 对于方程f x 0的每一个解x0 分析f x 在x0左 右两侧的符号 即f x 的单调性 确定极值点 若f x 在x0两侧的符号 左正右负 则x0为极大值点 若f x 在x0两侧的符号 左负右正 则x0为极小值点 若f x 在x0两侧的符号相同 则x0不是极值点 名师点拨1 求函数极值时应先求其定义域 2 函数的极值点一定是导数值为零的点 反之 导数值为零的点不一定是该函数的极值点 还得判断该函数的导函数f x 在该点左 右两侧的符号 做一做2 1 函数f x ax3 bx在x 1处有极值 2 则a b的值分别为 a 1 3b 1 3c 1 3d 1 3解析 f x 3ax2 b f 1 3a b 0 又x 1时有极值 2 f 1 a b 2 由 联立 解得a 1 b 3 答案 a 做一做2 2 函数f x 的定义域为开区间 a b 导函数f x 在 a b 内的图像如图 则函数f x 在开区间 a b 内的极小值点有 a 1个b 2个c 3个d 4个答案 a 做一做2 3 函数f x x3 6x a的极大值为 极小值为 题型一 题型二 题型三 利用导数求函数的极值点 题型一 题型二 题型三 答案 d 题型一 题型二 题型三 利用导数求函数的极值 分析 先求f x 0时x的值 然后列表 根据极值的定义判断在这些点处的极值情况 题型一 题型二 题型三 反思在解题过程中 要全面系统地考虑问题 注意各种条件的综合运用 方可正确解题 解答本题时应注意f x0 0只是函数f x 在x0处有极值的必要条件 只有再加上x0两侧的导数的符号相反 方能断定函数在x0处取得极值 在解题时 错误判断极值点或漏掉极值点是经常出现的错误 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 易错辨析易错点对极值点的概念把握不清而致误 错因分析 函数的极值点的判断出现错误 导函数f x 0对应的点不一定是极值点 正解 y x2 当x0 函数在 0 上是增加的 当x 0 y 0 函数在 0 上也是增加的 x 0的两侧函数都是递增的 函数f x 没有极值点 1 2 3 4 5 6 1 函数y 2 x2 x3的极值情况是 a 有极大值 没有极小值b 有极小值 没有极大值c 既无极大值也无极小值d 既有极大值也有极小值答案 d 1 2 3 4 5 6 2 若函数f x 的定义域为r 导函数f x 的图像如图 则函数f x a 无极大值点 有四个极小值点b 有三个极大值点 两个极小值点c 有两个极大值点 两个极小值点d 有四个极大值点 无极小值点答案 c 1 2 3 4 5 6 3 函数的极小值是 a 1b 2c 5d 不存在解析 f x 令f x 0 解得x 1 当x 0 1 时函数是减少的 当x 1 时函数是增加的 因此x 1是函数的极小值点 极小值为f 1 5 答案 c 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 5 函数f