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文档简介

关于实数完备性的6个基本定理 1 确界原理 定理1 1 2 单调有界定理 定理2 9 3 区间套定理 定理7 1 4 有限覆盖定理 定理7 3 5 聚点定理 定理7 2 6 柯西收敛准则 定理2 10 在实数系中这六个命题是相互等价的 第七章习题课 在有理数系中这六个命题不成立 1 确界原理 在实数系中 任意非空有上 下 界的数集必有上 下 确界 2 单调有界定理 在实数系中 单调有界数列必有极限 即数列的单调有界定理在有理数域不成立 3 区间套定理 若 是一个区间套 则在实数系中存在唯一的点 所以区间套定理在有理数系不成立 反例 4 有限覆盖定理 在实数系中 闭区间 a b 的任一开覆盖H 必可从H中选出有限个开区间覆盖 a b 反例 5 聚点定理 实数系中的任意有界无限点集至少有一个聚点 反例 S是有界的无限有理点集 在实数域内的聚点为e 因而在有理数域没有聚点 5 1致密性定理 在实数系中 有界数列必含有收敛子列 反例 其极限为无理数e 从而任一子列均收敛于e 故 xn 在有理数域内没有收敛的子列 6 柯西收敛准则 反例 即柯西收敛准则在有理数域不成立 几个概念 区间套 闭区间套 聚点 3个等价定义及其等价性的证明 开覆盖 有限开覆盖 举例说明闭区间套定理中将闭区间换成开区间结论不成立 但不存在属于所有开区间的公共点 举例说明有限覆盖定理中将闭区间换成开区间结论不成立 但不能从中选出有限个开区间盖住 0 1 因为右端点始终为1 左端点有限个中必有一个最小者 构成了开区间 0 1 的一个开覆盖 定义有界数列 点列 xn 的最大聚点与最小聚点A分别称为 xn 的上极限与下极限 记作 数列的上下极限概念 1 在 a b 上的连续函数f为一致连续的充要条件是f a 0 与f b 0 都存在 不适合无限开区间 f x 一致连续的判定 3 闭区间上连续的函数必一致连续 5 若f x 在有限区间I上无界 则f x 在I上必不一致连续 P168 1 解答 P168 7 证法1 不妨设 xn 单调增加 若 xn 无界或 xn 是常数列 则 xn 一定没有聚点 不合题意 故 xn 必为有界数列且不是常数列 从而 xn 一定有确界 由单调有界定理的证明可知 证法2 由单调有界定理的证明可知 故 xn 一定有界 从而有确界 P172 2 证 有限区间I上一致连续
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