高等数学知识体系简介.pdf

中国考研第一权威品牌 跨考教育 2012 年考研 高等数学预习讲义 跨考教育 2012 年考研 高等数学预习讲义 知识改变命运知识改变命运 跨考照亮人生跨考照亮人生 1 网址 网址 中国考研第一权威品牌 第一章第一章 函数 极限和连续性函数 极限和连续性 内容提要内容提要 1 函数实质上是自变量与因变量之间按照一定法则的对应关系 函数的概念及各种性质在考 研数学中一般不作为直接的考点 但函数是微积分的基本研究对象 绝大多数知识点都直接 或间接地与函数相关 相当大的一部分题目中也要直接或间接地用到函数的各种性质 因此 在开始微积分的学习之前 重温一遍函数的主要内容是必要的 函数部分需要重点掌握的内容有 复合函数 分段函数的运算 反函数的概念及计算 函数 的奇偶性和有界性 2 极限是这一章的主要内容 也是整个学科的理论基础 学习本章的核心任务是熟练掌握各 种极限的计算方法 极限计算的方法牵涉到方方面面的理论 在后续很多章节都有涉及 总 结起来主要有 利用四则运算 利用两个重要极限 利用等价无穷小替换 利用洛必达法则 利用变量替换 分别求左右极限 数列极限转化为函数极限 利用夹逼原理 利用单调有界 原理 利用泰勒公式 利用定积分的定义等 对于极限的计算需要大量的练习 以求熟能生 巧 对各种方法融会贯通 无穷大量和无穷小量的概念是这一部分的另一重要内容 它们既是对极限计算的应用 又可 以反过来帮助我们求极限 学习时 要理解无穷大量和无穷小量的概念及它们的关系 重点 掌握无穷小量的比较方法 理解无穷小量的高阶 同阶 等价的概念并能用等价无穷小替换 计算极限 3 函数的连续性是函数的基本性质之一 微积分中研究的函数都是连续函数或仅在有限个点 间断的函数 对函数连续性的考查也是考研数学的重要内容 考题主要集中在连续性的讨论 及间断点的分类上 对函数连续性的考查本质上还是考查极限的计算 另外 闭区间上连续函数的性质也是需要考生有所了解的内容 第一节第一节 函数函数 考点精讲 考点精讲 一 基本概念一 基本概念 1 函数函数 从实数集的子集到DR的一个映射f称之为函数 记作 yf x xD 称x为自变量 为因变量 函数的三要素 定义域 解析式和值域定义域 解析式和值域 也作二要素 定义域 解析式 因 为这两者可以决定值域 其中 定义域是自变量 y x的取值范围 值域是因变量的取值范围 记作 f D uf t t 函数由其解析式和定义域唯一确定 与符号的选取无关 如与 是同一个函数 yf x xD D 在没有特别指定的情况下 函数的定义域取自然定义域 即使得函数运算有意义的自变量的 取值范围 易知 人为指定的定义域必为自然定义域的子集 常见的函数的定义域如下 知识改变命运知识改变命运 跨考照亮人生跨考照亮人生 2 网址 网址 中国考研第一权威品牌 知识改变命运知识改变命运 跨考照亮人生跨考照亮人生 3 网址 网址 1 0 0 ln 0 sin cos tan cot 2 x yx xyx x yx xyexR yx xRyx xR yx xkyx xkkZ 2 复合函数复合函数 设 1 yf u uD 与为两个函数 如果的值域包含于 2 ug x xD g x 2 g D f u 的定义域 则可以定义 1 D f u g x与的复合函数 2 fg yf g xxD 类似地 还可以定义三个或更多函数的的复合函数 复合函数的性质 复合函数的性质 复合函数的运算满足结合律 即 123123 ffffff 2 注意 复合函数不满足 交换律 例如令 2 f xx g x x 2 则 22 4f g xxg f xx 如果 12 f xfx单调性相同 则 12 ffx单调递增 如果 12 f xfx单调性相反 则 12 ffx单调递减 3 反函数反函数 函数是一个映射 如果该映射的逆映射存在 则称该逆映射是函数 yf x xD 的反函 数 记作 1 xfyyf D 反函数的性质 反函数的性质 函数存在反函 数当且仅 当对定义 域内任意 两点 yf x xD 12 xx 有 12 f xf x 反函数与原函数的图像关于直线yx 对称 反函数与原函数的增减性相同 常见反函数 1 1 1 1 1 sin arcsin cos arccos tan arctan ln 11 x f xxfyy f xxfyy f xxfy f xefyy f xfy xy y 4 初等函数初等函数 中国考研第一权威品牌 由基本初等函数经过有限次复合或四则运算得到的函数称之为初等函数 基本初等函数包括 如下五类函数 幂函数 a yxaR 指数函数 0 x 1yaaa os tanx yx 对数函数 三角函数 log 0 1 a yx aa sin cyx y 等 反三角函数 等 arcsin arccosyx y arctanx y x 5 分段函数分段函数 函数在x的不同取值范围内有不同的解析式就称之为分段函数 常见的分段函数 0 0 f x x fx fx x max f xf xg x f x g x g xf xg x 都 有 1 2 f xf x 或 1 2 f xf都有 12 f xf x 或 1 2 f xf x 我们就称函数 f x在I上单调不减单调不减 或单调不增单调不增 函数单调性的性质 函数单调性的性质 如果 12 f xfx都是增函数 或减函数 则 12 f xfx 也是增函数 或减函数 如果 1 f x是增函数 2 fx是减函数 则 12 f xfx 是增函数 21 fxf x 是减 函数 如果 f x 0 Cf x Cf x 常见函数的单调增区间及单调减区间 2 22 ln 0 3 sin 2 2 2 2 222 cos 2 2 2 2 x aa yxaxb ye yx yxkkkk yxkkkk 2 增区间 减区间 增区间 增区间 增区间 减区间 增区间 减区间 知识改变命运知识改变命运 跨考照亮人生跨考照亮人生 4 网址 网址 中国考研第一权威品牌 2 函数的周期性函数的周期性 如 果 存 在 正 数T 使 得 对 函 数 yf x 在 其 定 义 域D内 的 任 意 一 点x都 有 f xTf x 就称 f x是一个周期函数周期函数 而T是 f x的一个周期 易知如果T是 f x的一个周期 那么对任意的正整数 nT都是n f x的周期 在 f x的所有周期中 我们把其中最小的称为最小正周期最小正周期 很多时候 我们往往也把最小正周期简称为周期 周期函数的性质 周期函数的性质 如果 f x以T为周期 则对任意的非零常数C 仍然以T为周期 Cf x f Cx以 T C 为周期 如果 12 f xfx都以T为周期 则 1 122 k f xk fx 仍然以为周期 注意这时最小正周期有可能缩小 如 T 12 k kR 1 cos2sin 2 sinf xxx fxx 都以2 为最小正 周期 但 12 cos2f xfx x以 为最小正周期 常见周期函数的周期 sin 2 cos 2 tan cot yx Tyx T yx Tyx T 3 函数的奇偶性函数的奇偶性 如果对其定义域内的任意一点Dx fxf x 或 fxf x 就称 f x是 一个偶函数偶函数 或奇函数奇函数 奇偶函数的性质 奇偶函数的性质 偶函数的图像关于轴对称 奇函数的图像关于原点对称 y 如果 12 f xfx都是奇函数 或偶函数 则对任意的常数 12 k kR 仍然是奇函数 或偶函数 1 122 k f xk fx 如果 12 f xfx奇偶性相同 则 12 f x fx为偶函数 如果 12 f xfx奇偶性相反 则 1 2 f x fx为奇函数 对于任意定义在对称区间上的函数 f x fx 2 f xfx 与 f x fx 都是 偶函数 2 f xfx 是奇函数 常见的奇函数 sin tan k cotyxkyx yx yx 为奇数 常见的偶函数 知识改变命运知识改变命运 跨考照亮人生跨考照亮人生 5 网址 网址 中国考研第一权威品牌 知识改变命运知识改变命运 跨考照亮人生跨考照亮人生 6 网址 网址 os c k yxkyx 为偶数 4 函数的有界性函数的有界性 设是一个函数 如果存在一个实数 yf x xD M 使得对定义域内任意的一点x 都 有 f xM 则称函数 f x有上界 并称M是函数 f x的一个上界 如果存在一个实 数 使得对定义域内任意的一点mx 都有 f xm 则称函数 f x有下界 并称M是 函数 f x的一个下界 既有上界又有下界的函数称为有界函数 也即函数 f x有界当且 仅当 存在实数与mM 使得对定义域内任意的一点x 都有 xmfM 注 有界函数还有一个等价的定义 存在实数 使得对定义域内任意一点0M x 都有 f xM 读者可以尝试自行证明这个结论 第二节第二节 极限极限 考点精讲 考点精讲 一 基本概念一 基本概念 1 数列极限 数列极限 lim0 0 nn n xaNnNxa 一个正数当 一个正数当0 时 恒有 M lim 00 0 x f xMxMf x 若有limlim n nn n xy 则从某一项开始 以后所有项都有N nn xy 注 把 都 改为结论不成立 3 函数极限的性质及其相关定理 函数极限的性质及其相关定理 a 唯一性 唯一性 若 0 lim xx f x 存在 且有 0 lim xx f xA 及 0 lim xx f xB 则 AB b 有界性 有界性 若 0 lim xx f x 存在 则存在正数 使得 f x在 0000 xxx x 内有 界 c 保序性 保序性 若存在正数 对于任意满足 0 0 xx x 存在正数 对于任意满足 0 0 xx 三 重要公式与定理三 重要公式与定理 1 收敛准则 收敛准则 a 夹逼定理 夹逼定理 若存在正数 对于任意满足 0 0 xx 若存在自然数 当时 恒有且有 则有 a 中国考研第一权威品牌 b 单调有界原理 单调有界原理 单调递增有上界的数列必有极限 单调递减有下界的数列必有极限 单调 无界的数列极限为 或 2 两个重要极限两个重要极限 a 0 sin lim1 x x x b 1 0 lim 1 x x xe 3 洛必达法则洛必达法则 0 0 型 设 f x g x满足 li m 0 lim 0 xaxa f xg x f x g x在的邻域内可导 a点除外 且a 0g x lim xa fx g x 存在 或等于 或 则有 limlim xaxa f xf g xg x x 0 0 型 设 f x g x满足 lim 0 lim 0 xx f xg x 存在一个正数X 当 xX 时有 f x g x可导 且 0g x lim x fx g x 存在 或等于 或 则有 limlim xx f xf g xg x x 型 设 f x g x满足 lim lim xaxa f xg x f x g x在的邻域内可导 a点除外 且a 0g x lim xa fx g x 存在 或等于 或 则有 limlim xaxa f xf g xg x x 知识改变命运知识改变命运 跨考照亮人生跨考照亮人生 9 网址 网址 中国考研第一权威品牌 型 设 f x g x满足 lim lim xx f xg x 存在一个正数X 当 xX 时有 f x g x可导 且 0g x lim x fx g x 存在 或等于 或 则有 limlim xx f xf g xg x x 4 重要公式 重要公式 a 几种常见的无穷大量趋近于无穷的快慢比较 几种常见的无穷大量趋近于无穷的快慢比较 当x 时 以下各函数趋近于无穷的快慢 ln 0 1 axx x xabbx 由慢到快 当时 以下各数列趋近于无穷的快慢 n ln 0 1 ann n nabbn n 由慢到快 b 常用极限常用极限 0 lim1 lim1 lim lim0 lim arctan lim arctan 22 xn xn xx xx xx xn ee xx 四 计算极限的主要方法四 计算极限的主要方法 1 利用初等变换或变量替换利用初等变换或变量替换 利用极限的四则运算将极限变形 化为便于计算的形式 注 注 1 关于无穷大的运算法则 00 0 0 0 0 1 00 1 C CC CC Ca Ca Ca 1sin1x xxx 而 11 limlim0 xx xx 因此 sinsin limlim11 xx xxx xx 而如果 运用洛必达法则的话 就会得到 1 cos lim1lim cos 1 xx x x 而lim cos x x 不存在 b 使用洛必达法则之前 先检验是否满足所需条件 c 多次应用时 注意在用完之后将式子整理化简 d 与等价无穷小量结合使用通常可以简化计算 e 数列极限如果也想用洛必达法则计算的话可以通过变量替换转化为函数极限 f 当极限式中有积分号时 需要用到变限积分求导的公式 设函数 f x连续 可 导 则有 u x v x u x v x d f t dtf u x u xf v x v x dx 4 利用两个重要极限利用两个重要极限 a 0 sin lim1 x x x 推广 推广 0 sin lim1 0 f x f x f x f x b 1 0 lim 1 x x xe 推广 推广 1 0 lim1 0 f x f x f xe f x 或 1 1 1 lim 1 f x f x f xe f x c 关于幂指数的三个公式 关于幂指数的三个公式 lim 0 lim lim v x b u xav xbu xa 设则 知识改变命运知识改变命运 跨考照亮人生跨考照亮人生 11 网址 网址 中国考研第一权威品牌 lim 1 lim 1 lim lim v x u xv x u xv xu xe 设则 lim lim 00 lim lim 1 v x u x v x u xv xu xe 设则 5 利用夹逼法利用夹逼法 夹逼法实质上是对待求极限的数列或函数进行放大或缩小 进行放缩的时候有两个原则 1 尽量简化计算 2 不改变极限值 优先考虑第二条 6 利用单调有界原理利用单调有界原理 单调有界原理一般用于递推形式的数列极限 也即数列以 1 n af a n 的形式给出的极限 思路是 先证明极限存在 一般要用到数学归纳法证明数列单调有界 再对递推式两边同 时取极限得到 进而解出极限值a af a 7 利用泰勒公式或中值定理利用泰勒公式或中值定理 a 泰勒公式泰勒公式 设函数 f x在点 0 x处有阶导数则在n 0 x的某邻域内有 2 00 00 2 nnfxfx f xf xfxxxxxxxoxx n 常见函数的泰勒公式 2 1 2 n xn xx exo xx n 0 352122 11 1 sin 0 3 5 21 n nn xxxxxo xx n 1 23 11 1 ln 1 0 23 n nn xxxxxo xx n 2 1 1 1 1 1 0 2 ann a aa aan xaxxxo xx n 特例 2 1 1 1 1 nnn xxxo xx x 0 b 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 设 函 数 f x在 a b上 连 续 在 a b上 可 导 则 存 在 使 得 a b f bf f ba a 8 利用定积分计算和式的极限利用定积分计算和式的极限 每项提出 ba n 或 1 n 后 原和式可写成 1 n i bai ba fa nn 或 1 1 n i i fa nn 知识改变命运知识改变命运 跨考照亮人生跨考照亮人生 12 网址 网址 中国考研第一权威品牌 利用定积分的定义 有 1 lim n b an i bai ba faf nn x dx或 1 0 1 1 lim n n i i faf nn x dx 知识改变命运知识改变命运 跨考照亮人生跨考照亮人生 13 网址 网址 中国考研第一权威品牌 第二章第二章 导数与微分导数与微分 内容提要 内容提要 本章的内容是一元函数导数与微分的概念和它们的各种运算 导数与微分是高等 数学中的基本运算之一 也是考研数学中重点要求的内容 本章只涉及导数与微分的概念和 基本的运算法则 学习本章最首要的任务就是理解导数的概念 从定义上看 导数实际上是一个 0 0 型 的函数极限 0 lim x y x 计算导数实质上就是计算该极限 考生需要熟练掌握直接利用定义 计算导数的方法 这是本章主要的难点和重点 从几何意义上看 导数是曲线切线的斜率 从物理上看 如果将函数看作某一物体的位移 它的导数就是该物体的速度 推 而广之 物理上所有的变化率 加速度 电流强度 增长率等 都是导数 由它们可以引出 导数的几何及物理应用 也可以帮助我们进一步加深对导数概念的理解 yf x 导数与微分 可导性与可微性的关系是本章的另一个难点 对于一元函数来说 可导性 与可微性是等价的 它们是同一个问题的两种不同描述方式 可微的定义 yA xox 很直观地表达了 以直代曲 的思想 即以A x 近似代替y 可微和可导都比连续要强 即可导必连续 一元函数的求导难度不大 但需要多加练习以求熟能生巧 对于导数的四则运算法则 复合函数球到底链式法则 反函数求导法则 隐函数及参数方程求导的法则都是需要通过大 量练习才能熟练掌握的 计算一般的高阶导数时逐阶计算即可 某些简单的形式可以通过特殊的方法计算出通式 即n阶导数 第一节第一节 导数与微分导数与微分 I考点精讲考点精讲 一 基本概念一 基本概念 1 导数的定义导数的定义 1 导数 导数 设函数 f x在 0 x的邻域内有定义 给自变量x在 0 x处加上增量 0 x 相应的得到因变 量的增量y 0 0 yf xxf x 如果极限 00 00 limlim xx f xxf xy xx 存在 则称函数在 0 x处可导 该极限值称为函数在 0 x处的导数 记作 0 00 x x dy fxy x dx 知识改变命运知识改变命运 跨考照亮人生跨考照亮人生 14 网址 网址 中国考研第一权威品牌 导数的定义式还可以写成 0 0 0 0 lim xx f xf x fx xx 2 左 右 导数 左 右 导数 设函数 f x在 0 x的左导数定义为 0 00 0 0 0 limlim xxx 0 f xxf xf xf x fx xx x 右导数的定义类似 注 注 回忆函数极限的定义 函数在某一点的极限存在等价于左右极限存在且相等 因此 函 数在一点可导的充要条件就是左右导数存在且相等 3 函数在区间上的可导 函数在区间上的可导 如果函数 f x在开区间 上每一点都可导 则称 a b f x在开区间上可导 a b 如果函数 f x在开区间 上可导 且在 a bxa 处存在右导数 在xb 处存在左导数 则称 f x在闭区间 上可导 a b 4 高阶导数 高阶导数 导函数如果也可导 则其导数称为原函数的二阶导数 n n 2 阶导数的定义依次类推 2 微分的定义微分的定义 设函数 f x在 0 x的邻域内有定义 当自变量x在 0 x处有增量 0 x 时 如果因变量的 增量 y 0 0 yf xxf x 可以表示为 yA xox 其中A为只与 0 x有关而与x 无关的常数 ox 表示x 的高阶无穷小量 回忆高阶无穷 小量的定义 则称 f x在 0 x处可微 并称A x 为 f x在 0 x处的微分 记作或 即 dy df x dydf x A x 二 基本性质二 基本性质 1 函数可导性与连续性的关系 函数可导性与连续性的关系 由定义可知 可导函数必连续 但连续函数不一定可导 例如 yx 2 可导与可微的关系可导与可微的关系 针对一元函数 可导性与可微性等价 并且有关系 yf x dyfx dx 3 导数与微分的四则运算 导数与微分的四则运算 知识改变命运知识改变命运 跨考照亮人生跨考照亮人生 15 网址 网址 中国考研第一权威品牌 设函数均可导 那么有 u x v x 22 d d d 0 uvuvuvdudv uvuvuvuvvduudv uvuuvuvduudv v vvvv 4 复合函数求导的链式法则 复合函数求导的链式法则 设 如果在 yf u ug x g xx处可导 且 f u在对应的 ug x 处可导 则复合 函数在 yf g x x处可导可导 且有 dydy du f g xf u g x dxdu dx 或 注 复合函数求导的链式法则可以推广到多个函数复合的情形 5 反函数求导法则 反函数求导法则 设函数在点 yf x x的某邻域内连续 在点 0 x处可导且 0fx 并令其反函数为 xg y 0 且x所对应的的值为y 0 y 则有 0 00 11 dx g y dy fxfg ydy dx 或 1 为应用方便 反函数求导法则可简记为 1 1 1 fx ffx 6 参数方程求导法则 参数方程求导法则 设参数方程 xx t yy t 则 dy dydy dty t dt dx dxdt dxx t dt 7 高阶导数的莱布尼兹公式 高阶导数的莱布尼兹公式 设 f x g x均有阶导数 则有 n 0 n n iin i n i f x g xC fx gx 常用的初等函数的n阶导数公式 1 x ey xn ey 2 1 0 aaay xnxn aay ln 3 xysin 2 sin n xy n 知识改变命运知识改变命运 跨考照亮人生跨考照亮人生 16 网址 网址 中国考研第一权威品牌 4 xycos 2 cos n xy n 5 xyln nnn xny 1 1 1 8 变上限积分求导 变上限积分求导 变上限积分求导定理 设函数 f x在 上连续 则函数 a b x a F xf t dt可导 并且 x x a d F xf t dtf dx 推论 1 设函数 u x a F xf t dt 则 F xf u x u x 推论 2 设函数 则 u x v x F xf t dt F xf u x u xf v x v x 推论 3 设函数 u x a F xf t x dt 且二元函数 f t x关于x的偏导数存在 则 u x x a F xf x x u xf t x dt 9 一阶微分的形式不变性 一阶微分的形式不变性 设 则由链式法则可知 即是说复合函数 的微分在选取作为中间变量与自由变量是一样的 yf u ug x f g xdx ug x dyfg xg x dxf u du dyu yf u 三 重要公式定理三 重要公式定理 1 费马引理 费马引理 设函数 f x在点 0 x的某邻域内有定义 并且在 0 U x 0 x处可导 如果对任 意的 0 xU x 有 0 0 f xff x x或f x 那么 0 0fx 注 注 引理中点 0 x的定义就是极值点的定义 费马引理的内容可概括函数在某点取得极值的 必要条件是在该点的导数值为 0 2 罗尔定理 罗尔定理 如果函数 f x满足 1 在闭区间 上连续 2 在开区间上 可导 3 在区间端点处的函数值相等 即 a b a b f af b 那么在内至少存在一点 a b ab 使得 f 0 注 罗尔定理的几何意义 条件 1 说明曲线在和之间是连续曲线 xfy afaA bfbB 条件 2 说明曲线在之间是光滑曲线 xfy BA 知识改变命运知识改变命运 跨考照亮人生跨考照亮人生 17 网址 网址 中国考研第一权威品牌 条件 3 说明曲线在端点 xfy A和B处纵坐标相等 结论说明曲线在点 xfy A和点B之间 不包括点A和点B 至少有一点处的切线 平行于x轴 如下图所示 3 拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函数 f x满足 1 在闭区间上连续 2 在开区间 上可导 那么在 内至少存在一点 a b a b a b ab 使得 f bf a ba f 注 拉格朗日中值定理的几何意义 条件 1 说明曲线在点 xfy afaA 和点 bfbB 之间 包括点A和点B 是 连续曲线 条件 2 说明曲线 不包括点 xfy A和点B 是光滑曲线 结论说明 曲线在 xfy A B之间 不包括点A和点B 至少有点处的切线与割 线AB是平行的 如下图所示 由拉格朗日中值定理可以得到两个推论 推论 1 若在内可导 且 xf ba 0 x f 则 xf在 ba 内为常数 知识改变命运知识改变命运 跨考照亮人生跨考照亮人生 18 网址 网址 中国考研第一权威品牌 推 论 2 若和在 xf xg ba 内 可 导 且 xgxf 则 在 内 其中C为一个常数 ba Cxgxf 拉格朗日中值定理实为罗尔定理的推广 当 bfaf 特殊情形 就是罗尔定理 4 柯西中值定理 柯西中值定理 如果函数 f x和满足 1 在闭区间 上连续 2 在开区间 上可导 3 对任意的 g x a b a b xa b 那么在 内至少存在一点 0g x a b ab 使得 ff b gg f a gba 注 柯西中值定理的几何意义 考虑曲线 AB的参数方程 tfy tgx 点 点曲线在 bat afagA bfbgB AB上是连续曲线 除端点外是光滑曲线 那么在 曲线上至少有一点 它的切线平行于割线AB 如下图所示 柯西中值定理实为拉格朗日中值定理的推广 令 g xx 就是拉格朗日中值定理 5 泰勒中值定理 泰勒中值定理 1 带皮亚诺余项的泰勒公式 带皮亚诺余项的泰勒公式 设函数 f x在点 0 x处有阶导数则在n 0 x的某邻域内有 2 00 000000 2 nnfxfx f xf xfxxxxxxxoxx n 2 带拉格朗日余项的泰勒公式带拉格朗日余项的泰勒公式 设函数 f x在含 0 x的区间具有阶导数 在 内有阶连续导数 则 a b1n a b n xa b 有 知识改变命运知识改变命运 跨考照亮人生跨考照亮人生 19 网址 网址 中国考研第一权威品牌 知识改变命运知识改变命运 跨考照亮人生跨考照亮人生 20 网址 网址 1 21 00 000000 2 1 nn nnfxfxf f xf xfxxxxxxxxx nn 在x与 0 x之间 也可以写成 00 0 1xxx 3 麦克劳林公式 麦克劳林公式 的泰勒公式又称为麦克劳林公式 0 0 x 中国考研第一权威品牌 第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学 内容提要内容提要 积分学是高等数学的主要内容之一 在考试中占有很大的比重 而一元函数积分 又是其它积分的基础 后续的所有积分 重积分 曲线积分 曲面积分 其计算方法从本 质上讲都是将积分化为定积分来计算的 同时 积分学复习的效果还将直接影响到后面级数 和微分方程的复习 一元函数积分学可分为不定积分和定积分两部分 其中不定积分是基础 从方法上讲 不定积分的计算方法有凑微分法 换元法和分部积分法 考生需要通过大量练习来熟练掌握 这些积分法 从函数类型上讲 最基本的类型是有理函数积分法 其它特殊类型的积分 三 角有理式 简单的无理函数 都是化为有理函数积分来计算的 在进行练习时 需要有意识 地进行归纳总结以掌握各种常见类型函数的积分法 一元函数积分学的主体应该是定积分 它在几何 物理及经济等领域有重要的用途 也 是考查的重点 联系不定积分和定积分的纽带是牛顿 莱布尼兹公式 它是整个微积分中最 重要的公式之一 被称之为微积分基本定理 基于该定理 我们可以用不定积分的计算方法 来计算定积分 但要注意该定理成立的条件 被积函数在积分区间上必须是连续的 广义积分是定积分的极限 它的计算过程也就是积分过程与取极限过程的统一 大多数 广义积分的积分思路与定积分类似 第一节第一节 不定积分不定积分 考点精讲 考点精讲 一 基本概念一 基本概念 1 原函数 原函数 如果在区间I上 可导函数的导函数为 F x f x 即对任意xI 都有 或 F xf x dF xf x dx 则称为 F x f x在区间I上的原函数 原函数存在定理 原函数存在定理 连续函数必存在原函数 注 注 由于只相差一个常数的两个函数导函数相等 因此如果为 F x f x的原函数 则对 任意的实数C 仍为 F xC f x的原函数 2 不定积分 不定积分 在区间I上 函数 f x原函数全体称之为 f x在区间I上的不定积分 记作 f x dx 其中 称为积分号 f x dx成为被积表达式 x成为积 分变量 注 注 不定积分是求导的逆运算 不定积分的计算结果是一族相差一个常数的函数 因此在最后的计算结果中一定要加上常 数 C 3 不定积分与原函数的关系不定积分与原函数的关系 不定积分和原函数是两个不同个概念 前者是个集合 后者是该集合中的一个元素 因此 f x dxF xCF x 知识改变命运知识改变命运 跨考照亮人生跨考照亮人生 21 网址 网址 中国考研第一权威品牌 二 基本性质二 基本性质 1 设函数 f x与的原函数存在 则 g x f xg xdxf x dxg x dx 0kf x dxkf x dx kR k f x dxf x 或 df x dxf x dx F x dxF xC 或 dF xF xC 2 基本积分公式基本积分公式 1 1 1 1 1 aa x dxxC a a 2 1 ln dxxC x 3 1 ln xxxx a dxaCe dxeC a 4 cossin sincosxdxxCxdxxC 5 22 sectan csccotxdxxCxdxxC 6 secln tansec cscln csccotxdxxxCxdxxxC 7 sec tansec csc cotcscxxdxxCxxdxxC 8 tanln sin cotln cosxdxxCxdxxC 9 2222 111 arctan arctan 1 ax dxCdxxC a xbabbx 10 2222 111 arcsin arcsin 1 ax dxCdxxC ab ba xx 11 22 11 ln 2 ax dxC axaax 12 22 22 1 ln dxxxaC xa 三 重要公式与定理三 重要公式与定理 1 第一类换元法 凑微分法 第一类换元法 凑微分法 定理 定理 设 f u有原函数 ux 可导 则有换元公式 知识改变命运知识改变命运 跨考照亮人生跨考照亮人生 22 网址 网址 中国考研第一权威品牌 知识改变命运知识改变命运 跨考照亮人生跨考照亮人生 23 网址 网址 ux fxx dxf u du 应用第一类换元法的关键是要把被积函数凑成 fx x的形式 2 第二类换元法第二类换元法 定理 定理 设 xt 是单调 可导的函数 并且 0t 又设 ft 1 GxC t具有原函数 则有换元公式 G t 1 tx dt f x dxftt 第二类换元法是与第一类换元法相反的思路 在计算过程中应用得很频繁 后面我们将会总 结常见的思路 3 分部积分法分部积分法 由导数的计算公式 我们有 因此 uvuvuv uvCuvuvdxuvdxuvdx 移项可得 uvdxuvuvdx 这就是分部积分公式 为了简便起见 该公式也可以写成 udvuvvdu 运用公式的关键是如何把被积函数分为u和dv两部分 一般来说 选取 的原则是积分容易的选为 求导容易的选为u 两者不能同时满足时优先考虑第一条 udvuvvdu dv 第二节第二节 定积分定积分 考点精讲 考点精讲 一 基本概念一 基本概念 1 定积分的概念定积分的概念 1 设函数 f x在区间 上有定义 在 内任意插入 a b a b1n 个分点 0121 nn axxxxxb lim t at f x dx 存在 则称此极限值为 函 数 f x在上 的 反 常 积 分 记 作 a a f x dx 也 就 是 说 lim t aa t f x dx f x dx 此时也称反常积分 a f x dx 收敛 否则称反常积分 a f x dx 发散 同样 当 f x在 a 上连续 且极限lim a tt f x dx 存在时 称此极限为函数 f x在 a 上的反常积分 记作 a f x dx 即 lim aa tt f x dx f x dx 此时也称反常 积分 a f x dx 收敛 否则称反常积分 a f x dx 发散 最后 当 f x在 上连续 且极限lim a tt f x dx 和lim t at f x dx 都存在时 则 称这两个极限值之和为函数 f x在 上的反常积分 记作 f x d x 即 lim lim ata taatt f x dxf x dxf x dxf x dxf x dx 也就是说当反常积分 a f x dx 和 a f x dx 都收敛时 f x dx 收敛 当 a f x dx 和 a f x dx 有一个发散时 f x dx 发散 2 无界函数反常积分无界函数反常积分 瑕点 瑕点 如果函数 f x在xa 的任一邻域内都无界 则称点为函数a f x的瑕点 反常积分 反常积分 设函数 f x在 上连续 b为 a b f x的瑕点 如果极限lim t a tb f x dx 存在 则 称 该 极 限 为 函 数 f x 在上 的 反 常 积 分 记 作 a b b a f x dx 也 就 是 说 lim tb bt aa f x dx f x dx 此时也称反常积分 b a f x dx 否则称反常积分 收敛 b a f x dx 知识改变命运知识改变命运 跨考照亮人生跨考照亮人生 26 网址 网址 中国考研第一权威品牌 发散 同样 设函数 f x在 a b上连续 为a f x的瑕点 如果极限lim b t ta f x dx 存在 则 称 该 极 限 为 函 数 f x在 a b上 的 反 常 积 分 记 作 b a f x dx 也 就 是 说 lim at ta bb f x dx f x dx 此时也称反常积分 b a f x dx 收敛 否则称反常积分 b a f x dx 发散 最后设函数 f x在 a b上除了点 cacb f x在 上单调递增 a b 2 如果在上有 那么函数 a b 0fx f x在 上单调递减 a b 单调性定理也是中值定理的推论 考生可以尝试自行推导 3 函数极值点及其判定方法函数极值点及其判定方法 1 极值点极值点 设函数 f x在点 0 x的某邻域内有定义 如果对任意的 0 U x 0 xU x 有 0 0 f xf xf x或f x 则称 0 f x是函数 f x的一个极大值 或极小值 2 极值点的判别定理极值点的判别定理 a 必要条件必要条件 设函数 f x在 0 x处可导 并在 0 x处取得极值 那么 罗尔定理的 0 0fx 知识改变命运知识改变命运 跨考照亮人生跨考照亮人生 28 网址 网址 中国考研第一权威品牌 推论 b 第一充分条件第一充分条件 设函数 f x在 0 x处连续 并在 0 x的某去心邻域 0 U x 内可导 若 0 0 xxx 时 而 0 fx 00 xx x 时 0 fx 则 f x在 0 x处取 得极大值 若 0 0 xxx 时 0 fx f x在 0 x处取 得极小值 若 0 xU x 时 fx符号保持不变 则 f x在 0 x处没有极值 c 第二充分条件第二充分条件 设函数 f x在 0 x处存在二阶导数且 0 0fx 那么 若则 0 0 fx f x在 0 x处取得极小值 若则 0 0 fx f x在 0 x处取得极大值 4 函数的凹凸性函数的凹凸性 1 凹函数与凸函数的定义 凹函数与凸函数的定义 设 函 数 f x在 区 间I上 连 续 如 果 对I上 任 意 两 点 12 x x恒 有 1212 22 xxf xf f x 则称 f x是I上的凸函数 2 凹凸性与二阶导数的关系 凹凸性与二阶导数的关系 设函数 f x在闭区间 上连续 在开区间上具有一阶和二阶导数 那么 a b a b 1 如果在上有 那么函数 a b 0fx f x在 上是凹函数 a b 2 如果在上有 那么函数 a b 0fx 总存在正数0 使得当 0 o U PDP 时有 f PAf x yA 在此基础上 该方向的方向导数可定义为 000 0 0 cos cos lim t f xtytf xy t 记为 00 xy f n 8 梯度梯度 数一 数一 f x y 00 xygrad点的梯度定义为 000000 xy f xyfxyfxy 函数在 类似地 可以定义三元函数的梯度 梯度的几何意义 梯度的几何意义 梯度是函数方向导数最大的方向 也就是函数的变化率最大的方向 9 全微分全微分 zf x y x y的全增量 zf xx yy 可表示为 定义 定义 函数在点 22 zA x B yoxy 回忆高阶无穷小量的概念 其中A B仅依赖于 x y 而与x y 无关 则称函数 zf x y 在点 x y可微 而A xB y 称为函数 z f x y 在点 x y的全微分 记作dz 即dzA xB y 二 重要公式与定理二 重要公式与定理 1 连续性定理 连续性定理 一切多元初等函数在其定义域内是连续的 2 有界闭区域上连续函数的性质 有界闭区域上连续函数的性质 1 有界性有界性有界闭区域上的连续函数在其定义域内有界 2 最值定理最值定理有界闭区域上的连续函数在其定义域内能够取到最大值与最小值 3 介质定理介质定理有界闭区域上的连续函数能够取到其最大值和最小值之间的一切值 注 注 有界闭区域相当于一元函数中的闭区间 所以其性质也和闭区间上的连续函数类似 3 可微 偏导数存在 连续 偏导数连续的关系可微 偏导数存在 连续 偏导数连续的关系 定理 定理 如果函数 zf x y 在点 x y可微 则函数在该点连续且两个偏导数均存在 并 且 22 x zz zxyoy xy 注 注 在一元函数中 可微与可导是等价的 且可导必连续 在二元函数中 可导 偏导数存 在 不一定连续 也不一定可微 但由上述定理可知 可微一定连续 可导 关于可导与可 微的关系 我们还有如下定理 定理 定理 如果函数在点的偏导数 zf x y zz xy 在 x y点连续 则函数在该点可微 这四个概念的关系可以形象地用如下的韦恩图来表示 知识改变命运知识改变命运 跨考照亮人生跨考照亮人生 51 网址 网址 中国考研第一权威品牌 知识改变命运知识改变命运 跨考照亮人生跨考照亮人生 52 网址 网址 4 高阶混合偏导数与求导次序无关高阶混合偏导数与求导次序无关 如果函数 zf x y 的两个二阶混合偏导数 2z y x 2z x y 在区域内连续 回忆连续的定义 则在该区域内这两个二阶混合偏导数 相等 D 5 偏导数的性质偏导数的性质 1 偏导数的四则运算 偏导数的四则运算 偏导数的四则运算有与一元函数类似的性质 设 f x y 的偏导数均存在 则有 g x y f x yg x y af x ybg x yaba bR xx x f x yg x y f x y g x yg x yf x y xxx 2 0 f x yg x y g x yf x y f x y xx g x y xg x ygx y 2 复合函数求导法则 复合函数求导法则 根据复合函数中间变量的不同形式我们有如下求导公式 如果 zf u vftt 则 dzf duf dv dtu dtv dt 如果 zf u vfx yx y 则 zfufv xuxv x zfufv yuyv y 如果 zf u vfx yy 则 zfu xux zfuf dv yuyv dy 3 隐函数存在定理 隐函数存在定理 数一 数二 数一 数二 定理一 定理一 设函数在点 F x y z 000 xyz附近具有连续偏导数 且有 000 0 F xyz z 则方程 F x y 0z 在点 000 xyz附近能唯一确定一个函数 zf x y 满足 中国考研第一权威品牌 知识改变命运知识改变命运 跨考照亮人生跨考照亮人生 53 网址 网址 000 zf xy 及 x z Fz xF y z F z yF 定理二 定理二 设函数在点 F x y u v G x y u v 0000 xy u v 附近具有连续偏导数 且有 同 时 由 偏 导 数 组 成 的 雅 克 比 行 列 式 0000 F xy u v 0000 0 0G xy u v FF F G uv J GGu v uv 在点 0000 xy u v处不为零 则方程组在点 0 0 F x y u v G x y u v 0000 xy u v 附近能唯一确定两个个函数 满足 且关 于 uf x y vg x y 000 000 uf xy vg xy u v x y的偏导数可按照与一元函数类似的方法来求得 等式两边同时求导 再解方程 6 方向导数与偏导数的关系 数一 方向导数与偏导数的关系 数一 错误观点 错误观点 偏导数是沿坐标轴方向的方向导数 是特殊的方向导数 错误原因 错误原因 偏导数的自变量变化量可以大于0也可以小于0 与方向导数取右极限的要求不 符 因此不是方向导数 方向导数与偏导数正确的关系 方向导数与偏导数正确的关系 偏导数存在当且仅当沿着坐标轴正方向与负方向两个方向 导数都存在且互为相反数 关于方向导数的存在及计算 我们还有如下定理 定理 如果函数定理 如果函数 f x y在在 00 xy点可微 回忆可微的定义 则点可微 回忆可微的定义 则 f x y在该点的所有方 向导数均存在 且有 在该点的所有方 向导数均存在 且有 00 0000 cos cos xy xy f fxyfxy n 其中其中 cos cos n 上述定理还可以推广到三维的情形 000 000000000 cos cos cos xyz xyz f fxyzfxyzfxyz n 三 主要解题思路三 主要解题思路 1 判断函数在某一点是否可微的方法判断函数在某一点是否可微的方法 首先计算函数在该点的两个偏导数 0000 xy fxyfxy 如果二者有一个不存在 则不可 微 如果两个偏导数都存在 则计算极限 0000 22 0 0 lim xy z xy fxyxfxyy xy 如果该极限不存在或不等于0则不可微 如果该极限等于0则可微 2 计算偏导数的方法计算偏导数的方法 中国考研第一权威品牌 1 利用偏导数的定义 2 利用四则运算与链式法则 3 对于隐函数 处理方式与一元函数类似 等式两边同时求导 再解方程 第二节第二节 多元函数微分学的应用多元函数微分学的应用 考点精讲 考点精讲 1 多元函数极值的定义及其判定方法多元函数极值的定义及其判定方法 1 多元函数极值的定义 多元函数极值的定义 设点是函数 0 P zf x y 的定义域D的内点 若存在的邻域 使得对任意异于 的点都有 0 P 0 U P 0 P 0 P PU 0 f Pf Pzf x y 在 00 xy点具有极值 当0A 时取 得极小值 当0A 时取得极大值 2 若 2 0 则函数 ACB 可见 的作用类似于地球仪上的经度 将该点与原点连接 该 连线与z轴正半轴的夹角即为 可见 的作用类似于纬度 只不过这个纬度是以北纬90 度作为0度的 它与直角坐标系的转换公式为 sincos sinsin cos x y z 三重积分球面坐标转换公式 2 si