漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景与解法.pdf

2 0 0 6 年第6 期中学数学教学 1 5 漫谈圆锥曲线的极点与极线 两高考试题的统一背景与解法 浙江省绍兴县鲁迅中学王兴华 邮编 3 1 2 0 0 8 本文源于两道高考压轴题 题l 2 0 0 6 年全国 卷题2 1 已知抛物线z 2 4 y 的焦点为 F A B 是抛物线上的两动点 且 亦 A 商 A o 过A B 两点分 别作抛物线的切线 设其交点为P 1 证明茚 商为定值 沁r 羽B V 0 P 2 设 A B P 的面积为S 写出S A 的表达 式 并求S 的最小值 题2 2 0 0 5 年江西卷题2 2 设抛物线C y z 2 的焦点为 F 动点P 在直线z z y 一2 o 上 运动 过P 作c 的两条切线P A P B 且与抛物线c 分别相切于A B 两点 j 矽 A 黑 I 1 求 A P B 的重心G 的轨迹方程 2 证明么P F A 一么P F B 这是一类解析几何常见题 两题非常类似 笔者还 发现它们含有相同的高等数学背景 按射影几何观点 题中点P 与直线A B 称为圆锥曲线相应的极点与极线 两者蕴涵了圆锥曲线的内在特征 本文拟以极点与极 线的两个命题给出试题统一解法 并讨论该性质在中 学数学 中的现状及应用 1 关于极点与极线 1 1极点与极线的定义与作图 如图 P 为不在圆锥曲线 上的点 过点P 引两条割线依 次交圆锥曲线于四点E F G H 连接E H 硒交于N 连接 昭 F H 交于M 则M N 为点P 对应的极线 若P 为圆锥曲线 上的点 过点P 的切线即为极线 由上作图可知 同理P M 为点N 对应的极线 P N 为点M 对应的极线 M N P 称为自极三点形 若连接 M N 交圆锥曲线于A B 点 则P A P B 恰为圆锥曲线的 两条切线 事实上 这也给出了两切线交点P 对应的极 线的又一作法 如题1 2 图 1 2标准方程下圆锥曲线极点与相应极线的方 程与性质 下面以命题的形式给出圆锥曲线中极点与极线两 个结论 命题1椭圆与 告 1 则点P T y 对应的 n D 极线方程为 掣 掣一l 双曲线写一菩 1 则点P z y 对应的极线方 D 程为 等一掣一1 抛物线z 2 2 缈 则点P r 弘 对应的极线方程 为 T 丁一户 y y f o 若抛物线y 2 2 弦 则点P 勘 弘 对应的极线方 程为 I y 一 z T o O 命题2圆锥曲线中极线共点于P 则这些极线相 应的极点共线于点P 相应的极线 反之亦然 称为极点 与相应极线对偶性 如题1 图 A B 绕焦点F 转动 则A B 相应的极点P 共点于点F 的极线 上述证明可参考有关 高等几何 书 此处不再展 开 虽然中学数学中没有提到极点与极线 但事实上 它的身影随处可见 只是没有点破而已 下面利用上述两个命题 给出两考题统一简解以 及该命题在教材 竞赛等方面的应用 2 中学数学中极点与极线知识的现状与应用 2 1 教材内改名换姓 视 而不 见 事实上 由命题l 知 若取点P 为焦点 点P 相应的 极线恰为圆锥曲线的准线 如 椭圆 等一1 中点 P f o 对应的极线方程为 z 一生 焦点与准线是圆锥 曲线一章中的核心内容 它揭示了圆锥曲线的统一定 义 更是高考的必考知识点 正是因为它太常见了 反 而往往使我们 视 而不 见 例1 人教版第二册上第 9 页 过抛物线扩一2 弦的焦点的一条直线和此抛物线 万方数据 1 6 中学数学教学 2 0 0 6 年第6 期 相交 两个交点的纵坐标为y y z 求 证y l y 2 一一户2 作为课本一习题 2 0 0 1 年全国卷 1 9 题以此题为背景命题 利用此结论 可迅速证明该题 j n0 疑一 C 2 0 0 1 年全国卷理科1 9 题 设抛物线扩一 2 如 户 o 的焦点为F 过焦点F 的直线交抛物线于 A B 两点 点C 在抛物线的准线上 且历平行z 轴 证 明直线A C 过原点 下面利用命题1 2 给出例1 的证明 分析 设点F 号 A 券 y B 券 y z 由命题l 知 三点对应的极线方程分别是 z 一一要 M y 一 2 z 券 2 o i 一1 2 由A F B 三点共线及命题2 得知 相应的三极线共点 把z 一一要代入 即得y y 一一户2 评析此结论曾被广泛探讨应用 我们用命题1 2 证明了例1 事实上也给出了1 9 题的一种新的证法 2 2 高考中琵琶遮面 忽隐忽现 作为极点与极线的特例 焦点与准线是圆锥曲线 一章中的核心内容 也一直是高考的热点 如前述的题 1 题2 下面我们利用命题给出两试题新的统一简解 题1 1 分析设点P z 帅 A z y t B z 2 y z 由命题1 知 三点对应的极线方程分别是 y 一1 y 一等一y i 1 2 A F B 三点共线 由命题2 得相 应的三极线共点于P z 一1 代入极线方程得 f 苎导一 I 一一1 J两式相减得 l 竿一此一一1 垒L 二华 y 一了 i 一2L y l 一了2J 所以茚 蕊一T T 一z 一2 y 一y o 2 设A B 方程为 一1 乜r 逆用命题l 得A B 对 应的极点为 2 女 一1 把y 如 1 代入z 2 4 y 并由 弦长公式 得 IA Bl 4 1 女2 所以s A B P 一2 1 2 4 1 女2 显然 o 时 S 取最小值为4 题2 1 分析设点P z o 如 A z 1 y 1 B z 2 y z 逆用命题1 得直线z z j 一2 o 对应的极点坐 标为 丢 2 P 为直线z 上动点 则点P 对应的极线 A B 必过 专 2 点 设A B 的方程 一2 一女 丁一 逆用命题l 得 A B 对应的极点P 可设为 寺 睾一2 把A B 代入c y T 2 得 上l z 2 一 y 1 y 2 2 一 4 A P B 的 f z 一睾 重心G 的轨迹方程 z 一妻 2 消去6 即得 月 一 r I y 一 广 轨迹方程 y 一 4 2 2 一z 2 2 由 1 可设点P 睾 睾一2 A n z 2 B z z 丁z2 且还有z z z 一女 z z z 睾一2 苘一 m 砰一 茚一 半 z z 一 商一 m 一 所 s 么夕P 亍褊 睾 z 如一 群一 z z z 一T 瓦万乖芎厂一 雨 同理枷s 么盱P 一褊 睾 z z z z z 一 z z2 一 z z 一 百万可可一币丌 既以 A F P 一 P F B 这样我们得到题2 2 的一种简证 评析上述统一解法不仅简洁易懂 而且适用范 围很广 很多解析几何试题 尤其是共点共线问题 往 往都能起到事半功倍的效果 笔者屡试不爽 这里不再 一一列举 2 3竞赛中抛头露面 显山露水 作为更高要求的竞赛 有关极点与极线的试题更 是频频出现 而且越来越受到重视 例2 2 0 0 2 年澳大利亚国家数学竞赛 已知 A B C 为锐角三角形 以A B 为直径的 K 分别交A C B C 于P Q 分别过A 和Q 作 K 的两条切 线交于点尺 分别对B 和P 作 K 的两条切线交于点 万方数据 2 0 0 6 年第6 期中学数学教学 1 7 s 证明 点C 在线段R S 上 溅 C 入 s 乡幺 翊一 歹 0 旷 一 下面用命题1 2 把该题加强为椭圆 分析 设点C z S 1 R 一n y 2 由命 题1 得R 点对应的极线A Q 方程 l 掣 1 代入 椭圆方程解得点Q 紫 络 直线B Q 方 程 y 一一丝 z n 同理我们可以得到直线A P 方程 评析 显然该定直线即为点M 专 对应的 极线 车 导一1 以此为背景的试题深受命题者的青 睐 2 4 杂志上百家争鸣 方兴未艾 圆锥曲线中有关极点与相应极线的性质 一直是 各类杂志探讨的热点 文 2 文 3 所述的圆锥曲线性 质 都源于圆锥曲线中极点与相应极线 下面仅简述文 2 给出的椭圆的一个基础性定理 定理 线段P Q 是椭圆吾 等一1 拉 6 o 长 轴上定点M m o m o m 士口 的弦 S 丁是长轴 2 上的两个顶点 直线s P s Q 与直线z z 一生交于 A z 帅 B T B j j 两点 并且直线P Q 的斜率是存在 尸尝 z 川 删代入直线硒一y 一等 且不为瓢脯y h 一一鬈咖y e 一 一n 得到同一点c f 半 坐n 警n 1 所以三点共 y 2 十y ly 2 十y 1 线 评析原题的纯平几证明 难度较大嘲而用命题 1 2 证明 不仅思维简洁 而且此结论显然可推广到其 他圆锥曲线 证明同上 下面给出最新杂志上的两道试题 例3 中等数学 2 0 0 6 年第8 期第4 2 页 过椭圆轰 等一1 内一点M 3 2 作直线A B 与 椭圆交于点A B 作直线C D 与椭圆交于点C D 过A B 分别作椭圆的切线交于点P 过c D 分别作椭圆的切 线交于点Q 求P Q 连线所在的直线方程 评析 该题实质上就是求椭圆蠢 寺21 内一 点M 3 2 对应的极线方程 由命题l 我们立即可得答 为案 筹 等 1 例4 中学数学 2 0 0 6 年第7 期新题征展7 7 设椭圆方程为等 y 2 1 点M 专 专 过M 点 的动直线与椭圆相交于点A B 点A 上j 处的切线相交 于点N 求证 点N 的轨迹为一条定直线 评析由命题1 知 定理中定点M m o 直线z 2 z 一生即为极点与相应极线 从另一方面 该定理是例 f H 1 人教版第二册上第1 1 9 页 的推广形式 作者把它称 为一个基础性定理 是因为该定理可以证明很多圆锥 瞳线性质 事实上文 2 所述参考文献中的圆锥曲线性 质也都可以用命题1 2 证明 此