高中数学 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系课件 新人教A版必修2.ppt

第二章 点 直线 平面之间的位置关系 2 1空间点 直线 平面之间的位置关系 2 1 2空间中直线与直线之间的位置关系 自主预习学案 观察下图中的 aob与 a o b 这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系 1 异面直线 1 概念 不同在 平面内的两条直线叫做异面直线 归纳总结 对定义可作如下理解 不同在任何一个平面内的两条直线 是指不存在一个平面同时经过这两条直线 或者说找不到一个平面同时经过这两条直线 异面 的含义就是 不能共面 的意思 定义中 任何 是不可缺少的关键词 不能误解为 不同在某一平面内 任何一个 2 图示 如图 1 2 所示 为了表示异面直线不共面的特点 作图时 通常用一个或两个平面来衬托 2 空间两条直线的位置关系 1 相交直线 同一平面内 一个公共点 2 平行直线 同一平面内 公共点 3 异面直线 不同在任何一个平面内 没有公共点 有且只有 没有 3 公理4 平行 a c 传递性 4 等角定理 相等 互补 归纳总结 等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的 它是公理4的直接应用 并且当这两个角的两边方向分别相同或相反时 它们相等 否则它们互补 初中的一些结论在空间中仍然成立 如果两条平行线中的一条垂直于第三条直线 那么另一条也垂直于第三条直线 但是 初中有的结论在空间中不成立 如果两条直线都和第三条直线垂直 那么这两条直线平行 初中的结论在空间中成立的标准是已知条件能确定在同一个平面内 在空间中就成立 否则不成立 5 两条异面直线所成的角 夹角 1 定义 已知两条异面直线a b 经过空间任一点o作直线a a b b 我们把a 与b 所成的 或 叫做异面直线a与b所成的角 或夹角 归纳总结 在定义中 空间一点o是任取的 根据等角定理 可以断定异面直线所成的角与a b 所成的锐角 或直角 相等 而与点o的位置无关 异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量 是通过转化为相交直线所成的角来解决的 锐角 直角 2 异面直线所成的角 的范围 3 两条异面直线垂直 如果两条异面直线所成的角是 那么就说这两条直线互相垂直 两条互相垂直的异面直线a b 记作a b 归纳总结 两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直 0 90 直角 解析 如图所示 sb sc ab ac与sa均是相交直线 bc与sa既不相交 又不平行 是异面直线 c 解析 与 的两边对应平行 与 相等或互补 故 为60 或120 d d 解析 四边形abb a add a 均为长方形 aa bb aa dd 又四边形bcc b 为长方形 bb cc aa cc 故与aa 平行的棱共有3条 它们分别是bb cc dd 3 互动探究学案 命题方向1 空间两条直线位置关系的判定 a 解析 a与c可能相交 也可能异面 a与c可能相交 也可能平行 a与c可能异面 也可能平行 a与c可能不在一个平面内 故 均不正确 规律方法 判断空间中两条直线位置关系的诀窍 1 建立空间观念 全面考虑两条直线平行 相交和异面三种位置关系 特别关注异面直线 2 重视正方体等常见几何体模型的应用 会举例说明两条直线的位置关系 d 命题方向2 平行线的传递性 思路分析 平行四边形是平面图形 若能证得四边形的一组对边平行且相等 那么这个四边形就是平行四边形 命题方向3 等角定理的应用 规律方法 求证两直线平行 目前有两种途径 一是应用公理4 即找到第三条直线 证明这两条直线都与之平行 要充分用好平面几何知识 如有中点时用好中位线性质等 二是证明在同一平面内 这两条直线无公共点 求证角相等 一是用等角定理 二是用三角形全等或相似 对异面直线所成的角概念不清致误 错解 连接ae be 如图 所示 de bc bc cd bc cd 四边形bcde为正方形 ab bc ab bc 异面直线ab与cd成60 角 abe 60 abe是正三角形 ae ab bc de 又de ae ade是等腰直角三角形 ade 45 异面直线ad与bc所成角的度数为45 错因分析 对异面直线所成角的概念理解不准确 忽视了 如图 所示的情况 导致错误 警示 异面直线所成的角是两条相交直线所成的两对对顶角中较小的那一对对顶角 当由已知两条直线所成的角去推断两条相交直线所成的角时 依据等角定理两者可能相等或互补 所以我们应当考虑两种情况 转化与化归思想的应用 求异面直线所成的角 关键是通过平移直线 将异面直线所成角的问题化归为一个解三角形求内角的问题 通过解三角形求得结果 思路分析 1 pa bc移至同一个三角形中 2 找出pa和bc所成的角 规律方法 求异面直线所成的角的一般步骤为 1 找出 或作出 适合题设的角 用平移法 遇题设中有中点 常考虑中位线 若异面直线依附于某几何体 且直线对异面直线平移有困难时 可利用该几何体的特殊点 使异面直线转化为相交直线 2 证明 证明所作出的角等于要求的角 3 计算 转化为求一个三角形的内角 通过解三角形 求出所找的角 4 结论 设由 3 所求得的角的大小为 若0 90 则 为所求 若90 180 则180 为所求 解析 直线a b没有公共点时 a b可能平行 也可能异面 d 解析 如图所示 e f分别为bd cd的中点 ef bc 又 bc