中考数学 压轴题及答案40例.doc

2012中考数学压轴题及答案40例（8）32.已知：rtabc的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边ab与x轴重合（其中oaob），直角顶点c落在y轴正半轴上（如图1）（1）求线段oa、ob的长和经过点a、b、c的抛物线的关系式（2）如图2，点d的坐标为（2，0），点p（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m0，n0），连接dp交bc于点e当bde是等腰三角形时，直接写出此时点e的坐标又连接cd、cp（如图3），cdp是否有最大面积？若有，求出cdp的最大面积和此时点p的坐标；若没有，请说明理由解：（1）由题意知rtaocrtcob，oc 2oaoboa(aboa)，即22oa(5oa)oa 25oa40，oaob，oa1，ob42分a(1，0)，b(4，0)，c(0，2)可设所求抛物线的关系式为ya(x1)(x4)3分将点c(0，2)代入，得2a(01)(04)，a经过点a、b、c的抛物线的关系式为y(x1)(x4)4分即yx 2x2（2）e1(3，)，e2(，)，e3(，)7分关于点e的坐标求解过程如下（原题不作要求，本人添加，仅供参考）：设直线bc的解析式为ykxb则 解得直线bc的解析式为yx2点e在直线bc上，e(x，x2)若edeb，过点e作ehx轴于h，如图2，则dhdb1ohoddh213点e的横坐标为3，代入直线bc的解析式，得y32e1(3，)若dedb，则(x2)2(x2)222整理得5x 224x160，解得x14（舍去），x2y2，e2(，)若bebd，则(x4)2(x2)222整理得5x 224x160，解得x1（此时点p在第四象限，舍去），x2y()2，e3(，)cdp有最大面积8分过点d作x轴的垂线，交pc于点m，如图3设直线pc的解析式为ypxq，将c(0，2)，p(m，n)代入，得 解得直线pc的解析式为yx2，m(2，2)scdpscdmspdmxpymm(2)mn2m(m2m2)2m2m(m)2当m时，cdp有最大面积，最大面积为9分此时n()22此时点p的坐标为(，)10分33.如图，已知抛物线yx 24x3交x轴于a、b两点，交y轴于点c，抛物线的对称轴交x轴于点e，点b的坐标为(1，0)（1）求抛物线的对称轴及点a的坐标；（2）在平面直角坐标系xoy中是否存在点p，与a、b、c三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点p的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连结ca与抛物线的对称轴交于点d，在抛物线上是否存在点m，使得直线cm把四边形deoc分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线cm的解析式；若不存在，请说明理由解：（1）对称轴为直线x2，即x2；2分令y0，得x 24x30，解得x11，x23点b的坐标为(1，0)，点a的坐标为(3，0)4分（2）存在，点p的坐标为(2，3)，(2，3)和(4，3)7分（3）存在8分当x0时，yx 24x33，点c的坐标为(0，3)ao3，eo2，ae1，co3deco，aedaoc，即de19分deco，且deco，四边形deoc为梯形s梯形deoc(13)24设直线cm交x轴于点f，如图若直线cm把梯形deoc分成面积相等的两部分，则scof2即cofo23fo2，fo点f的坐标为(，0)10分直线cm经过点c(0，3)，设直线cm的解析式为ykx3把f(，0)代入，得k3011分k直线cm的解析式为yx312分34.在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板abc放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点a(0，2)，点c(1，0)，如图所示；抛物线yax 2ax2经过点b（1）求点b的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点p（点b除外），使acp仍然是以ac为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点p的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）过点b作bdx轴于dbcdaco90，acocao90bcdcao1分又bdccoa90，bccartbcdrtcao，2分bdco1，cdao23分点b的坐标为(3，1)；4分（2）把b(3，1)代入yax 2ax2，得19a3a2，解得a6分抛物线的解析式为yx 2x2；7分（3）存在8分延长bc至点p1，使cp1bc，则得到以点c为直角顶点的等腰直角三角形acp19分过点p1作p1mx轴cp1bc，p1cmbcd，p1mcbdc90rtp1cmrtbcd，10分cmcd2，p1mbd1，可求得点p1(1，1)；11分把x1代入yx 2x2，得y1点p1(1，1)在抛物线上12分过点a作ap2ac，且使ap2ac，则得到以点a为直角顶点的等腰直角三角形acp213分过点p2作p2ny轴，同理可证rtp2nartaoc14分p2nao2，anco1可求得点p2(2，1)15分把x2代入yx 2x2，得y1点p2(2，1)在抛物线上16分综上所述，在抛物线上还存在点p1(1，1)和p2(2，1)，使acp仍然是以ac为直角边的等腰直角三角形35.如图，在平面直角坐标中，二次函数图象的顶点坐标为c(4，)，且在x轴上截得的线段ab的长为6（1）求二次函数的解析式；（2）点p在y轴上，且使得pac的周长最小，求：点p的坐标；pac的周长和面积；（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点q，使得以q、a、b三点为顶点的三角形与abc相似？如果存在，求出点q的坐标；如果不存在，请说明理由解：（1）设二次函数的解析式为ya(x 4)2(a0)，且a(x1，0)，b(x2，0)ya(x 4)2ax 28ax16ax1x28，x1x216ab 2(x1x2)2(x1x2)24x1x2824(16)36，a二次函数的解析式为y(x 4)22分（2）如图1，作点a关于y轴的对称点a，连结ac交y轴于点p，连结pa，则点p为所求令y0，得(x 4)20，解得x11，x27a(1，0)，b(7，0)oa1，oa1设抛物线的对称轴与x轴交于点d，则ad3，ad5，dcaopadc，即，opp(0，)4分acacpac的周长papcacacac5分spacsaac saapaa(dcop)2()7分（3）存在8分tanbac，bac30同理，abc30，acb120，acbc若以ab为腰，baq1为顶角，使abq1cba，则aq1ab6，baq1120如图2，过点q1作q1hx轴于h，则q1haq1sin606，haaq1cos6063hohaoa312点q1的坐标为(2，)把x2代入y(x 4)2，得y(24)2点q1在抛物线上9分若以ba为腰，abq2为顶角，使abq2acb，由对称性可求得点q1的坐标为(10，)同样，点q2也在抛物线上10分若以ab为底，aq，bq为腰，点q在抛物线的对称轴上，不合题意，舍去11分综上所述，在x轴上方的抛物线上存在点q1(2，)和q2(10，)，使得以q、a、b三点为顶点的三角形与abc相似12分36.如图，抛物线yax 2bxc(a0)与x轴交于a(3，0)、b两点，与y轴相交于点c(0，)当x4和x2时，二次函数yax 2bxc(a0)的函数值y相等，连结ac、bc（1）求实数a，b，c的值；（2）若点m、n同时从b点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿ba、bc边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为t秒时，连结mn，将bmn沿mn翻折，b点恰好落在ac边上的p处，求t的值及点p的坐标；yoxcnbpma（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点q，使得以b，n，q为顶点的三角形与abc相似？若存在，请求出点q的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）由题意得 解得a，b，c3分（2）由（1）知yx 2x，令y0，得x 2x0解得x13，x21a(3，0)，b(1，0)又c(0，)，oa3，ob1，oc，ab4，bc2yoxcnbpma图1htanaco，aco60，cao30同理，可求得cbo60，bco30，acb90abc是直角三角形又bmbnt，bmn是等边三角形bnm60，pnm60，pnc60rtpncrtabc，由题意知pnbnt，ncbcbn2t，t4分ombmob1如图1，过点p作phx轴于h，则phpmsin60mhpmcos60ohommh1点p的坐标为(1，)6分（3）存在由（2）知abc是直角三角形，若bnq与abc相似，则bnq也是直角三角形二次函数yx 2x的图象的对称轴为x1点p在对称轴上pnx轴，pn对称轴又qnpn，pnbn，qnbnbnq不存在以点q为直角顶点的情形如图2，过点n作qn对称轴于q，连结bq，则bnq是以点n为直角顶点的直角三角形，且qnpn，mnq30pnq30，qntan60，当bnq以点n为直角顶点时，bnq与abc不相似7分如图3，延长nm交对称轴于点q，连结bq，则bmq120amp60，amqbmn60，pmq120bmqpmq，又pmbm，qmqmbmqpmq，bqmpqm30bnm60，qbn90cao30，acb90bnqabc8分当bnq以点b为直角顶点时，bnqabc设对称轴与x轴的交点为ddmqdmp60，dmdm，rtdmqrtdmpdqpd，点q与点p关于x轴对称点q的坐标为(1，)9分综合得，在抛物线的对称轴上存在点q(1，)，使得以b，n，q为顶点的三角形与abc相似10分37.如图，已知抛物线yax 2bx3（a0）与x轴交于点a(1，0)和点b(3，0)，与y轴交于点c（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点m，问在对称轴上是否存在点p，使cmp为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点p的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图，若点e为第二象限抛物线上一动点，连接be、ce，求四边形boce面积的最大值，并求此时e点的坐标解：（1）由题意得1分解得2分所求抛物线的解析式为yx 22x3；3分（2）存在符合条件的点p，其坐标为p(1，)或p(1，)或p(1，6)或p(1，)；7分（3）解法一：过点e作efx轴于点f，设e(m，m 22m3)（3 a 0）则efm 22m3，bfm3，ofm8分s四边形boce sbef s梯形focebfef (efoc)of(m3)(m 22m3)(m 22m6)(m)9分m 2m10分(m)2当m时，s四边形boce 最大，且最大值为11分此时y()22()3此时e点的坐标为(，)12分解法二：过点e作efx轴于点f，设e(x，y)（3 x 0）8分则s四边形boce sbef s梯形focebfef (efoc)of(3x) y(3y)(x)9分(yx)(x 23x3)10分(x)2当x时，s四边形boce 最大，且最大值为11分此时y()22()3此时e点的坐标为(，)12分38.如图，已知抛物线yax 2bxc与x轴交于a、b两点，与y轴交于点c其中点a在x轴的负半轴上，点c在y轴的负半轴上，线段oa、oc的长（oaoc）是方程x 25x40的两个根，且抛物线的对称轴是直线x1（1）求a、b、c三点的坐标；（2）求此抛物线的解析式；（3）若点d是线段ab上的一个动点（与点a、b不重合），过点d作debc交ac于点e，连结cd，设bd的长为m，cde的面积为s，求s与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围s是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时d点坐标；若不存在，请说明理由解：（1）oa、oc的长是方程x 25x40的两个根，oaocoa1，oc4点a在x轴的负半轴，点c在y轴的负半轴a（1，0），c（0，4）抛物线yax 2bxc的对称轴为x1由对称性可得b点坐标为（3，0）a、b、c三点的坐标分别是：a（1，0），b（3，0），c（0，4）3分（2）点c（0，4）在抛物线yax 2bxc图象上，c44分将a（1，0），b（3，0）代入yax 2bx4得 解得6分此抛物线的解析式为yx 2x47分（3）bdm，ad4m在rtboc中，bc 2ob 2oc 23 24 225，bc5debc，adeabc，即de过点e作efab于点f，则sinedfsincba，efde4m9分s scde sadc sade(4m)4(4m)(4m)m 22m(m2)22（0m4）10分0当m2时，s有最大值211分此时odobbd321此时d点坐标为（1，0）12分39.如图，抛物线ya(x3)(x1)与x轴相交于a、b两点（点a在点b右侧），过点a的直线交抛物线于另一点c，点c的坐标为(2，6)（1）求a的值及直线ac的函数关系式；（2）p是线段ac上一动点，过点p作y轴的平行线，交抛物线于点m，交x轴于点n求线段pm长度的最大值；在抛物线上是否存在这样的点m，使得cmp与apn相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点m的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由解：（1）由题意得6a(23)(21)，a21分抛物线的解析式为y2(x3)(x1)，即y2x 24x6令2(x3)(x1)0，得x13，x21点a在点b右侧，a(1，0)，b(3，0)设直线ac的函数关系式为ykxb，把a(1，0)、c(2，6)代入，得 解得直线ac的函数关系式为y2x23分（2）设p点的横坐标为m(2 m 1)，则p(m，2m2)，m(m，2m 24m6)4分pm2m 24m6(2m2)2m 22m42(m)2当m时，线段pm长度的最大值为6分存在m1(0，6)7分m2(，)9分点m的坐标的求解过程如下（原题不作要求，本人添加，仅供参考）)如图1，当m为直角顶点时，连结cm，则cmpm，cmpanp点c(2，6)，点m的纵坐标为6，代入y2x 24x6得2x 24x66，x2（舍去）或x0m1(0，6)（此时点m在y轴上，即抛物线与y轴的交点，此时直线mn与y轴重合，点n与原点o重合）)如图2，当c为直角顶点时，设m(m，2m 24m6)(2 m 1)过c作chmn于h，连结cm，设直线ac与y轴相交于点d则cmpnap又hmccmp，napoad，hmcoadc(2，6)，chm2，mh2m 24m662m 24m在y2x2中，令x0，得y2d(0，2)，od2整理得4m 29m20，解得m2（舍去）或m当m时，2m 24m6()24()6m2(，)如图，二次函数的图象经过点d(0，)，且顶点c的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段ab的长为6（1）求该二次函数的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上找一点p，使papd最小，求出点p的坐标；（3）在抛物线上是否存在点q，使qab与abc相似？如果存在，求出点q的坐标；如果不存在，请说明理由解：（1）设该二次函数的解析式为ya(xh)2k顶点c的横坐标为4，且过点d(0，)16ak 又对称轴为直线x4，图象在x轴上截得的线段ab的长为6a(1，0)，b(7，0)09ak 由解得a，k该二次函数的解析式为y(x4)2（2）点a、b关于直线x4对称，papbpapdpbpddb当点p在线段db上时，papd取得最小值db与对称轴的交点即为所求的点p，如图1设直线x4与x轴交于点mpmod，bpmbdo又pbmdbo，bpmbdo，即，pm点p的坐标为(4，)（3）由（1）知点c(4，)，又am3，在rtacm中，tanacm，acm60acbc，acb120如图2，当点q在x轴上方时，过q作qnx轴于n如果abbq，由abcabq，得bq6，abq120qbn60qn，bn3，on10此时点q的坐标为(10，)(104)2，点q在抛物线上如果abaq，由对称性知q(2，)，且也在抛物线上当点q在x轴下方时，qab就是acb此时点q的坐标为(4，)综上所述，在抛物线上存在点q，使qab与abc相似点q的坐标为(10，)或(2，)或(4，)41.已知，如图，抛物线yax 23axc（a0）与y轴交于c点，与x轴交于a、b两点，a点在b点左侧，点b的坐标为（1，0），oc3ob（1）求抛物线的解析式；（2）若点d是线段ac下方抛物线上的动点，求四边形abcd面积的最大值；（3）若点e在x轴上，点p在抛物线上，是否存在以a、c、e、p为顶点且以ac为一边的平行四边形？若存在，求点p的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）对称轴x1分又oc3ob3，a0c(0，3)2分方法一：把b(1，0)、c(0，3)代入yax 23axc得： 解得抛物线的解析式为yx 2x34分方法二：令ax 23axc0，则xaxb3b(1，0)，xa13，xa4a(4，0)可设抛物线的解析式为ya(x4)(x1)，把c(0，3)代入得3a(04)(01)，a抛物线的解析式为y(x4)(x1)即yx 2x34分（2）方法一：如图1，过点d作dnx轴，垂足为n，交线段ac于点ms四边形abcd sabc sacdabocdm(anon)(41)3dm42dm5分设直线ac的解析式为ykxb，把a(4，0)、c(0，3)代入得 解得直线ac的解析式为yx36分设d(x，x 2x3)，则m(x，x3)dmx3(x 2x3)(x2)237分当x2时，dm有最大值3此时四边形abcd面积有最大值，最大值为：238分方法二：如图2，过点d作dqy轴于q，过点c作cc1x轴交抛物线于c1设d(x，x 2x3)，则dqx，oqx 2x3从图象可判断当点d在cc1下方的抛物线上运动时，四边形abcd面积才有最大值则s四边形abcd sboc s梯形aoqd scdqoboc(aodq)oqdqcq13(4dq)oqdq(oq3)2oqdq5分2(x 2x3)xx 2