浅谈数形结合思想在初等数学中的应用.doc

浅谈数形结合思想在初等数学中的应用 数学与计算机科学学院 数学与应用数学105012009036 苏文澄【摘要】数形结合思想是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质.另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，本文主要是以具体的例子来说明数形结合在初等数学中的应用.【关键词】数形结合；函数图像；几何；集合；不等式一、 数形结合方法概说所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，由数思形、以形思数、数形结合考虑问题的一种思想方法.数学研究的是现实世界的数量关系和空间形式，只是为了方便，人们才分别将数量关系和空间形式从现实世界中单独抽取出来进行研究，因而形成了代数与几何.但是，现实世界本身是同时兼备数与形两种属性的，当数学发展到一定阶段时必然要将数形结合起来，充分地运用数形结合、数形转化的方法来解决各种数学问题，解析几何就是数形结合的典范.运用数形结合方法研究数学问题，对于沟通代数、三角与几何的联系，具有重要指导意义.理解并掌握数形结合方法，有助于增强学生的数学素养，提高分析问题和解决问题的能力.数形结合是培养和发展学生的空间观念和数感,进行形象思维与抽象思维的交叉运用,使多种思维互相促进,和谐发展的主要形式;数形结合教学又有助于培养学生灵活运用知识的能力. 从初中学习数轴开始，我们就建立起了有理数与数轴上点的对应关系.这可以算是数与形结合的开端.即而，学习实数之后，把这种对应转变为实数与数轴上点的一一对应.因而数形结合通常是与数轴、平面直角坐标系相联系的.新一轮课程改革中的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、和谐、持续的发展，它要求学生通过学习数学知识、技能和方法，逐渐形成自己的数学思想和方法，让学生学会用数学的眼光看待生活中的人和事物，学会用数学的方法解决生活中的实际问题.数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解， 且解法简捷.所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解 决数学问题的一种重要思想方法.数形结合思想通过“以形助数，以数解形” ，使复杂问题 简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数 学的规律性与灵活性的有机结合. 这种思想方法体现在解题中， 就是指在处理数学问题时， 能够将抽象的数学语言与直观 的几何图象有机结合起来思索， 促使抽象思维和形象思维的和谐复合， 通过对规范图形或示 意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决.二、数与形的内在联系数学的研究对象大致可以分为两类：一类是研究数量关系的；一类是研究空间形式的.整个数学，不论初等数学还是高等数学，都是以形和数作为研究对象的.数和形是数学的两个基本概念的提炼、演变、发展而逐步展开的.数和形的内在联系，不仅使几何学获得了有力的代数化工具，同时也使许多代数学的课题具有鲜明的直观性；而且往往因为借用了几何术语，或运用了与几何的类比，进一步开拓出新的研究方向.数形结合在数学发展中的重要意义，正如法国数学家拉格朗日在数学概要一书所说：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们应用就狭窄.但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力，从那以后，就以快速的步伐走向完善.”而我国著名的数学家华罗庚曾写过一首描写数形结合的诗：数形本是相倚依，焉能分作两边飞.数缺形时少直觉，形缺数时难入微.数形结合百般好，隔裂分家两不休.几何代数统一体，永远联系莫分离.所以说数与形是客观事物的不可分离的两个数学表象，它们各自有特定的含义，但它们之间又相互渗透，相辅相成，在一定条件下可以相互转化.三、数形结合思想方法在初等数学中的重要性“数形结合”作为数学中的一“数”与“形”作为数学中最古老最重要的两个方面，一直就是一对矛盾体.正如矛和盾总是同时存在一样，有“数”必有“形”，有“形”必有“数”.华罗庚先生曾说过：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”寥寥数语，把数形之妙说得淋漓尽致.数形结合这种重要思想，在高中数学中占有极其重要的地位.关于这一点，查查近年高考试卷，就可见一斑.在多年来的高考题中，数形结合应用广泛，大多是“以形助数”，比较常见的是在解方程和不等式、求函数的最值问题、求复数和三角函数等问题中，巧妙运用“数形结合”思想解题，可以化抽象为具体，效果事半功倍.如此重要的数学思想自然一直被作为重点贯穿于每位数学教师的教学中，笔者发现近年来关于“数形结合”的论文也是数不胜数，但其内容大多是一些可以用数形结合巧解的例题.笔者认为在讲解练习时强化“数形结合”固然是一种常用的有效的方法，但是也有缺点，就是学生是否能在老师提示之前自己想到“数形结合”的解法，如果不能，需要靠老师的提示完成，那么下次学生在碰到可以用“数形结合”巧解的题目时，是否还能想到要用“数形结合”来解.如果说需要强化多次才能使学生掌握这种方法的话，那么需要强化几次强化多久才算够？在课时安排非常紧张的高一阶段能否抽出大量时间去单独讲“数形结合”？如果学生在大量基础内容集中的高一阶段没有掌握好“数形结合”的话，是否会影响到后面的数学学习甚至高考？种种时间上的限制和教学策略上的缺憾使得“数形结合”这一重要数学思想即使只被当作一种解题方法都不容易实现，更别说把它提升到一定的理论高度去指导学生理解数学的结构.三、数形结合方法的具体应用纵观多年的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”.数形结合思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化解题过程.这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数思图，以开拓自己的思维视野.下面我通过具体的分类讨论加以说明.1集合问题中的数形结合集合初等数学中是比较重要的知识点，也是高考的必考题.而集合本身却是比较抽象，只要我们用图形来表示集合之间的关系，就可以化抽象的集合为具体的集合.在集合中，我们常用的图形有韦恩图和数轴等等，这些图形经常给我解题带来了很大的帮助，它具直观、易懂等特点.下面通过举几个具体的例子来说明数形结合在集合中的解题应用.例1 已知全集，集合，那么集合等于（ ）ABCD分析:明显，本题需要用数轴来解答.如果不用数轴的话，此题就会变的非常的抽象，很难解答.而运用数轴的话，问题明显简单化了.我们把集合在数轴上一一表示出来，他们之间额关系就一目了然了.解:在数轴上先画出,再画出集合,取其公共部分如图所示阴影部分就是集合,故选D答案:D反思:这就是数轴在集合中的魅力，它可在数轴上表示并进行集合的交、并、补的运算.下面再举个运用韦恩图的例子例2 某校高二年级参加市级数学竞赛，已知共有40个学生参加第二试（第二试共3道题），参赛情况如下： 40个学生每人都至少解出一道题 在没有解出第一道题的学生中，解出第二道题的人数是解出第三道题人数的2倍 仅解出第一道题的人数比余下的学生中解出第一道题的人数多1个 仅解出一道题的学生中有一半没有解出第一道题试问：（1）仅解出第二道题的学生有几个？（2）解出第一道题的学生有几个？分析：本题数量关系错综复杂，如果没有使用韦恩图解得话，你就会无从下手，因为这之中的数量关系确实太复杂了，眼花缭乱.而但若把“解出第一道题”、“解出第二道题” 和“解出第三道题”的学生分别看作一个集合，我们再用韦恩图就可以轻松解决问题.解： 设集合A=解出第一道题的学生数，集合B=解出第二道题的学生数，集合C=解出第三道题的学生数，则由韦恩图，可得解之得a=11，b=10，c=1，d+e+g=10所以仅解出第二道题的学生有10个，解出第一道题学生有21个.反思：在用公式card（AB）= card（A）+ card（B）- card（AB）计算元素的个数时，如能结合韦恩图，则能直观明了.此题说明了韦恩在集合中的重要性.2.利用函数的图象解答问题函数的话，是高中数学的重中之重，它贯穿了数学的每一部分，可以说数学是离不开函数.而在历年的高考中，函数也是必考的题目，关于函数的题目大多都是很抽象的，不容易直观看出来的，如果你没有跟图像结合起来研究它，你将是无从下手，由此说明数形结合思想在函数题目中的解题是至关重要的.下面举些例子来说明.例1 设，是二次函数，若的值域是，则的值域是（ ）A. B. C. D. 分析：本题为复合函数，相当于中的的值，结合函数的图象，可以求得的值域.解：作出函数的图象如图所示，由图知当时，函数的值域为，而为复合函数，相当于中的的值，所以的值域是，故选B.答案：B反思：本题中的复合函数要转化为原函数和的信息，结合函数的图象更为直观地找到它们之间的关系.而不必探究二次函数的解析式.例2 试判断三个数间的大小顺序分析：这三个数我们可以看成三个函数: 在时，所对应的函数值在同一坐标系内做出这三个函数的图像(图9)，从图像可以直观地看出当时，所对应的三个点的位置， 从而可得出结论：3.利用导函数图象解答问题如果我们已知了导函数的图像，就可以很容易根据图像来判断原函数的一些特点，如最值和单调性.若导函数的值为零，即图像经过x轴的那个点，则原函数在这一点的函数值就是它的最值；若导函数在某个区间的值大于零，则原函数在这个区间上就是单调递增，若导函数在某个区间的值小于零，相应这时原函数在这个区间上就是单调递减.下面用具体的例子加以说明.例1 函数的图象过原点，且它的导函数的图象是如图所示的一条直线，则的图象的顶点在（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限分析：由导函数的图象及求导公式，提炼出信息得到原函数的有关信息解答.解：它的导函数的图象是如图所示的一条直线，可知原函数为二次函数，设解析式为，由于函数的图象过原点，所以，为减函数，由的图象可知当时，函数的图象过原点，所以顶点在第一象限反思：要熟悉导函数与原函数之间的关系，对一次、二次函数关系及其图象的特点要很熟悉.4利用不等式表示的平面区域解答问题关于解答不等式表示的平面区域的问题，如果不用坐标图像，我们将很难解答出或者根本无法解答出这类题目.因此，这类的题目非得用数形结合的方法来做的.这类题目，我们首先画出不等式所表示的区域，然后在根据题目的具体的要求来求，常见的所求的问题是求目标函数的在这个区域的最值.例1 设二元一次不等式组所表示的平面区域为，使函数的图象过区域的的取值范围是（ ）ABCD分析：先画出不等式表示的平面区域，再画出对数函数的图象，借助图形解答.解： 区域是一个三角形区域，三个顶点的坐标是，结合图形检验可知当时，符合题目要求.反思：解决不等式表示的平面区域和函数问题都要用数形结合，做到一目了然.例2 某厂拟生产甲、乙两种试销产品，每件销售收入分别为3千元，2 千元.甲、乙两种产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台A、B上加工甲产品所需要的时间分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400和500，如何安排生产可使收入最大？解：设加工甲产品x件，加工乙产品y件目标函数， 线性约束条件为 作出可行域，如右图所示阴影部分把变形为平行直线系由图可知经过可行域上点时，截距当最大 解方程组 得（200，100）即当生产甲产品200件，乙产品100件时，可使收入最大，最大为80万. 反思：综上所述，数形结合的思想就是把问题的数量关系和空间形式结合起来考查的思想，根据解决问题的需要，给“数”的问题以直观图形的描述，揭示出问题的几何特征，变抽象为直观；给“形”的问题以数的度量，分析数据之间的关系，更能从本质上认识“形”的几何属性，简而言之“数形互相取长补短”.5解析几何问题常常数形结合我们都知道，解析几何的基本思想是用代数的方法研究几何问题.但是解析几何归根结底是研究解决几何问题的，因而又不能片面地强调用代数方法而忽略了几何图形本身的性质.在这里数形结合分析解决问题惟妙惟肖.圆是特殊图形，在初等几何平面我们学过许多有关圆的性质，如垂径定理，切线性质等，另外勾股定理，相似三角形性质、三角形中线、高线、角平分线性质，三角形性质，三角形内角和定理等等.在解决解析几何问题时，应充分利用平面几何性质，有时可大大减少计算量，使问题变得简单明了，避免复杂计算.例1 如图所示，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若F1，F2，P是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（ ）.A. B. C. D. 解：以为圆心以1为半径画圆，可知此圆与椭圆无交点，则12P中12（或21）为直角，如此求出点坐标即得yp=，故选.反思：本题以作图直观判断为突破口，直觉与逻辑推理互动，化解析几何问题为平面几何问题，化计算为判断，在理性的高度认识问题.例2 已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到轴的距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）ABCD分析: 点P到点的距离与点P到轴的距离之和取得最小值时, 点P到点的距离与点P到抛物线的准线的距离之和也取得最小值,这样就可以把点P到抛物线的准线的距离转为到焦点的距离求出.解: 点在抛物线的外部,要使点P到点的距离与点P到轴的距离之和取得最小值,根据抛物线的定义知,须使点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小,即三点共线时最小. 由斜率公式得,所以的方程为解方程组得,点,故选A反思:抛物线的定义是到焦点的距离等于到准线的距离,做题时常常用定义进行转化. 例3 已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）ABCD分析: 点P到点的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时, 点P到点的距离与点P到抛物线的准线的距离之和也取得最小值,这样就可以把点P到抛物线的焦点的距离转为到准线的距离求出.解: 点在抛物线的内部,要使点P到点的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值,根据抛物线的定义知,须使点P到点的距离与点P到抛物线准线距离之和取得最小,即时最小.则故选A.答案:A反思:抛物线的定义是到焦点的距离等于到准线的距离,做题时常常用定义进行转化.6.数形结合求解最值问题.所谓数形结合求解最值，一般是将一些抽象的解析式赋予几何意义，然后通过图形的属性及数量关系进行“数”与“形”的信息转换，把代数的问题等价性的用几何的方法来求解，使之求解更简单、快捷.例1 如果实数满足等式，那么的最大值是什么？解：设点在圆上，圆心为,半径等于.如图，则是点与原点连线的斜率.当与相切，且切点落在第一象限时，有最大值，即有最大值.因为 =， =，所以 =，所以 = =.例2 已知正实数，求的最小值分析：可以把整理为，即看作是坐标系中一动点到两点（0，2）和（2，1）的距离之和，于是本问题转化为求最短距离问题解：，令、A（0，2）和B（2，1），则作B点关于x轴的对称点，则y的最小值为例3 求函数的最小值分析：如图，设数轴上表示数1、2、3、x的点分别为A、B、C、P（P为动点），则表示P到A、B、C三点之间的距离之和，即容易看出：当且仅当点P和点B重合时，最小，所以7.求参数的值或参数的取值范围.这类题目一般是跟函数结合起来，通过观察函数的图像，来求出参数的值或者参数的取值范围.例1 为何值时，方程的两根在之内？ 分析：显然,我们可从已知方程联想到相应的二次函数的草图（图3），从图像上我们可以看出，要使抛物线与轴的两个交点在之间,必须满足条件:即从而可解得的取值范围为且例2 已知，求的取值范围.分析：此题直接求解较难，数形结合联想直线的截距.结合直线与圆的位置关系即可求.可看作斜率为-2，过半圆上点的直线在轴上的截距，由图可知：即四、数形结合思维总结数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程.这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题 与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想 -6- 分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代 数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、 合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范 围参