高中数学 第一章 导数及其应用 1.7 定积分的简单应用 1.7.1 定积分在几何中的应用课件 新人教A版选修22.ppt

1 7定积分的简单应用1 7 1定积分在几何中的应用 类型一不分割型图形面积的求解 典例1 1 用s表示图中阴影部分的面积 则s的值是 2 计算由曲线y x2与y2 x所围成图形的面积 解题指南 1 把阴影分成 a b 和 b c 两部分求解 2 为了确定出积分的上 下限 我们需要求出两条曲线的交点的横坐标 解析 1 选d 因为x a b 时 f x 0 x b c 时 f x 0 所以s 2 作出草图 所求面积为阴影部分的面积 解方程组得到交点横坐标为x 0及x 1 所以s s曲边梯形oabc s曲边梯形oabd 方法总结 1 利用定积分求平面图形面积的步骤 1 根据题意画出图形 2 借助图形确定出被积函数 求出交点坐标 确定积分的上 下限 3 把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和 4 计算定积分 写出答案 2 不分割型图形的面积计算 1 由一条曲线y f x 其中f x 0 与直线x a x b a b 以及x轴所围成的曲边梯形的面积 s f x dx 如图 1 2 由一条曲线y f x 其中f x 0 与直线x a x b a b 以及x轴所围成的曲边梯形的面积 如图 2 3 由两条曲线y f x y g x f x g x 与直线x a x b a b 所围成的曲边梯形的面积 如图 3 注意 1 2 两种情况可以统一为 3 只需g x 0或f x 0 巩固训练 已知二次函数y f x 的图象如图所示 求它与x轴所围成的图形的面积 解析 由题干图知 f x 1 x2 所以 补偿训练 计算 y 1 2 x 1及y x所围成的平面图形的面积 解析 将已知条件改写为x y以及x y 1 2 1 由图知所求面积为阴影部分的面积 解方程组得交点的纵坐标为y1 0及y2 3 因此 阴影部分面积 类型二分割型图形面积的求法 典例2 1 如图所示 正弦曲线y sinx 余弦曲线y cosx与两直线x 0 x 所围成的阴影部分的面积为 a 1b c 2d 2 2 2017 乐安高二检测 求由抛物线y x2 4x 3及其在点m 0 3 和n 3 0 处的两条切线所围成的图形的面积 解题指南 1 一般情况下 定积分f x dx的几何意义是介于x轴 曲线y f x 以及直线x a x b之间的曲边梯形面积的代数和 其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值 在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数 所以在用定积分求曲边梯形面积时 一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数 若是两 个函数之间的面积 直接求两函数差的定积分即可 上面函数为被减数 下面函数为减数 2 求出两切线的交点 把待求图形的面积分为两部分来求 解析 1 选d 由图形以及定积分的意义 得到所求阴影部分面积等价于 2 因为y 2x 4 所以过点 0 3 的切线斜率为4 过点 3 0 的切线斜率为 2 切线方程分别为y 4x 3 y 2x 6 由得两切线交点为 3 则所求图形的面积为s 4x 3 x2 4x 3 dx 2x 6 x2 4x 3 dx 延伸探究 1 本例 2 中求由抛物线y x2 4x 3与x轴围成的图形的面积 解析 由y x2 4x 3 0得x 1或x 3 所以所求的图形的面积为 2 本例 2 中连接mn 则直线mn与两条切线围成的三角形被抛物线y x2 4x 3分成的两部分的比为多少 解析 由本例 2 知 上半部分的面积为 可求得直线mn的方程为y x 3 所以抛物线与直线间的面积为所以上下两部分的面积比为 方法总结 两条曲线围成的平面图形的面积的解题思路和步骤 1 思路 在求平面图形的面积时 如果平面图形的曲边部分由两条不同的曲线构成 则应分两段分别求面积 然后相加 这时在相应的两段积分区间上分别用不同的被积函数 2 步骤 作出示意图 弄清相对位置关系 求交点坐标 确定图形范围 积分的上限 下限 写出平面图形的定积分表达式 运用微积分基本定理计算定积分 求出面积 补偿训练 求抛物线y2 2x与直线y 4 x围成的平面图形的面积 解析 由得交点为 2 2 8 4 所以 类型三定积分在几何中的综合应用 典例3 1 2015 福建高考 如图 点a的坐标为 1 0 点c的坐标为 2 4 函数f x x2 若在矩形abcd内随机取一点 则此点取自阴影部分的概率等于 2 2017 黄冈高二检测 已知二次函数f x ax2 bx c 直线l1 x 2 直线l2 y t2 8t 其中0 t 2 t为常数 若直线l1 l2 y轴与函数f x 的图象所围成的封闭图形 阴影部分 如图所示 求a b c的值 求阴影面积s关于t的函数s t 的解析式 解题指南 1 先求出矩形的面积 再用定积分求出阴影区域的面积 最后求出此点取自阴影部分的概率 2 根据二次函数过点 0 0 8 0 并且最大值为16 列方程组解a b c 根据题意确定被积函数 并求出交点坐标 再求出平面图形的面积 解析 1 s矩形abcd 1 4 4 所以此点取自阴影区域内的概率答案 2 由图形可知二次函数的图象过点 0 0 8 0 并且f x 的最大值为16 则 由得x2 8x t t 8 0 所以x1 t x2 8 t 因为0 t 2 所以直线l2与f x 的图象左边交点坐标为 t t2 8t 由定积分的几何意义知 方法总结 解决与曲边图形有关的综合问题的基本思路解决与曲边图形有关的综合问题 关键是要正确分析题意 先分清是求曲边图形面积 还是利用曲边图形面积解决其他问题 再正确作出图形 确定积分区间和被积函数 然后根据条件 建立等量关系或方程 进行求解 巩固训练 在曲线y x2 x 0 上的某一点a处作一切线 使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为 试求 切点a的坐标和过切点a的切线方程 解析 如图所示 设切点a x0 y0 由y 2x得过a点的切线方程为y y0 2x0 x x0 即y 2x0 x x02 令y 0 得x 即c 0 设由曲线和过a点的切线及x轴所围成图形的面积为s 则s s曲边 aob s abc s曲边 aob s abc 即所以x0 1 从而切点a为 1 1 切线方程为y 2x 1 补偿训练 2017 西安高二检测 如图所示 直线y kx分抛物线y x x2与x轴所围图形为面积相等的两部分 求k的值 解析 抛物线y x x2与x轴两交点的横坐标为x1 0 x2 1 所以 抛物线与x轴所围图形的面积又抛物线y x x2与y kx两交点的横坐标为x3 0