矩阵函数在控制理论中的应用.doc

矩阵函数在控制理论中的应用连续时间线性时不变系统状态观测器设计李学慧（学院：控制科学与工程 专业：检测技术与自动化装置 学号：2009010190）摘要在现代科学技术的众多领域中，自动控制技术起着越来越重要的作用。随着科技的发展，自动控制理论跨入了一个新的阶段现代控制理论。它主要研究具有高性能、高精度的多变量变参数系统的最优控制问题，而研究多变量系统的主要工具是矩阵理论。因此，矩阵理论及其矩阵函数理论在现代控制理论中有着广泛而重要的应用。现代控制理论设计反馈控制系统采用状态反馈.因此，可以说现代控制理论的基础是状态反馈问题。状态变量的选取和确定是至关重要的。设计位置控制系统时，通常选取负荷的位置作为状态、速度作为状态，因为负荷的位置容易测量，检测元件的造价较低。而对于测速系统来说，检测元件的成本是很高的。对于有些复杂系统，往往无法直接观测相应的状态。在控制对象的状态无法观测，或者观测状态所需的测量元件造价过高时，利用控制对象的输入和输出间接地推定相应的状态变量，称为状态观测器。预备知识一 定义：设有线性定常系统的状态是不能直接量测的，若存在另一个动态系统，满足如下条件：（1）以的输出和输入作为输入量；（2）的输出满足 为的状态，则称是的状态观测器。二 构造观测器的一般原则：（1）观测器必须以原受控系统的输出和输入作为输入。（2）为使观测器满足（1）式，则要求原受控系统是状态完全能观的，或其不能观部分是渐近稳定的。（3）观测器的输出应有足够快的逼近的的速度，因此要求应有足够的频带。（4）观测器应有较好的抗干扰性。（5）观测器的结构应尽可能简单，即的维数应尽可能低。三 观测器的结构形式 1 观测器的种类：全维观测器：观测器的维数等于受控系统的维数。 降维观测器：观测器的维数小于受控系统的维数。 2 观测器的结构形式 A 全维观测器的结构形式一般结构形式（1） 结构图： 重构系统是以原系统的可量测变量 u 和 y 为输入的一个 n 维线性定常系统。结构形式（2） 用表示真实状态和估计状态间的误差。所应满足的动态方程为：上式表明，不管初始误差为多大，只要使矩阵的特征值均具有负实部，那么一定可做到 即实现状态的渐进重构。结构图：B 降维观测器的结构形式 一般结构形式假定 其中为通过输出能直接测量得到状态。为不能直接测量得到状态。是中不能直接测量的状态的重构状态，其维数为（n-q）。结构图：四 全维状态观测器1 全维状态观测器进行任意极点配置的条件结论：n 维线性定常系统是能观测的，即若（A，C）为能观测，则必可采用全维观测器来重构其状态，并且必可通过选择增益阵L而任意配置（A-LC）的全部特征值。2 算法：给定被估计系统，设A，C为能观测，再对所要设计的全维观测器指定一组期望极点，则设计全维状态观测器的步骤为：第一步：导出对偶系统；第二步：利用极点配置算法，由矩阵对来确定使 的反馈增益阵K。第三步：取；第四步：计算，则所要设计的全维状态观测器为：而即为的估计状态。3 结构形式（2）的算法形式：待定系数矩阵F，G，H，T分别为实常阵。结论：对任意的，使系统（2）成为全维状态观测器的充分必要条件为：（1），T为非奇异；（2）;（3）的全部特征值均具有负实部。结论：设A和F不具有公共的特征值，则方程存在一个非奇异解T的必要条件是A，C为能观测和F，C为能控。对于单输出（q=1）情形，这个条件也是充分条件。算法：给定被估计系统A，B，C，其中A，B能控和A，C能观测，则全维观测器设计步骤为：第一步：选取矩阵F，使其全部特征值均具有负实部，且第二步：选取矩阵G，使F，G为能控。第三步：求解矩阵方程，定出其唯一解阵T。第四步：如果T为非奇异，计算，且所要设计的全维观测器就为： 而估计状态；若T为奇异，则需重新选取F或G。五 降维状态观测器的设计方法一：给定被估计系统A，B，C，已知rankC=q,且A，C为能观测，则其n-q维的降维观测器设计步骤如下：（1） 定义矩阵 其中R为常阵，且为非奇异，非唯一的任意的。又 显然有 （2） 对被估计系统，引入线性非奇异变换 令分别为和维分状态，故从而看出为系统的输出，故无需对其状态重构。无法测量，需进行状态重构。（3）的状态方程和输出方程定义：输入 输出 得规范形式：（4）对维子系统（3）构造全维状态观测器。为观测器形式为通过选取而任意配置的全部特征值，并将和的定义式代入上式得：引入消去项此式为以和为输入的维动态系统的重构状态为（5）， 相应地 于是系统状态的重构状态为：结构图：方法二：线性定常系统A，B，C，已知rankC=q ,A,C为能观测。现取(n-q) 维线性定常系统其中：待定系数矩阵F，G和H分别为实常阵。结论1：系统（4）可作为给定系统A，B，C的（n-q）维降维观测器的充分必要条件，是存在一个使 为非奇异的満秩阵，使成立的全部特征值，均具有负实部。并且，估计状态为 其中结论2：设A和F不具有公共特征值，则方程 TAFT = GC存在满秩解阵，使为非奇异的必要条件是A，C为能观测和F，G为能控。对于单输出(q=1)的情形，这个条件也是充分条件。算法：第一步：选取一个实常阵F，使F的全部特征值均具有负实部，且F和A没有公共的特征值。第二步：选取一个实常阵G，使得F，G为能控，即第三步：求出方程 TAFTGC唯一的解阵T。第四步：构成并判断矩阵的非奇异性。若P为非奇异，计算H=TB；若P为奇异，返回第一步或第二步，重复计算过程。第五步：组成降维状态观测器方程： 则估计状态 举例说明例 给定连续时间线性时不变系统：试求：(i)确定特征值为-3，-3，和-4的一个三维状态观测器；(ii)确定特征值为-3和-4的一个二维状态观测器。解：本题属于按配置期望特征值综合全维状态观测器和降维状态观测器的基本题。（i）构造特征值为-3，-3，和-4的三维状态观测器。对给定被观测系统已知 A= b= c=A= 则系统维数为n=3。C*A = C*A*A =则由 则 并根据能观测性秩判据，可知（A，c）完全能观测。从而，可构造特征值为-3，-3和-4的全维状态观测器。进而，基于状态反馈极点配置算法，导出完全能控则由 则 基此，得到从而，就可定出三维状态观测器被观测系统状态的重构状态为。（ii）构造特征值为-3和-4的二维状态观测器。对给定被观测系统，系统的维数为 可知能构建维数的降维状态观测器。而由前知，（A,c）完全能观测，可配置降维观测器特征值为-3和-4。进而，导出非奇异变换阵变换后系数矩阵变换后导出的降维被观测系统维数为2再按配置特征值为-3和-4确定矩阵。为此，基于状态反馈极点配置算法，导出完全能控基此，得到从而，就可定出二维状态观测器系统状态的重构状态为应用小结(1) 被称为空论的现代控制理论,随着计算机的发展,已经进入实际的应用阶段。提高系统的特性，特别是提高系统的稳定性。 (2) 通过对状态或状态函数进行重构从而使系统物理构成。现代控制理论的基础是状态反馈,同古典理论的输出反馈相比,更有利于实现高精度的控制系统。(3) 本文用到的