正态分布的常用解题方法.pdf

中学生数学 2 0 0 9 年 4 月上 第 3 6 7期 高中 国困园 常用解题方结 湖南省炎陵县第一中学 4 1 2 5 0 0 霍建 飞 张李军 一 利 用正态 曲线 的性质 正态分布在生产生活中应用广泛 近年来 在高 考 中不 断 出现 本 文 将 阐述 正 态 分 布 的常 用解题 方法 例 1 2 0 0 7全 国 1 I 在某 项 测 量 中 测 量 结 果 服 从 正 态分 布 N 1 0 若 在 O 1 内取值 的概率为 0 4 则 在 0 2 内取 值 的概 率为 解 因 为 服 从 正态 分 布 N 1 0 所 以 的正 态 曲 线 关 于 直 线 z一 1对 称 如 图 1 所 以 在 1 2 内取值的概率等 于 在 o 1 内取值的 一 一 D l 2 图 1 概率 所以 在 0 2 内取值的概率为 0 8 例 2 2 0 0 8湖 南 设 随机 变量 服 从正 态 分 布 N 2 9 若 P c 1 P 一c 1 则 c一 A 1 B 2 C 3 D 4 解 因 为 的 正 态 曲线关 于直 线 z一2 对 称 如 图 2 所 以 c 1与 C 一 1关 于 z一 2 对称 c 1 c 一 1 4 c 一2 选 B y L I 0 c 一1 2 c 1 图 2 点 拨 若 N 则其正态曲线关于直线 对称 利 用此对称性能解决取值 区间关 于 z 对称时 的区间上的概率及不同区间的概率相等问题 画 出 图形解题往往 快速准确 例 3 2 0 0 8 安徽 设 两个 正态 分布 N 1 d 1 0 和 N z a 2 O 的 密 度 函 数 图像 如 图 3所 一 示 则有 y 1 0 v 2 皤 r 6 o 4 1 0 2 1 0 0 5 O 0 5 1 0 图 3 A 1 2 1 2 B 1 a 2 C l 2 0 1 J 2 0 1 a 2 解 由正态 曲线 的性质 易 知选 A 点拨若 N 0 2 则 曲线关于直线 z 对称 当 一定时 曲线的形状 由 d确定 越大 曲线越 矮胖 表示总体的分布越分散 越小 曲线越 瘦高 表示总体 的分布越集中 二 利用 标准 正态 分布 的性质 例 3 2 0 0 7湖 南 设 随机变量 服从 标准 正 态分 布 N O 1 已知 一 1 9 6 0 0 2 5 则 尸 1 9 6 一 A 0 02 5 B 0 05 0 C 0 9 5 0 D 0 9 7 5 解P 1 1 9 6 P 一 1 9 6 1 9 6 一 1 9 6 一 一 1 9 6 一 1 2 一 1 9 6 一 0 9 5 O 例 4 如 图 4 是 正 态 分 布 N 0 1 的 正 态 曲线 图 下 面 四 个式 子 中 能 表 示 图 中阴影部 分 面积 的个数 为 y 一 a O 1一声 一口 一口 图 4 网址 Z X S S c h i n a j o u r n a 1 n e t a n 3 7 电 子 邮 箱 zxss chin ajourna1 n et cn 高 毫 固 饱 謦 寸 鲞 学 高 围 泡 豢 中学生数学 2 0 0 9年 4月上 第 3 6 7 期 高中 n 一 n 一 一n A 1 个 B 2个 q C 3 个 D 4个 解 阴影部分面积为 O 一 a 由于 o 一 故 正确 由 a 一1 一声 n 得 正确 取 与 的和的一半 得 故 选 C 点拨若 N O 1 则其正态曲线关于 Y 轴对称 且有 1 P z 一 z 2 x 一 1 一 3 P 口 6 一 6 一拳 口 4 O 一 三 利用正 态分布与非标准正态分布 的关系 例 5 2 0 0 7安 徽 以 z 表示 标 准 正 态 总体在区间 一c x z 内取值的概率 若随机变 量 服从正态分布 N z 则概率 P 1 z l 等于 A 一 一 B 1 一 一1 C D 2 声 解P 1 一 l 口 一 P I I P2 C P1 Pz D P1 P2 解P 1一P 一6 一 庐 一 一1 P2一P 8 一 1 一 声 詈 一 1 一 1 所 以 P 一P 选 A 点 拨 对于求 N 的有关 概率 问 题 常利 用 公 式 P z 一 x u D P a 一 1 一 声 x z 将 其 转 化 为 标 准 正 态 分 布 问题 四 利 用正态 分布 中的特征 参数 的意义 例 7如果 随机 变量 N 且 E 一 3 D 1 则 P 一1 1 等于 A 2 1 一1 B 4 一声 2 C 2 一 4 D 一 4 一 一 2 解对 于正 态 分 布 一E 一3 一D 一 1 是平均 数 或 期 望 d是标 准 差 故 P 一 1 1 一 1 3 一 一 1 3 一 4 一 2 选 B 例 8 如果随机变量 服从 N 3 2 叩 一 求椭机变量 叩服从何种正态分布 解 因为 N 3 2 所 以E 3 D 一2 一4 又 一 故E 一 E 一 号 雎 一 3 0 D 一 D 一 去 D 1 所 以 叼 服从 标准 正态分 布 点拨 1 若 N Z 则 E 一 D 一 2 若 N 口 则 叩 一口 6也服 从 正态分布 且 E 一n E b a u b D 一a 2 D n d 只要 利用 这个 椭机变 量 函数 的期 望 方 差公式求出 Er I D 7 即可判断 叩服从何种正态 分 布 五 利用特征 参数 与概率 密度 函数 的关 系 例 9 设有一正态总体 它的概率 密度曲 1 r 一 1 O 2 线是函数 的图像 厂 一 一 下 下 转第 3 9页 网址 Z X S S c h i n a j o u r n a 1 n e t c a 3 8 电 子 邮 箱 zx ss chinajourna1 net cn 誊学 中学生数学 2 0 0 9年 4月上 第 3 6 7 期 高中 例说数学在化学中的应用 浙 江省 湖州 市双林 中学 3 1 3 0 1 2 宋卫 成 数学 既是 一 门基 础性 学科 又是 一 门工具 性学科 它有着广泛的应用性 本文将结合实 例 分类归纳数学在 高中化学学科 中的一些应 用 以增强应用数学意识与学科综合意识 提 高应 用数学 解决 问题 的 能力 与 学 科综 合 能 力 旨在 抛砖 引玉 一 立体 几何 知识 在化 学 中的应用 在研究 物质 微 观 空 间结 构 时 经 常要 用 到 立体几 何有关 知识 例 1 甲烷 C H 的分 子 结 构 是 碳 原 子 位 于正 四面体 的 中 心 4个 氢 原 子 分 别 位 于 正 四 面体 的四个顶 点上 求 C H 间 的键 角 分 析 CH 的 分 子 结 构 是 正 四 面 体 如 图 1 设 点 A 在底 面BD E 上 的射 H 影 为 点 0 正 四 面 体 的 中 心 0 在 线 段 A 0上 点 0 为 正 三 角 形 B DE 的 中 D H 图 1 E H 心 由于其结构 的对称性 C H 间的键角相 等 图 1中 A OB即为所求 c H间的键角 解设 正 四面体 的边长 为 a 则B O 一 2 n 一 辱 在 R t ABO 1中 AO 一 一 n 令 AO z 贝 0 O 0 一 口 一 上接 第 3 8页 x E 一 4 C x 3 则这个正态总体 的平均数与 标 准差分别 是 A 1 0与 8 B 8与 1 0 C 1 0与 2 D 2与 1 0 在 R t AB O O 中 OB 0 0 B 即X 2 一 口 一z z a 解 得 一 a 在AAO B 中 由余 弦定 理得 C O S AOB 一 一 2X n n 一 1 一 一 故LAOB 1 8 0 一a r c c o s 1 0 9 2 8 即 C H 间 的键角 为 1 0 9 2 8 例 2 C 8 是一 种富勒烯烃 它 的分子结构 中 都 由正五边 形和 正六 边形 构成 的 封闭 的凸 多面 体 求其结构中正五边形和正六边形的个数 分析 由欧拉定理 V F E 2 顶点数 面数 一棱 数 一2 再 由凸 多 边形 每 个 顶 点 发 出 3条棱 每 相邻两个 面共一 条棱 分别得 到 C 棱 数建 立关 系式 解设 结 构 中 正 五 边 形 和正 六 边 形 的个 数分别为 z 个 由欧拉定 理 可列方 程 8 0 z 8 0 x昔一2 又 由凸多 边形 的棱 数列 出