高中数学 第二章 平面向量 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义课件 新人教A版必修4.ppt

2 4平面向量的数量积 2 4 1平面向量数量积的物理背景及其含义 一 二 三 四 一 平面向量数量积的定义 问题思考 1 如图 一个物体在力f的作用下产生的位移s 那么力f所做的功应当怎样计算 决定功大小的量有哪几个 力 位移及其夹角分别是矢量还是标量 功是矢量还是标量 提示 由物理知识容易得到w f s cos 决定功的大小的量有力 位移及其夹角 其中力 位移是矢量 功是标量 一 二 三 四 2 填空 1 两个非零向量的数量积 2 规定 零向量与任一向量的数量积为零 3 关于平面向量数量积的说明 1 是数量积的运算符号 既不能省略不写 也不能写成 2 数量积的结果为数量 不再是向量 3 向量数量积的正负由两个向量的夹角 决定 当 是锐角时 数量积为正 当 是钝角时 数量积为负 当 是直角时 数量积等于零 一 二 三 四 答案 1 2 2 8 一 二 三 四 二 平面向量数量积的几何意义 问题思考 1 向量运算中的加法 减法 数乘都有几何意义 数量积运算有没有几何意义 观察下列图形 如何表达ob1 它与数量积的关系是什么 提示 向量的数量积也有几何意义 题图中ob1 b cos a b a ob1 一 二 三 四 2 填空 1 投影的概念 向量b在a的方向上的投影为 b cos 向量a在b的方向上的投影为 a cos 2 数量积的几何意义 数量积a b等于a的长度 a 与b在a的方向上的投影 b cos 的乘积 3 关于投影的说明 1 向量a在向量b方向上的投影与向量b在向量a方向上的投影是不同的 一 二 三 四 4 做一做 1 若 a 3 b 4 a与b的夹角是120 则向量a在向量b方向上的投影等于 2 若a b 6 a 8 则向量b在向量a方向上的投影等于 一 二 三 四 三 平面向量数量积的运算律 问题思考 1 如果根据实数乘法的运算律 类比得出向量数量积的运算律 如下表 这些结果正确吗 提示 除结合律中的 a b c a b c 是错误的 其他都是正确的 一 二 三 四 2 填空 向量数量积的运算律 一 二 三 四 四 平面向量数量积的性质 问题思考 1 填空 向量数量积的性质设向量a与b都是非零向量 它们的夹角为 1 a b a b 0 一 二 三 四 答案 30 一 二 三 四 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 0 a 0a 2 若a b 0 则a与b至少有一个为零向量 3 若a b 0 则a与b的夹角为锐角 4 若a c b c c 0 则a b 5 对于任意向量a 都有a a a 2 答案 1 2 3 4 5 探究一 探究二 探究三 例1 已知 a 3 b 4 c 5 向量a b的夹角是120 a c的夹角是45 求 1 a b 2 a 2b 3a b 3 a a 4b c 分析根据向量数量积的定义和性质进行求解 探究一 探究二 探究三 反思感悟求向量数量积的一般步骤 1 运用数量积的运算律展开 化简 2 确定向量的模与夹角 3 套用数量积的定义式代入计算即得 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 例2 如图 已知正方形abcd的边长为2 e f分别为bc cd的中点 试求 分析对于 1 2 可根据图形求出各个向量的模及其夹角 然后套用数量积的定义求解 对于 3 可先对向量进行分解 转化为模 夹角已知的向量 再运用运算律展开求解 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 反思感悟在平面图形中求向量的数量积时 如果所给向量的模及其夹角不易或无法求出 应利用平面向量基本定理 选取一组基底 基向量的模和夹角已知 将所给向量用基底表示 然后根据数量积的运算律展开化简 最后代入求解 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 例3 1 已知向量a b满足 a b 5 且a与b的夹角为60 则 2a b 探究一 探究二 探究三 反思感悟根据数量积的定义a a a a cos0 a 2 得这是求向量的模的一种方法 即要求一个向量的模 先求这个向量与自身的数量积 一定非负 再求它的算术平方根 对于复杂的向量也是如此 例如 求 a b 可先求 a b 2 a b a b 再取其算术平方根即为 a b 探究一 探究二 探究三 变式训练3已知向量a b满足 a 2 b 3 a b 4 求 a b 解 因为 a b 4 所以 a b 2 42 所以a2 2a b b2 16 因为 a 2 b 3 所以a2 a 2 4 b2 b 2 9 代入 式得4 2a b 9 16 得2a b 3 又因为 a b 2 a2 2a b b2 4 3 9 10 探究一 探究二 探究三 例4 1 若非零向量a b满足 a b 且 2a b b 则a与b的夹角为 a 30 b 60 c 120 d 150 2 已知非零向量a b满足 a b a b 求a与a b的夹角及a与a b的夹角 分析 1 将已知条件展开变形后利用数量积的定义求解 2 可采用数形结合的方法构成平面图形求解 探究一 探究二 探究三 1 解析 因为 2a b b 所以2 a b b 0 所以2a b b 2 0 设a b的夹角为 则2 a b cos b 2 0 又 a b 所以2 b 2cos b 2 0 答案 c 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 反思感悟求平面向量夹角的方法 1 求向量的夹角 主要是利用公式求出夹角的余弦值 从而求得夹角 可以直接求出a b的值及 a b 的值 然后代入求解 也可以寻找 a b a b三者之间的关系 然后代入求解 2 求向量的夹角 还可结合向量线性运算 模的几何意义 利用数形结合的方法求解 探究一 探究二 探究三 本例 1 中 若非零向量a b的夹角为60 且 a b 当 a 2b ka b 时 求实数k的值 解 因为 a 2b ka b 所以 a 2b ka b 0 即k a 2 2k 1 a b 2 b 2 0 1 2 3 4 5 答案 b 1 2 3 4 5 答案 c 1 2 3 4 5 答案 b 1 2 3 4 5 4 若向量a与b的夹角为60 b 4 a 2b a 3b 72 则 a a 2b 4c 6d 12解析 因为 a 2b a 3b 72 所以a2 a b 6b2 72 即 a 2