全国中考数学压轴题分类解析汇编 专题5 定值问题.doc

2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编专题5：定值问题6. （2012湖北咸宁10分）如图1，矩形mnpq中，点e，f，g，h分别在np，pq，qm，mn上，若，则称四边形efgh为矩形mnpq的反射四边形图2，图3，图4中，四边形abcd为矩形，且ab=4，bc=8理解与作图：（1）在图2，图3中，点e，f分别在bc，cd边上，试利用正方形网格在图上作出矩形abcd的反射四边形efgh计算与猜想：（2）求图2，图3中反射四边形efgh的周长，并猜想矩形abcd的反射四边形的周长是否为定值？启发与证明：（3）如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长gf交bc的延长线于m，试利用小华同学给我们的启发证明（2）中的猜想【答案】解：（1）作图如下： （2）在图2中， ，四边形efgh的周长为。 在图3中，四边形efgh的周长为。猜想：矩形abcd的反射四边形的周长为定值。（3）延长gh交cb的延长线于点n，。又fc=fc，rtfcertfcm（asa）。ef=mf，ec=mc。同理：nh=eh，nb=eb。mn=2bc=16。，。gm=gn。过点g作gkbc于k，则。四边形efgh的周长为。矩形abcd的反射四边形的周长为定值。【考点】新定义，网格问题，作图（应用与设计作图），勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质。【分析】（1）根据网格结构，作出相等的角即可得到反射四边形。（2）图2中，利用勾股定理求出ef=fg=gh=he的长度，然后即可得到周长，图3中利用勾股定理求出ef=gh，fg=he的长度，然后求出周长，从而得到四边形efgh的周长是定值。（3）延长gh交cb的延长线于点n，再利用“asa”证明rtfce和rtfcm全等，根据全等三角形对应边相等可得ef=mf，ec=mc，同理求出nh=eh，nb=eb，从而得到mn=2bc，再证明gm=gn，过点g作gkbc于k，根据等腰三角形三线合一的性质求出，再利用勾股定理求出gm的长度，然后即可求出四边形efgh的周长。7. （2012福建泉州12分）已知：a、b、c不在同一直线上.（1）若点a、b、c均在半径为r的o上，i）如图一，当a=45时，r=1，求boc的度数和bc的长度； ii）如图二，当a为锐角时，求证sina= ；（2）.若定长线段bc的两个端点分别在man的两边am、an（b、c均与点a不重合）滑动，如图三，当man=60，bc=2时，分别作bpam，cpan，交点为点p ，试探索：在整个滑动过程中，p、a两点的距离是否保持不变？请说明理由. 【答案】解：（1）i）a=45， boc=90（同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半）。又r=1，由勾股定理可知bc=。 ii）证明：连接bo并延长，交圆于点e，连接ec。 可知ecbc（直径所对的圆周角为90）， 且e=a（同弧所对的圆周角相等）。 故sina=sina=。 （2）保持不变。理由如下：如图，连接ap，取ap的中点k，连接bk、ck，在rtapc中，ck=ap=ak=pk。同理得：bk=ak=pk。ck=bk=ak=pk。点a、b、p、c都在k上。由（1）ii）sina=可知sin60=。ap=（为定值）。【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，直角三角形中线性质。【分析】（1）i）根据圆周角定理得出boc=2a=90，再利用勾股定理得出bc的长；ii）作直径ce，则e=a，ce=2r，利用sina=sine= ，得出即可。（2）首先证明点a、b、p、c都在k上，再利用sina= ，得出ap= （定值）即可。8. （2012四川自贡12分）如图所示，在菱形abcd中，ab=4，bad=120，aef为正三角形，点e、f分别在菱形的边bccd上滑动，且e、f不与bcd重合（1）证明不论e、f在bccd上如何滑动，总有be=cf；（2）当点e、f在bccd上滑动时，分别探讨四边形aecf和cef的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值【答案】解：（1）证明：如图，连接ac四边形abcd为菱形，bad=120，bae+eac=60，fac+eac=60，bae=fac。bad=120，abf=60。abc和acd为等边三角形。acf=60，ac=ab。abe=afc。在abe和acf中，bae=fac，ab=ac，abe=afc，abeacf（asa）。be=cf。（2）四边形aecf的面积不变，cef的面积发生变化。理由如下：由（1）得abeacf，则sabe=sacf。s四边形aecf=saec+sacf=saec+sabe=sabc，是定值。作ahbc于h点，则bh=2，。由“垂线段最短”可知：当正三角形aef的边ae与bc垂直时，边ae最短故aef的面积会随着ae的变化而变化，且当ae最短时，正三角形aef的面积会最小，又scef=s四边形aecfsaef，则此时cef的面积就会最大scef=s四边形aecfsaef。cef的面积的最大值是。【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。【分析】（1）先求证ab=ac，进而求证abc、acd为等边三角形，得acf =60，ac=ab，从而求证abeacf，即可求得be=cf。（2）由abeacf可得sabe=sacf，故根据s四边形aecf=saec+sacf=saec+sabe=sabc即可得四边形aecf的面积是定值。当正三角形aef的边ae与bc垂直时，边ae最短aef的面积会随着ae的变化而变化，且当ae最短时，正三角形aef的面积会最小，根据scef=s四边形aecfsaef，则cef的面积就会最大。9. （2012四川成都12分） 如图，在平面直角坐标系xoy中，一次函数 (为常数)的图象与x轴交于点a(，0)，与y轴交于点c以直线x=1为对称轴的抛物线 (a，b，c为常数，且a0)经过a，c两点，并与x轴的正半轴交于点b （1）求的值及抛物线的函数表达式； （2）设e是y轴右侧抛物线上一点，过点e作直线ac的平行线交x轴于点f是否存在这样的点e，使得以a，c，e，f为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点e的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由； （3）若p是抛物线对称轴上使acp的周长取得最小值的点，过点p任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于两点，试探究是否为定值，并写出探究过程【答案】解：（1）经过点（3，0），解得。直线解析式为。令x=0，得。c（0，）。抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1，且与x轴交于a（3，0），另一交点为b（5，0）。设抛物线解析式为y=a（x+3）（x5），抛物线经过c（0，），=a3（5），解得。抛物线解析式为y= （x+3）（x5），即。（2）假设存在点e使得以a、c、e、f为顶点的四边形是平行四边形，则acef且ac=ef，如答图1。（i）当点e在点e位置时，过点e作egx轴于点g，acef，cao=efg。又coa=eof=900，ac=ef，caoefg（aas）。eg=co=，即ye=。，解得xe=2（xe=0与c点重合，舍去）。e（2，），sacef=。（ii）当点e在点e位置时，过点e作egx轴于点g，同理可求得e（），sacef=。（3）要使acp的周长最小，只需ap+cp最小即可。如答图2，连接bc交x=1于p点，因为点a、b关于x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时ap+cp最小（ap+cp最小值为线段bc的长度）。b（5，0），c（0，），直线bc解析式为。xp=1，yp=3，即p（1，3）。令经过点p（1，3）的直线为y=kx+3k，联立得x2+（4k2）x4k3=0，x1+x2=24k，x1x2=4k3。y1=kx1+3k，y2=kx2+3k，y1y2=k（x1x2）。根据勾股定理得：m1m2=，m1p=，m2p=。m1pm2p=m1pm2p=m1m2。=1为定值。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质，两点之间线段最短的性质，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理。【分析】（1）把点a的坐标代入即可求出的值。由抛物线的对称轴和点a的坐标可得抛物线与x轴另一交点b的坐标，从而设抛物线的交点式，