高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系课件 新人教A版选修41.ppt

本讲整合 第二讲直线与圆的位置关系 答案 圆心角 判定 性质 弦切角 相交弦 割线 切割线 切线长 专题一 与圆有关的角的计算与证明圆中的角有三类 圆心角 圆周角 弦切角 圆中有关角的计算和证明问题多与这三类角有关 因此圆心角定理 圆周角定理 弦切角定理是解决这类问题的知识基础 求解这类问题时 通常利用圆心角 圆周角 弦切角以及圆弧之间的关系来进行转化 求解中注意运用圆内接四边形的对角互补等性质 例1 如图 锐角三角形abc内接于 o abc 60 bac 40 作oe ab交劣弧于点e 连接ec 则 oec a 5 b 10 c 15 d 20 解析 如图 连接oc abc 60 bac 40 acb 80 答案 b 变式训练1如图 四边形abcd是 o的内接四边形 延长bc到e 若 bcd ecd 3 2 则 bod等于 a 120 b 136 c 144 d 150 解析 由 bcd ecd 3 2 得 ecd 72 由圆内接四边形的性质知 a dce 所以 a 72 故 bod 2 a 144 答案 c 例2 如图 d e分别是 abc的bc ac边上的点 且 adb aeb 求证 ced abc 分析 要证明 ced abc 容易想到圆内接四边形的性质 需证a b d e四点共圆 用圆内接四边形的判定定理不易找到条件 故采用分类讨论来解决 证明 作 abe的外接圆 则点d与外接圆有三种位置关系 点d在圆外 点d在圆内 点d在圆上 1 如果点d在圆外 设bd与圆交于点f 如图 连接af 则 afb aeb 而 aeb adb afb adb 这与 三角形的外角大于任一不相邻的内角 矛盾 故点d不能在圆外 2 如果点d在圆内 设圆与bd的延长线交于f 如图 连接af 则 afb aeb aeb adb afb adb 这也与 三角形的外角大于任一不相邻的内角 矛盾 故点d不可能在圆内 综上可得 点a b d e在同一圆上 ced abc 变式训练2如图 ab是圆o的直径 c d是圆o上位于ab异侧的两点 求证 ocb d 证明 因为b c是圆o上的两点 所以ob oc 故 ocb b 又因为c d是圆o上位于ab异侧的两点 所以 b d为同弧所对的两个圆周角 所以 b d 因此 ocb d 专题二 与圆有关的线段的计算与证明解决与圆有关的线段的计算与证明问题时 首先要考虑利用相交弦定理 割线定理 切割线定理 切线长定理等 由此获得成比例的线段或相等的线段 然后结合直角三角形中的射影定理 相似三角形的性质等进行等比例代换或等线段代换 从而证得结论 或者建立方程 组 求得未知线段 例3 如图 a b是两圆的交点 ac是小圆的直径 d和e分别是ca和cb的延长线与大圆的交点 已知ac 4 be 10 且cb ad 求de的长 分析 先由割线定理求出cb的长度 从而得出cd ce的长度 再证明 cde为直角三角形 利用勾股定理求得de的长度 解 设cb ad x 则由割线定理 得ca cd cb ce 即4 4 x x x 10 化简得x2 6x 16 0 解得x 2或x 8 舍去 从而cd 4 2 6 ce 2 10 12 连接ab 因为ca为小圆的直径 所以 cba 90 即 abe 90 则由圆的内接四边形对角互补 得 d 90 即 cde是直角三角形 则cd2 de2 ce2 所以62 de2 122 解得de 反思感悟在圆中解决计算问题时 要注意将相交弦定理 割线定理 切割线定理 切线长定理与射影定理 勾股定理 相似三角形等知识结合起来综合求解 变式训练3如图 at切 o于t 若at 6 ae 3 ad 4 de 2 则bc等于 a 3b 4c 6d 8解析 at为 o的切线 at2 ad ac 又at 6 ad 4 ac 9 ade b ead cab ead cab 答案 c 例4 如图 ep交圆于e c两点 pd切圆于d g为ce上一点 且pg pd 连接dg并延长交圆于点a 作弦ab ep 垂足为f 1 求证 ab为圆的直径 2 若ac bd 求证 ab ed 分析 对于 1 可利用弦切角与圆周角的关系及等腰三角形的底角相等证 bda 90 对于 2 应先证明 bda acb 再证明 dce 90 即可 证明 1 因为pd pg 所以 pdg pgd 又pd为切线 所以 pda dba 因为 pgd ega 所以 dba ega 所以 dba bad ega bad 从而 bda pfa 因为af ep 所以 pfa 90 于是 bda 90 故ab是圆的直径 2 连接bc dc 因为ab是直径 所以 bda acb 90 在rt bda与rt acb中 ab ba ac bd 从而rt bda rt acb 于是 dab cba 又因为 dcb dab 所以 dcb cba 故dc ab 因为ab ep 所以dc ep dce为直角 于是ed为直径 因为ab和ed都是圆的直径 所以ed ab 反思感悟本题 1 充分借助对顶角相等 弦切角与圆周角的转化及等腰三角形两底角的关系 实现了角的关系传递 在证明此类问题时 要充分挖掘题设条件所含有的信息 实现题设条件同结论的合理转化 另外证明线段相等的方法较多 而本例巧借第 2 问的结论 实现问题转化 从而把 线段相等问题 转化为 dce 90 的问题 变式训练4如图 点a为圆外一点 过点a作圆的两条切线 切点分别为b c ade是圆的割线 连接cd bd be ce 1 求证 be cd bd ce 2 延长cd交ab于点f 若ce ab 证明 f为线段ab的中点 证明 1 由题意可知 acd aec cad eac 考点1 圆周角问题1 课标全国 高考 如图 o中的中点为p 弦pc pd分别交ab于e f两点 1 若 pfb 2 pcd 求 pcd的大小 2 若ec的垂直平分线与fd的垂直平分线交于点g 证明og cd 解 1 连接pb bc 则 bfd pba bpd pcd pcb bcd 所以 pba pcb 又 bpd bcd 所以 bfd pcd 又 pfb bfd 180 pfb 2 pcd 所以3 pcd 180 因此 pcd 60 2 因为 pcd bfd 所以 efd pcd 180 由此知c d f e四点共圆 其圆心既在ce的垂直平分线上 又在df的垂直平分线上 故g就是过c d f e四点的圆的圆心 所以g在cd的垂直平分线上 又o也在cd的垂直平分线上 因此og cd 2 课标全国 高考 如图 直线ab为圆的切线 切点为b 点c在圆上 abc的角平分线be交圆于点e db垂直be交圆于点d 1 证明 db dc 2 设圆的半径为1 延长ce交ab于点f 求 bcf外接圆的半径 1 证明 连接de 交bc于点g 由弦切角定理 得 abe bce 而 abe cbe 故 cbe bce be ce 又因为db be 所以de为直径 dce 90 由勾股定理可得db dc 2 解 由 1 知 cde bde db dc 考点2 圆内接四边形问题3 湖南高考 如图 在 o中 相交于点e的两弦ab cd的中点分别是m n 直线mo与直线cd相交于点f 证明 1 men nom 180 2 fe fn fm fo 证明 1 如图 因为m n分别是弦ab cd的中点 所以om ab on cd 即 ome 90 eno 90 因此 ome eno 180 又四边形的内角和等于360 故 men nom 180 2 由 1 知 o m e n四点共圆 故由割线定理即得fe fn fm fo 4 课标全国 高考 如图 oab是等腰三角形 aob 120 以o为圆心 oa为半径作圆 1 证明 直线ab与 o相切 2 点c d在 o上 且a b c d四点共圆 证明 ab cd 解 1 设e是ab的中点 连接oe 因为oa ob aob 120 所以oe ab aoe 60 在rt aoe中 oe ao 即o到直线ab的距离等于 o半径 所以直线ab与 o相切 2 因为oa 2od 所以o不是a b c d四点所在圆的圆心 设o 是a b c d四点所在圆的圆心 作直线oo 由已知得o在线段ab的垂直平分线上 又o 在线段ab的垂直平分线上 所以oo ab 同理可证 oo cd 所以ab cd 考点3 切割线问题5 天津高考 如图 ab是圆的直径 弦cd与ab相交于点e be 2ae 2 bd ed 则线段ce的长为 6 重庆高考 如图 圆o的弦ab cd相交于点e 过点a作圆o的切线与dc的延长线交于点p 若pa 6 ae 9 pc 3 ce ed 2 1 则be 解析 因为pa是圆的切线 所以pa2 pc pd 答案 2 考点4 切线问题8 广东高考 如图 已知ab是圆o的直径 ab 4 ec是圆o的切线 切点为c bc 1 过圆心o作bc的平行线 分别交ec和ac于点d和点p 则od 答案 8 9 重庆高考 如图 在 abc中 c 90 a 60 ab 20 过c作 abc的外接圆的切线cd bd cd bd与外接圆交于点e 则de的长为 答案 5 10 课标全国 高考 如图 ab是 o的直径 ac是 o的切线 bc交 o于点e 1 若d为ac的中点 证明 de是 o的切线 2 若oa ce 求 acb的大小 解 1 连接ae 由已知得 ae bc ac ab 在rt aec中 由已知得 de dc 故 dec dce 连接oe 则 obe oeb 又 acb abc 9