第06章 刚体的平面运动N.pdf

NCEPU 第第6章 刚体的平面运动章 刚体的平面运动 6 1 刚体平面运动的简化与分解刚体平面运动的简化与分解 6 2 平面图形上各点的速度平面图形上各点的速度 6 3 平面图形上各点的加速度平面图形上各点的加速度 6 4 运动学综合应用运动学综合应用 NCEPU 2009 11 2理论力学2 在运动过程中 刚体内任一点至某一固定平面的距 离始终保持不变 在运动过程中 刚体内任一点至某一固定平面的距 离始终保持不变 作直线行驶的汽车作直线行驶的汽车 一 平面运动的概念一 平面运动的概念 6 1 刚体平面运动的简化与分解刚体平面运动的简化与分解 NCEPU 2009 11 2理论力学3 刚体内的各个点都在平行于这固定平面内的某一平 面内运动 刚体内的各个点都在平行于这固定平面内的某一平 面内运动 6 1 刚体平面运动的简化与分解 一 平面运动的概念 刚体平面运动的简化与分解 一 平面运动的概念 NCEPU 2009 11 2理论力学4 结 论 刚体的平面运动可以简 化为平面图形 结 论 刚体的平面运动可以简 化为平面图形S在其自 身平面的运动 在其自 身平面的运动 6 1 刚体平面运动的简化与分解 二 平面运动的简化 刚体平面运动的简化与分解 二 平面运动的简化 NCEPU 2009 11 2理论力学5 S y x AA AA xxt yyt t 刚体的平面运动方程 A点 基点 6 1 刚体平面运动的简化与分解刚体平面运动的简化与分解 A B xA yA 三 平面运动的方程三 平面运动的方程 NCEPU 2009 11 2理论力学6 A如果平面图形上 固定不动 则刚体作定轴转动 如果平面图形上 角不变 则刚体作平动 分解 刚体的平面运动平动定轴转动 即 平面图形即 平面图形S的运动可以分解为 随着基点的 的运动可以分解为 随着基点的平动平动 绕基点的绕基点的转动转动 6 1 刚体平面运动的简化与分解刚体平面运动的简化与分解 S y x A B xA yA 四 刚体平面运动分解为平动和转动四 刚体平面运动分解为平动和转动 NCEPU 2009 11 2理论力学7 A B 1 A 1 B 1 B 1 A 11 AABB 一般来说 平面运动分解为 平动和转动 基 点的选取可以是 任意的 平面运动分解为 平动和转动 基 点的选取可以是 任意的 平面图形平动的速度与加速度与基点的选择有关 平面图 形的角速度 平面图形平动的速度与加速度与基点的选择有关 平面图 形的角速度 或角加速度或角加速度 与基点的选择无关 与基点的选择无关 其平动的速度和加速度也不一样 A图形绕 点的角速度为 0 lim t d tdt B图形绕 点的角速度为 0 lim t d tdt 6 1 刚体平面运动的简化与分解 平面运动分解 刚体平面运动的简化与分解 平面运动分解 NCEPU 2009 11 2理论力学8 A B Av v 已知平面图形在某瞬时的角速度为 图形上 点的速度为求平面图形上 任一点的速度 一 基点法一 基点法 A v 6 2 平面图形上内各点的速度平面图形上内各点的速度 NCEPU 2009 11 2理论力学9 平动平动 动系运动 定轴转动定轴转动 相对运动 刚体平面运动刚体平面运动 绝对运动 BA vAB BAAB vv 注意 BABA vvv 牵连速度相对速度 平面图形内任一点的速度 等于基点的速度与该点绕基 点转动速度的矢量和 平面图形内任一点的速度 等于基点的速度与该点绕基 点转动速度的矢量和 A V A V A V BA V BA V B V A V 一 基点法一 基点法 动系与基点固定 并随基点平动 动系与基点固定 并随基点平动 NCEPU 2009 11 2理论力学10 BA V B V A V 基点法 基点法 一个一个刚体上的刚体上的相对运动相对运动问 题 点的合成运动 问 题 点的合成运动 两个两个有有相对运动相对运动刚体的问题 动点 刚体的问题 动点A 滑块滑块 和动系和动系 EF 有相 对运动 有相 对运动 r V e V a V 6 2 平面图形上内各点的速度 基点法与点的合成运动的比较 平面图形上内各点的速度 基点法与点的合成运动的比较 NCEPU 2009 11 2理论力学11 sin B BDE v 在中 由正弦定理 OArABl B AB 曲柄滑块机构 曲柄长为 连杆长为 曲柄以匀角 速度转动 求当曲柄与水平线的夹角为 滑块 的速度 和连杆的角速度 O A B C 90 90 90 A v BA v A B O 1 AB 分析运动 选取研究对象 以连杆作为研究对象 2 A选取基点 以 点为基点 3 作速度平行四边形 求解 未知量 BABA vvv D E sin 90 A v sinsin cossin 90 sincostg BAA A vvv v A vr sin 90 BA v 例例例例1 1 解 B v A v NCEPU 2009 11 2理论力学12 90 90 90 A v A v BA v B v A B O D E C tg AC BC 又 222 cos 1 sin sin B r vr lr 方向沿水平滑槽 指向随角 而变化 在图示瞬时 指向左 ABBAAB ABvAB 设连杆的角速度为由 cos cos BAA AB vv ABl 得 222 sin cos lrCB ABl 又 222 cos sin BA r lr BA v转向与的指向一致 222 sin sin r lr 例例例例1 1 sincostg BA vv sinsin 90sin 90 BABA vvv NCEPU 2009 11 2理论力学13 B VAB 将投影在线上 有 结论 当刚体作平面运动时 其上任意两点的速 度在这两点连线上的投影相等 结论 当刚体作平面运动时 其上任意两点的速 度在这两点连线上的投影相等 不仅适用于刚体平面运动 也适用于刚体 的任何运动形式 不仅适用于刚体平面运动 也适用于刚体 的任何运动形式 AAB v A AB v AABBAAB vv BAB v 0 BA v B v A v A v 6 2 平面图形上内各点的速度 二 速度投影定理 平面图形上内各点的速度 二 速度投影定理 NCEPU 2009 11 2理论力学14 A v AP A v A v PA v PAPA vvv B v C v 三 速度瞬心法三 速度瞬心法 把刚体上某瞬时速度为零的点称为平面图形在该瞬时的速度瞬心 A B C vAP vBP vCP A B C vAP vBP vCP 0 PAPA A A A vvv vAP v v 6 2 平面图形上内各点的速度平面图形上内各点的速度 P A P A v B C A v AA P NCEPU 2009 11 2理论力学15 三 速度瞬心法 瞬心的求法 三 速度瞬心法 瞬心的求法 1 当平面图形沿某固定面作纯滚动时 图形上与固定面的 接触点即为图形的瞬心 当平面图形沿某固定面作纯滚动时 图形上与固定面的 接触点即为图形的瞬心 6 2 平面图形上内各点的速度平面图形上内各点的速度 P NCEPU 2009 11 2理论力学16 三 速度瞬心法 瞬心的求法 三 速度瞬心法 瞬心的求法 2 已知图形上任两点已知图形上任两点A B的瞬时速度方向 且二速度互不 平行时 则可过 的瞬时速度方向 且二速度互不 平行时 则可过A B两点作速度的垂线 其交点为图形 的瞬心 两点作速度的垂线 其交点为图形 的瞬心 A V B V 6 2 平面图形上内各点的速度平面图形上内各点的速度 瞬心P B A NCEPU 2009 11 2理论力学17 三 速度瞬心法 瞬心的求法 三 速度瞬心法 瞬心的求法 3 已知某瞬时图形上任二点已知某瞬时图形上任二点A B的速度平行且速度方向 垂直于 的速度平行且速度方向 垂直于AB两点的连线时 两速度矢端连线与两点的连线时 两速度矢端连线与AB的交点 为速度瞬心 的交点 为速度瞬心 A V B V 6 2 平面图形上内各点的速度平面图形上内各点的速度 P A B NCEPU 2009 11 2理论力学18 A V B V A B 三 速度瞬心法 瞬心的求法 三 速度瞬心法 瞬心的求法 4 已知某瞬时图形上任二点速度矢量相等 则速度瞬心在 无穷远处 图形作瞬时平动 已知某瞬时图形上任二点速度矢量相等 则速度瞬心在 无穷远处 图形作瞬时平动 6 2 平面图形上内各点的速度平面图形上内各点的速度 NCEPU 2009 11 2理论力学19 OAOAB DOABCROA EF 图示机构中 曲柄以匀角速度 绕 轴转动 通过连杆带动 齿轮 在水平固定齿条上作往复运动 已知求处 于铅直位置时齿轮上 和 两点的速度 解 运动分析 OA ABD 曲柄作定轴转动 连杆 和齿轮 都作平面运动 AB连杆作瞬时平动 BA vv OA R D C 齿轮 作纯滚动 点 是其瞬心 B D vR BCR 2 ED vCER 2 FD vCFR 方向如图 C A v F v E v B v D 例例例例2 2 NCEPU 2009 11 2理论力学20 6 3 3 6090 OArO ABr BCrC 图示机构中 曲柄长 以匀角速度 绕 轴转动 已知 求当 时 滑块 的速度 解 运动分析 AO ABBC 杆作定轴转动 杆和杆作平面运动 PAB点为杆瞬心 A vr ABC 点速度方向如图 33 A AB vr rAP 其转向为逆时针 3 63 23 BAB vBPrr 0 60 A B C O A v B v C v P 例例例例4 4 NCEPU 2009 11 2理论力学21 0 60 A B C O A v B v C v P QQBC点为杆瞬心 3 66 3 B BC vr BQr 3 9 62 CBC vCQ rr 例例例例4 4 NCEPU 2009 11 2理论力学22 S S A A B B 作平面运动的平面图形作平面运动的平面图形S A点为基点 运动可分解为 点为基点 运动可分解为 牵连运动 随基点的平动 相对运动 绕基点的转动 牵连运动 随基点的平动 相对运动 绕基点的转动 相对加速度分解为法向和切向 相对加速度 相对加速度分解为法向和切向 相对加速度 2n BABA aABaAB 22 24 n BABABA aaa AB n BA a BA a 6 3 平面图形上各点的加速度平面图形上各点的加速度 BABA aaa B a A a BA a A a aer aaa 由加速度合成定理 得 由加速度合成定理 得B点的加速度点的加速度 2 arctanarctan BA n BA a a NCEPU 2009 11 2理论力学23 注 意 注 意 1 注意选取恰当坐标轴投影后 再求解 注意选取恰当坐标轴投影后 再求解 2 加速度瞬心存在 但一般不 与速度瞬心重合 加速度瞬心存在 但一般不 与速度瞬心重合 3 加速度没有投影定理 加速度没有投影定理 4 由于加速度瞬心寻找很困 难 求解中只用 由于加速度瞬心寻找很困 难 求解中只用基点法基点法 6 3 平面图形上各点的加速度平面图形上各点的加速度 n BABABA aaaa S S A A B B n BA a BA a B a A a BA a A a NCEPU 2009 11 2理论力学24 解 只滚不滑 速度瞬心解 只滚不滑 速度瞬心C点 点 例例例例5 5 半径为半径为半径为半径为R R的轮子在水平面上纯滚 已知某瞬时的轮子在水平面上纯滚 已知某瞬时的轮子在水平面上纯滚 已知某瞬时的轮子在水平面上纯滚 已知某瞬时 轮心的速度为轮心的速度为轮心的速度为轮心的速度为v v O O 加速度为加速度为加速度为加速度为a a O O 求轮上速度瞬心的求轮上速度瞬心的求轮上速度瞬心的求轮上速度瞬心的 加速度和加速度和加速度和加速度和B B点的加速度 点的加速度 点的加速度 点的加速度 a aO O v v O O O O B B 设轮的角速度为设轮的角速度为 角加速 度为 角加速 度为 R vO 1 O dvd dtR dt 点 点O 作直线运动作直线运动 O a R 由于由于 C B两点的加速度方向未知 所以 假设加速度为 两点的加速度方向未知 所以 假设加速度为x和和y向两个分量 向两个分量 C a a CyCy a a ByBy a a BxBx a a CxCx NCEPU 2009 11 2理论力学25 1 求C点的加速度 以O点为基点 n CCxCyOCOCO aaaaaa 向 x 和 y 轴投影 2 2 0 CxOCOO nO CyCO aaaaR v aaR R B B a aO O v v O O O O a a CxCx a a CyCy C n CO a CO a 例例例例5 5 2 O C v a R R aO R vO NCEPU 2009 11 2理论力学26 2 求B点的加速度 以O点为基点 向 x 和 y 轴投影 2 nO BxOBOO ByBOO v aaaa R aaRa 22 2 O BOO v aaa R a aO O v v O O O O B B C a a ByBy a a BxBx 例例例例5 5 BO a n BO a n BBxByOBOBO aaaaaa R aO R vO NCEPU 2009 11 2理论力学27 cm s 242 20 2 220 O O ABB v v BCv v v O O a aO O O O A A B B 解 轮和AB杆皆作平面运动 1 求速度和角速度 C为轮的速度瞬心 C 为AB杆的速度瞬心 rad s 2 3 r vO O rad s 4 9 2 r aO O OOOA vrACv22 rad s 5 23 20 2 O A AB v AC v C C C C O O O O v v A A v v B B 例例例例6 6长度为长度为长度为长度为20cm20cm的的的的ABAB杆 杆 杆 杆 A A端铰接在半径端铰接在半径端铰接在半径端铰接在半径r r 8cm 8cm的圆盘边的圆盘边的圆盘边的圆盘边 缘 圆盘沿直线无滑动滚动 图示瞬时 缘 圆盘沿直线无滑动滚动 图示瞬时 缘 圆盘沿直线无滑动滚动 图示瞬时 缘 圆盘沿直线无滑动滚动 图示瞬时 45 45 圆盘中心 圆盘中心 圆盘中心 圆盘中心 的速度的速度的速度的速度v v O O 12cm s 12cm s 加速度加速度加速度加速度a a O O 18cm s 18cm s 2 2 求杆端点求杆端点求杆端点求杆端点