12第十二讲 函数的最值及其函数的应用.doc

第十二讲 函数的最值及其函数的应用一、知识概要综合脉络1、求函数值域（最值）的一般方法：1) 利用基本初等函数的值域；2) 配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）；3) 不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如型函数）4) 函数的单调性：特别关注的图象及性质5) 部分分式法、判别式法（分式函数）6) 换元法（无理函数）7) 导数法（高次函数）8) 反函数法9) 数形结合法2、解答数学应用题的关键有两点： 一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题； 二是要合理的选取参变数，设定变元后就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，处理相应的函数、方程、不等式等数学模型；最终求解数学模型使实际问题得到解决。 一般的解题程序是：读题 建模 求解 反馈（文字语言） （数学语言） （数学应用） （检验作答）3、与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题。解答这类问题的关键是确切建立相应的函数解析式，然后应用函数、方程和不等式的有关知识加以综合解答。4、在解决函数综合问题时，要进行等价转化、分类讨论、数形结合思想的综合运用5复合函数的性质复合函数y=fg(x)是由函数u=g(x)和y=f(u)构成的，因变量y通过中间变量u与自变量x建立起函数关系，函数u=g(x)的值域是y=f(u)定义域的子集复合函数的性质由构成它的函数性质所决定，具备如下规律：(1)单调性规律如果函数u=g(x)在区间m，n上是单调函数，且函数y=f(u)在区间g(m)，g(n) (或g(n)，g(m)上也是单调函数，那么若u=g(x)，y=f(u)增减性相同，则复合函数y=fg(x)为增函数；若u=g(x)，y= f(u)增减性不同，则y=fg(x)为减函数(2)奇偶性规律若函数g(x)，f(x)，fg(x)的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=fg(x)是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= fg(x)是偶函数二、题型展示例.若实数x、y满足等式，那么的最大值是（）例2.函数的最小值为（） 例.（2003北京春， 21）某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？例（200北京春，）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：。（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到千辆/小时）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车站的平均速度应在什么范围内？例. （年北京卷）对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2（x1x2），有如下结论： f(x1x2)=f(x1)f(x2)； f(x1x2)=f(x1)+f(x2)0；.当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是 .例6 设函数f(x)的定义域为R，对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x0时f(x)0且f(3)=4 (1)求证 f(x)为奇函数；(2)在区间9，9上，求f(x)的最值 三、题型训练1.（天津卷）设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f (x)的图象关于直线对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_.2.（江西卷）若函数是奇函数，则a= .3.下面四个结论：偶函数的图象一定与y轴相交；奇函数的图象一定通过原点；偶函数的图象关于y轴对称；既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(xR)，其中正确命题的个数是 （ ）A1 B2 C3 D44.（2002全国文，20）设函数f（x）=x2+|x2|1，xR.（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）求函数f（x）的最小值.5（2004年春季高考北京卷，19）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元。（I）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（II）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数的表达式；（III）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润实际出厂单价成本）6已知函数(1) 求函数的反函数；(2) 若时, 不等式恒成立, 试求实数的范围7 某工厂拟建一座平面图(如下图)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖) (1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(米)的函数关系式，并指出其定义域 (2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价8. 已知的最大值是0, 最小值是求的值.四、真题演练1（2006年辽宁卷）设则_2（2006年北京卷）已知是（-，+）上的增函数，那么a的取值范围是（ ）（A）(1，+)（B）(-,3) (C) (D)(1,3)3（2006年重庆卷）已知定义域为的函数是奇函数。（）求的值；（）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；附:(参考答案)题型展示: 例例 例（1）88辆车.（2）当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.例(1) 千辆/时.(2) 例 例 (1）略(2）f(x)在区间9，9上的最大值为12，最小值为12题型训练: 1 0 2. 3. A 4.（1）f（x）既不是奇函数，也不是偶函数（2）函数f（x）在（，+）内的最小值为.5.（I）当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元。（II）（III）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利