高考数学 考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例.doc

考点11 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1.（2012山东高考文科10）与（2012山东高考理科9）相同函数的图象大致为（ ）【解题指南】本题可利用函数的奇偶性，及函数零点的个数，取点验证法可得.【解析】选d.由知为奇函数，当时，y0，随着x的变大，分母逐渐变大，整个函数值越来越接近y轴，只有d选项满足.2.（2012新课标全国高考理科t10）已知函数f(x)= ,则y=f(x)的图象大致为（ ）【解题指南】令，通过对单调性与最值的考查，判断出在不同的区间段f(x)的函数值的正负，最后利用排除法得正确选项。【解析】选b. 得：或均有，排除3.（2012辽宁高考文科8）函数的单调递减区间为（a）（1,1 （b）（0,1 （c.）1，+） （d）（0，+）【解题指南】保证函数有意义的前提下，利用解得单调减区间【解析】选b. 由，又函数的定义域为故单调减区间为.4.（2012陕西高考文科9）设函数=+，则（ ）(a) x=为的极大值点 (b) x=为的极小值点 (c) x=2为的极大值点 (d) x=2为的极小值点【解题指南】先根据导数等于0求出极值点，再根据导数的正、负判断函数的单调性，判断极值点是极大值点还是极小值点.【解析】选d. =+，令，即，解得，当时，当时，所以x=2为的极小值点.5.（2012福建高考文科12）已知，且现给出如下结论：；其中正确结论的序号是（ ）abcd【解题指南】首先要构画函数的草图，因此，要求导，分析单调性，然后分别求出，再判断各命题的真假【解析】选c.f(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),函数在(-,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减,在(3,+)上单调递增,又因为f(a)=f(b)=f(c)=0,所以a(-,1),b(1,3),c(3,+),f(1)=4-abc,f(3)=-abc,f(0)=-abc.又因为f(b)=b3-6b2+9b-abc=b(b2-6b+9)-abc=b(b-3)2-ac=0,所以ac为正数,所以a为正数,则有f(0)0,f(3)0,所以正确.6.（2012江西高考理科10）如右图，已知正四棱锥s-abcd所有棱长都为1,点e是侧棱sc上一动点，过点e垂直于sc的截面将正四棱锥分成上、下两部分.记,截面下面部分的体积为，则函数的图象大致为（ ） a b c d【解题指南】分与两种情况讨论，当时，将截面上面部分的几何体分割为两个锥体，用间接法求出截面下面部分的体积v（x）,然后通过v（x）的解析式得到图象，当时，同理可得。【解析】选a . 当时，截面为五边形，如图所示由面qepmn，且几何体为正四棱锥，棱长均为1,易推出，四边形oeqn和oepm均为全等的直角梯形，此时求导可知在上为减函数，且当时，截面为等腰三角形，如图所示：此时易知在上亦为减函数，且，根据三次函数的图象特征可知选项a符合.7.（2012辽宁高考理科12）若，则下列不等式恒成立的是（ ）(a) (b) (c) (d)【解题指南】构造函数，利用导数判断函数的单调性。【解析】选c. 令，则（x0），故为定义域上的增函数，.所以.8.（2012山东高考文科12）设函数，.若的图象与的图象有且仅有两个不同的公共点，则下列判断正确的是（ ）(a)(b)(c)(d)【解题指南】本题利用导数来求解单调性.【解析】选b.设，则方程与同解，故其有且仅有两个不同零点.由得或.这样，必须且只须或，因为，故必有由此得.不妨设，则.所以，比较系数得，故.，由此知，故答案为b.9.（2012山东高考理科12）设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是（ ）a.当时，b. 当时，c. 当时，d. 当时，【解题指南】本题利用导数来求解单调性.【解析】选b.令，则，设，。令，则，要使y=f(x)的图象与y=g(x)图象有且仅有两个不同的公共点只需，整理得，于是可取来研究，当时，解得，此时，此时；当时，解得，此时，此时.答案应选b。另解：令可得。设不妨设，结合图形可知，当时如右图，此时，即，此时，即；同理可由图形经过推理可得当时.答案应选b。二、解答题10. （2012山东高考理科22）已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行.（）求的值；（）求的单调区间；（）设,其中为的导函数.证明：对任意.【解题指南】（1）由曲线在点处的切线与轴平行可知即可求出k的值.（2）可由（1）的结论求解判断单调区间.（3）构造函数法求解不等式问题.【解析】() 由得由曲线在点处的切线与轴平行可知，解得：.（），令可得，当时，；当时，。于是在区间内为增函数；在内为减函数。（），因此，对任意，等价于.令，则，因此，当单调递增；当单调递减.所以的最大值为，故设.因为，所以时，单调递增，故时，即所以.因此，对任意.11.（2012山东高考文科22）已知函数为常数，e=2.71828是自然对数的底数)，曲线在点处的切线与x轴平行.()求k的值；()求的单调区间；()设，其中为的导函数.证明：对任意.【解题指南】（1）由曲线在点处的切线与轴平行可知即可求出k的值.（2）可由（1）的结论求解判断单调区间.（3）构造函数法求解的最值.【解析】 (i)，由已知，.(ii)由(i)知，.设，则，即在上是减函数，由知，当时，从而，当时，从而.综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是.(iii)由(ii)可知，当时，01+，故只需证明在时成立.当时，1，且，.设，则，当时，当时，所以当时，取得最大值.所以.综上，对任意，.12.（2012江西高考理科21）若函数h(x)满足（1）h(0)=1，h(1)=0；（2）对任意，有h(h(a)=a；（3）在（0,1）上单调递减.则称h(x)为补函数。已知函数（1）判断函数h(x)是否为补函数，并证明你的结论；（2）若存在，使得h(m)=m，称m是函数h(x)的中介元，记时，h(x)的中介元为xn，且，若对任意的，都有sn0时，(xk) f(x)+x+10，求k的最大值【解题指南】（1）先确定函数的定义域，然后求导函数，因不确定的正负，故应讨论，结合的正负分别得出在每一种情况下的正负，从而确立单调区间；（2）分离参数，将不含有参数的式子看作一个新函数，将求的最大值转化为求的最值问题。【解析】(1) 的定义域为,.若,则,所以在单调递增.若,则当时, ;当时, 0,所以, 在单调递减,在单调递增.(ii)由于,所以.故当时, 等价于 令，则.由（i）知，函数在单调递增.而，所以在存在唯一的零点.故在存在唯一的零点.设此零点为，则.当时，；当时，.所以在的最小值为.又由，可得，所以.由于式等价于，故整数的最大值为2.16.（2012安徽高考理科19）设 （i）求在内的最小值；（ii）设曲线在点处的切线方程为；求的值。【解题指南】（1）设；则根据导数的符号判断函数的单调性，求出函数的最小值；（2）曲线在点的切线方程为，则，解出的值.【解析】（i）设；则 当时，在上是增函数 得：当时，的最小值为 当时， 当且仅当时，的最小值为（ii） 由题意得：17.（2012安徽高考文科17）设定义在（0，+）上的函数（）求的最小值；（）若曲线在点处的切线方程为，求的值。【解题指南】（1）根据导数的符号判断函数的单调性，求出函数的最小值；（2）曲线在点的切线方程为，则，解出的值.【解析】（i） 当且仅当时，的最小值为 （ii）由题意得： 由得：18.（2012辽宁高考理科t21）设，曲线与直线在(0，0)点相切。 (1)求的值。 (2)证明：当时，。【解题指南】(1)点在曲线上，则点的坐标满足曲线方程；同时据导数的几何意义可以建立另一个方程，求出a,b;(2) 构造函数，利用导数研究单调性，借助函数单调性证明不等式【解析】（1）由得图象过点（0，0）得b=0；由在点（0，0）的切线斜率，则（2）证明：当时，令，则令，则当时，因此在（0,2）内是递减函数，又则时，所以时，即在（0,2）内是递减函数，由，则时，故时，19.（2012辽宁高考文科t21）设，证明： ()当x1时， （ ） ()当时，【解题指南】构造函数，利用导数研究单调性，借助函数单调性证明不等式【解析】（1）记，则当时，所以在上为减函数，则当时，所以，即（2）记，则由（1）得当时，则因此函数在（1,3）内单调递减，所以时，即20.（2012陕西高考理科21）（本小题满分14分）设函数（）设，证明：在区间内存在唯一零点；（）设，若对任意，有，求的取值范围；（）在（）的条件下，设是在内的零点，判断数列的增减性.【解题指南】（1）根据零点存在的条件和函数的单调性进行判断；（2）需要进行分类讨论，等价转化等，然后变形整理根据函数的单调性求解；（3）通过转化，可得关系。【解析】（）当，时，.，在内存在零点.又当时，在上是单调递增的，在内存在唯一零点.（） 当时，对任意都有等价于在上的最大值与最小值之差，据此分类讨论如下：（）当，即时，与题设矛盾；（）当，即时，恒成立；（）当，即时，恒成立.综上可知，的取值范围是.注：（）与（）也可合并证明如下：用表示中的较大者.当，即时，恒成立.（）（证法一） 设是在内的唯一零点（），则，于是有，又由（）知在上是递增的，故.所以，数列的是递增数列.证法二 设是在内的唯一零点，则的零点在内，故.所以，数列的是递增数列.21.（2012陕西高考数学文科21）（本小题满分14分） 设函数（1）设，证明：在区间内存在唯一零点；（2）设n为偶数，求b+3c的最小值和最大值；（3）设，若对任意，有，求的取值范围.【解题指南】（1）根据零点存在的条件和函数的单调性进行判断；（2）把两个绝对值不等式列出表达式，然后转化为线性规划问题；或对不等式进行变形整理，直接整理出结果；（3）需要进行分类讨论、等价转化等，然后变形整理根据函数的单调性求解.【解析】（）当，时，.，在内存在零点.又当时，在上是单调递增的，在内存在唯一零点.（）（方法一），又，所以，以为横坐标，为纵坐标画出可行域，如图所示，观察可行域可知，在点取到最小值，在点取到最大值0，的最小值为，最大值为0.（方法二）由题意可得，即， ，即， 2+得：,当时，；当时，所以的最小值为，最大值为0.（方法三）由题意知，解得，所以又，当时，；当时，.所以的最小值为，最大值为0. （）当时，对任意都有等价于在上的最大值与最小值之差，据此分类讨论如下：（）当，即时，与题设矛盾；（）当，即时，恒成立；（）当，即时，恒成立.综上可知，的取值范围是.注：（）与（）也可合并证明如下：用表示中的较大者.当，即时，恒成立.22.（2012浙江高考理科22）（本题满分14分）已知0,br，函数f(x)=4x3-2bx-a+b。（）证明：当0x1时，（1）函数f(x)的最大值为（2）；（）若对x恒成立，求的取值范围。【解题指南】本题是用导数的方法研究函数的性质，求最值时需分类讨论求解，要注意分类标准的确定，同时求的取值范围时需化为线性规划问题解决。【解析】（）（1）当时，在上为增函数 =当时，若，即时，在上为减函数 =若，即时，在上为减函数，在上为增函数而，当时， =当时， =（2）由于，故当时，|2ab|a=当时，|2ab|a=设，则于是010+减极小值增所以，所以，当时，即|2ab|a0在0x1上恒成立()由()知：函数在0x1上的最大值为|2ab|a，且函数在0x1上的最小值比(|2ab|a)要大11对x0，1恒成立，即和，目标函数为zab作图如下：由图易得：当目标函数为zab过p(1，2)时，有；过(，)时，有所求ab的取值范围是23.（2012浙江高考文科21）（本题满分15分）已知ar，函数.（1）求f(x)的单调区间（2）证明：当0x1时，f(x)+ 0.【解题指南】考查导数研究函数性质的方法,求函数的单调区时要注意分类讨论，而不等式证明可转化为不等式恒成立问题。【解析】（1）当时，在（-，+）为增函数当时， 令，得令，得所以在上单增，在上单减，在上单增综上，当时， 为增函数；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间。 （2）由（1）可得当时，在为增函数，=当时，因为在上单增，在上单减，在上单增若，即时，在为减函数，=f(x)+ 若，即时，在在上单减，在上单增，=当时， f(x)+ 令，则，则0在为增函数，当时， f(x)+ 综上，当0x1时，f(x)+ 0.24.（2012北京高考理科18）已知函数f（x）=ax2+1（a0）,g(x)=x3+bx(1) 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；(2) 当a2=4b时，求函数f(x)+g(x)的单调区间，并求其在区间（-，-1上的最大值，【解题指南】第（1）问，交点即在上也在上，在公切点处导数相等；第（2）问，构造函数，再利用导数求单调区间与最大值。【解析】（1），由已知可得，解得。（2），令，得，由得，；由得，。单调递增区间是；单调递减区间为。，当，即时，在上为增函数，当，即时，在上增，在上减，所以在处取得唯一极大值也是最大值；当，即时，在上增，在上减，在上增，且，。综上，当时，f(x)+g(x)的最大值为；当时，f(x)+g(x)的最大值为1。25.（2012北京高考文科18）已知函数f(x)=ax2+1(a0),g(x)=x3+bx.（i） 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求,a,b的值；（ii） 当a=3,b=-9时，若函数f(x)+g(x)在区间k,2上的最大值为28，求k的取值范围。【解题指南】第（1）问，交点即在上也在上，在公切点处导数相等；第（2）问，构造函数，然后利用导数研究函数的单调性与极值，结合h(x)的图象，即可求出k的取值范围。【解析】（1），由已知可得，解得。（2），令，得-31+0-0+增28减-5增当时，取极大值38；当时，取极小值-5。而，如果在区间k,2上的最大值为28，则。26.（2012湖南高考理科22）已知函数f（x）=eax-x，其中a0。（1） 若对一切xr，f（x）1恒成立，求a的取值集合。（2）在函数f(x)的图象上取定两点a（，f(x)），b（，f(x)（），记直线ab的斜率为k，问：是否存在x0（x1，x2），使f（x0）k成立？若存在，求x0的取值范围；若不存在，请说明理由。【解题指南】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切xr，f(x) 1恒成立转化为，从而得出a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.【解析】（）若，则对一切，这与题设矛盾，又，故.而令当时，单调递减；当时，单调递增，故当时，取最小值于是对一切恒成立，当且仅当.令则当时，单调递增；当时，单调递减.故当时，取最大值.因此，当且仅当即时，式成立.综上所述，的取值集合为.（）由题意知，令则令，则.当时，单调递减；当时，单调递增.故当，即从而，又所以因为函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在使单调递增，故这样的是唯一的，且.故当且仅当时， .综上所述，存在使成立.且的取值范围为.27.（2012湖南高考文科22）（本小题满分13分）已知函数f(x)=ex-ax，其中a0.（1）若对一切xr，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；（2）在函数f(x)的图象上去定点a（x1, f(x1)）,b(x2, f(x2)(x1x2)，记直线ab的斜率为k，证明：存在x0（x1,x2）,使恒成立.【解题指南】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切xr，f(x) 1恒成立转化为从而得出求a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断.【解析】令.当时单调递减；当时单调递增，故当时，取最小值于是对一切恒成立，当且仅当.令则当时，单调递增；当时，单调递减.故当时，取最大值.因此，当且仅当时，式成立.综上所述，的取值集合为.（）由题意知，令则令，则.当时，单调递减；当时，单调递增.故当，即从而，又所以因为函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在使即成立.28.（2012江苏高考18）（本小题满分16分）若函数y=f(x)在处取得极大值或极小值，则称为函数y=f(x)的极值点.已知a，b是实数，1和是函数的两个极值点（1）求a和b的值；（2）设函数的导函数，求的极值点；（3）设，其中，求函数的零点个数【解题指南】（1）求出的导数，根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。（2）由（1）得，求出，令，求解讨论即可。（3）比较复杂，先分和讨论关于 的方程 根的情况；再考虑函数的零点。【解析】（1）由得又因1和是函数的两个极值点所以的两个根为1和。由根与系数的关系得所以a0，b3此时（2）由得当时即，此时函数单调递增。当时即，此时函数单调递减。所以函数的极大值点。（3）令，则。 先讨论关于的方程 根的情况：当时，由（2）可知，的两个不同的根为1 和一2 ，注意到是奇函数，的两个不同的根为一和2。当时， ，一2 , 1，1 ，2 都不是的根。由（1）知。 当时， ，于是是单调增函数，从而。此时在无实根。 当时，于是是单调增函数。又，的图象不间断， 在（1 , 2 ）内有唯一实根。同理，在（一2 ，一1 ）内有唯一实根。 当时，于是是单调减两数。又， ，的图象不间断，在（一1，1 ）内有唯一实根。因此，当时，有两个不同的根满足；当 时有三个不同的根，满足。现考虑函数的零点：( i ）当时，有两个根，满足。而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5 个零点。( 11 ）当时，有三个不同的根，满足。而有三个不同的根，故有9 个零点。综上所述，当时，函数有5 个零点；当时，函数有9 个零点。29.（2012福建高考理科20） (本小题满分14分)已知函数 () 若曲线在点处的切线平行于轴，求函数的单调区间；（本题的切线正好是x轴，应改为垂直于y轴）() 试确定的取值范围，使得曲线上存在唯一的点p，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点p【解题指南】本小题主要考查函数的导数，导数的应用，一元二次函数的性质，函数的零点等基础知识，考查运算求解能力，抽象概括能力，推理论证能力，考查数形结合思想，化归与转化思想，分类与整合思想，有限与无限思想【解析】（）由于曲线在点处的切线斜率为 所以，即此时，由得当，有，当，有，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为（）设点； 曲线在点处的切线方程为令；故曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点等价于函数有唯一零点因为，且若时， 当时，则时，当时，则时，故只有唯一零点，由的任意性，不符合条件若，令则，令，得记则当时，从而在内单调递减；则当时，从而在内单调递增；当时， 当时，当时，知在上单调递增所以函数在r上有且只有一个零点当时，由于在内单调递增，且，则当时，有，任取，有又当时，易知其中，由于，则必存在，使得所以，故在内存在零点，即在上至少有两个零点。若，仿并利用，可证函数在上至少有两个零点综上所述，当时，曲线上存在唯一的点使该点处的切线与曲线只有一个公共点30.（2012广东高考理科21）（本小题满分14分）设a1，集合，（1）求集合d（用区间表示）（2）求函数在d内的极值点。【解题指南】 (1)解本题的关键是确定集合b，构造,因为,因为,所以3a-90,方了便于比较g(x)=0的根与0的大小关系，按分四类进行讨论。(2)因为,所以由（1）知，时，在d内无极值点。然后分别和时，的极值即可.【解析】(1)令时，,方程有两个不等实根，又,时，时,时,.时，,综上得时，时, 时，时, .(2)在上是增函数，在是减函数，由（1）知，时，在d内无极值点。时，在d内有极大值点x=1,无极小值点。时，在d内有极大值点,极小值点31.（2012广东高考文科21）同（2012广东高考理科21）