高考数学《直线和圆》专题 圆的方程学案.doc

第5课时 圆的方程基础过关1 圆心为c(a、b)，半径为r的圆的标准方程为_2圆的一般方程x2y2dxeyf0(其中d2e24f0)，圆心为 ，半径r 3二元二次方程ax2bxycy2dxeyf0表示圆的方程的充要条件是 4圆c：(xa)2(yb)2r2的参数方程为_x2y2r2的参数方程为_5过两圆的公共点的圆系方程：设c1：x2y2d1xe1yf10，c2：x2y2d2xe2yf20，则经过两圆公共点的圆系方程为 典型例题例1. 根据下列条件，求圆的方程(1) 经过a(6，5)，b(0，1)两点，并且圆心在直线3x10y90上(2) 经过p(2，4)，q(3，1)两点，并且在x轴上截得的弦长为6解： (1)ab的中垂线方程为3x2y150由 解得 圆心为c(7，3)，半径r故所求圆的方程为(x7)2(y3)265(2)设圆的一般方程为x2y2dxeyf0将p、q两点坐标代入得令y0得x2dxf0由弦长|x1x2|6得d24f36 解可得d2，e4，f8或d6，e8，f0故所求圆的方程为x2y22x4y80或x2y26x8y0变式训练1：求过点a（2，3），b（2，5），且圆心在直线x2y3=0上的圆的方程由a（2，3），b（2，5），得直线ab的斜率为kab= = ,线段ab的中点为（0，4），线段ab的中垂线方程为y4=2x,即y2x 4=0,解方程组得圆心为（1，2），根据两点间的距离公式，得半径r=所求圆的方程为（x1)2(y2)2=10例2. 已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于p，q两点，且opoq（o为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.解 方法一 将x=3-2y,代入方程x2+y2+x-6y+m=0,得5y2-20y+12+m=0.设p（x1,y1）,q(x2,y2),则y1、y2满足条件：y1+y2=4,y1y2=opoq,x1x2+y1y2=0.而x1=3-2y1,x2=3-2y2.x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.m=3,此时0,圆心坐标为,半径r=.方法二 如图所示，设弦pq中点为m，o1mpq，.o1m的方程为:y-3=2,即：y=2x+4.由方程组解得m的坐标为（-1，2）.则以pq为直径的圆可设为（x+1）2+（y-2）2=r2.opoq，点o在以pq为直径的圆上.（0+1）2+（0-2）2=r2，即r2=5,mq2=r2.在rto1mq中，o1q2=o1m2+mq2.(3-2)2+5=m=3.半径为,圆心为.方法三 设过p、q的圆系方程为x2+y2+x-6y+m+(x+2y-3)=0.由opoq知，点o（0，0）在圆上.m-3=0，即m=3.圆的方程可化为x2+y2+x-6y+3+x+2y-3=0即x2+(1+)x+y2+2(-3)y=0.圆心m，又圆在pq上.-+2（3-）-3=0，=1，m=3.圆心为，半径为.变式训练2：已知圆c：（x-1）2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (mr).（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆c恒相交；（2）求直线l被圆c截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.（1）证明 直线l可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,即不论m取什么实数，它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点.两方程联立，解得交点为（3，1），又有（3-1）2+（1-2）2=525,点（3，1）在圆内部，不论m为何实数，直线l与圆恒相交.（2）解 从（1）的结论和直线l过定点m（3，1）且与过此点的圆c的半径垂直时，l被圆所截的弦长|ab|最短，由垂径定理得|ab|=2=此时，kt=-,从而kt=-=2.l的方程为y-1=2(x-3),即2x-y=5.例3. 知点p（x，y）是圆(x+2)2+y2=1上任意一点.（1）求p点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；（2）求x-2y的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值.解 （1）圆心c（-2，0）到直线3x+4y+12=0的距离为d=.p点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为d+r=+1=，最小值为d-r=-1=.（2）设t=x-2y, 则直线x-2y-t=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点.1.-2t-2，tmax=-2，tmin=-2-.（3）设k=，则直线kx-y-k+2=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点，1.k,kmax=，kmin=.变式训练3：已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.（1）求y-x的最大值和最小值；（2）求x2+y2的最大值和最小值.解 （1）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b=-2.所以y-x的最大值为-2+，最小值为-2-.（2）x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为=2，所以x2+y2的最大值是（2+）2=7+4，x2+y2的最小值是（2-）2=7-4.例4. 设圆满足：截y轴所得的弦长为2；被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为31在满足条件的所有圆中，求圆心到直线l：x2y=0的距离最小的圆的方程。解法一设圆的圆心为p（a,b),半径为r，则点p到x轴y轴的距离分别为b、a。由题设条件知圆p截x轴所得的劣弧所对的圆心角为90，圆p截x轴所得的弦长为r，故r2=2b2又圆p截y轴所得的弦长为2，所以有r2=a21,从而得2b2=a21点p到直线x2y=0的距离为d=,5d2=(a2b)2=a24b24ab= 2a22b24ab1=2(ab)211当且仅当a=b时取等号，此时，5d2=1, d取得最小值由a=b及2b2=a21得，进而得r2=2所求圆的方程为（x1)2(y1)2=2或（x1)2(y1)2=2解法二同解法一，得d=，所以a2b= da2=4b24bd5d2,将a2=2b21代入整理得2b24bd5d21=0 （）把（）看成关于b的二次方程，由于方程有实数根，故0即8（5d21)0, 5d21可见5d2有最小值1，从而d有最小值，将其代入（）式得2b24b2=0, b= 1, r2=2b2=2, a2=2b21=1, a= 1由a2b=1知a、b同号故所求圆的方程为（x1)2(y1)2=2或（x1)2(y1)2=2变式训练4：如图，图o1和圆o2的半径都等于1，o1o24，过动点p分别作圆o1和圆o2的切线pm、pn(m、n为切点)，使得pmpn，试建立平面直角坐标系，并求动点p的轨迹方程o1o2nmpo1o2nmpoxy22解：以o1、o2的中点为原点，o1o2所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则o1(2, 0)、o2(2, 0)如图：由pmpn得pm22pn2 po1212(po221)，设p(x，y) (x2)2y212(x2)2y21即(x6) 2y233为所求点p的轨迹方程小结归纳1本节主要复习了圆的轨迹方程，要明确：必须具备三个独立条件，才能确定一个圆的方程2求圆的方程时一般用待定系数法：若已知条件与圆心、半径有关，可先由已知条