第22课 多边形与平行四边形.doc

Http 网站地址 南京市湖南路 1 号 B 座 808 室 联系电话 400 106 6600 Mail admin 第第 22 课课 多边形与平行四边形多边形与平行四边形 第一部分第一部分 讲解部分讲解部分 一 课标要求 一 课标要求 1 掌握多边形的内角和与外角和公式 2 掌握平行四边形的性质及其判定 3 掌握特殊平行四边形 菱形 矩形 正方形的性质及判定 4 灵活运用平行四边形的性质及判定解题 二 知识要点 二 知识要点 1 多边形及其内角和与外角和 1 多边形 在平面内 由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次连接所组成的图 形叫做多边形 2 n 边形的内角和等于 n 2 180 3 n 边形的外角和等于 360 2 平行四边形 1 概念 两组对边互相平行的四边形是平行四边形 2 性质 平行四边形的两组对边平行且相等 两组对角分别相等 两条对角线互相 平分 3 判定 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 3 特殊平行四边形 1 菱形 概念 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 性质 菱形的四条边都相等 两条对角线互相垂直且平分 判定 A 四条边都相等的四边形是菱形 B 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 2 矩形 概念 有一个内角是直角的平行四边形是矩形 性质 矩形的四个角都是直角 两条对角线相等且互相平分 判定 A 四个角都是直角的四边形是矩形 B 对角线相等的平行四边形是矩形 2 正方形 概念 有一个内角是直角的菱形是正方形 性质 正方形的四个角都是直角 四条边都相等 两条对角线相等且互相垂直平分 判定 A 对角线相等的菱形是正方形 B 有一组邻边相等的矩形是正方形 三 考点 型 精讲 三 考点 型 精讲 考点一 多边形的内角和与外角和考点一 多边形的内角和与外角和 例例 1 2010 年四川省自贡 一个多边形截取一个角后 形成的另一个多边形的内角和 是 1620 则原来多边形的边数是 Http 网站地址 南京市湖南路 1 号 B 座 808 室 联系电话 400 106 6600 Mail admin A 10B 11C 12D 以上都有可能 分析 由多边形的内角和公式得 n 2 180 1620 解得 n 11 通过操作可以发现 一个 多边形截取一个角后 所得出边数与原多边形边数比较有三种情况 等于原边数 比原边数 少 1 比原边数多 1 答案 D 评注 已知多边形的内角和 外角和 或内角和与外角和的数量关系求边数 是考查多 边形内角和与外角和公式的常见题型 通常是列方程解决 本题隐含着考查学生动手的操作 能力 有一定的知识综合性 考点二 平行四边形考点二 平行四边形 例例 2 2010 山东泰安 如图 E 是 ABCD 的边 AD 的中点 CE 与 BA 的延长线交于点 F 若 FCD D 则下列结论不成立的是 A AD CFB BF CF C AF CDD DE EF 分析 因为 BF CD 所以 FCD F 又因为 FCD D 所以 D F 四边形 ABCD 是平行四边形 B D 所以 B F BC CF 即 AD CF 所以选项 A 成立 AEF DEC 所以 AF CD 所以选项 C 成立 由 AEF DEC 知 EF CE FCD D 所以 CE DE 因此 DE EF 故选项 D 成立 B 选项只有在 BCF 是等边三角形时 才成立 已知条件中并没有说明 BCF 是等边三角形 因此选项 B 不成立 答案 B 评注 本题综合考查了平行四边形的性质和等腰三角形的性质 通过一个图形考查了多 个知识点 知识考查到位 难度中等 考点三 特殊平行四边形考点三 特殊平行四边形 例例 3 2010 云南楚雄 如图 四边形 OABC 是菱形 点 B C 在以点 O 为圆心的弧 EF 上 且 1 2 若扇形 OEF 的面积为 3 则菱形 OABC 的边长为 A B 2 C 3 D 4 3 2 分析 此题只要扇形半径就开支菱形边长 连接 OB 则 OB OC 因为 OC CB 所以 OCB 是等边三角形 所以 COB 60 则 COA 120 因为 1 2 所以 1 2 O F C B E A Http 网站地址 南京市湖南路 1 号 B 座 808 室 联系电话 400 106 6600 Mail admin EOF 120 所以 S扇形 OEF 3 解得 R 3 故菱形边长为 3 360 120 2 R 答案 C 评注 本题对菱形与扇形面积公式进行了综合考查 题目新颖 知识面广 代表了今后 命题的方向 四 疑难点和易错点 四 疑难点和易错点 考点二 平行四边形考点二 平行四边形 例例 4 2010 江苏泰州 如图 四边形 ABCD 是矩形 EDC CAB DEC 90 1 求证 AC DE 2 过点 B 作 BF AC 于点 F 连结 EF 试判断四边形 BCEF 的形状 并说明理由 分析 1 要证 AC DE 设法证两个内错角相等 由已知 EDC CAB 再由矩形利 用两边平行将 ACD 作为中间量进行转化 2 可先猜想四边形 BCEF 是平行四边形 设法 证 EF BC 与 AD 的关系运用 EF BC 平行且相等可得证 答案 解 在矩形 ABCD 中 AC DE DCA CAB EDC CAB DCA EDC AC DE 四边形 BCEF 是平行四边形 理由 由 DEC 90 BF AC 可得 AFB DEC 90 又 EDC CAB AB CD DEC AFB DE AF 由 得 AC DE 四边形 AFED 是平行四边形 AD EF 且 AD EF 在矩形 ABCD 中 AD BC 且 AD BC EF BC 且 EF BC 四边形 BCEF 是平行四边形 1 2 O F C B E A Http 网站地址 南京市湖南路 1 号 B 座 808 室 联系电话 400 106 6600 Mail admin 评注 从中考试卷来看 平行四边形这一节不会有很复杂的证明题 主要考查平行四边 形的性质特征及判别方法综合运用 掌握这部分内容 首先搞清平行四边形与矩形 菱形 正方形之间的包含关系 注重把握特殊平行四边形与一般平行四边形的异 同点 才能准确 地 灵活地运用 考点三 特殊平行四边形考点三 特殊平行四边形 例例 5 2010 年浙江温州 如图 在 ABCD 中 EF BD 分别交 BC CD 于点 P Q 交 AB AD 的延长线于点 E F 已知 BE BP 求证 E F ABCD 是菱形 分析 由 BE BP 可得 E BPE 所以要证明 E F 只需证明 BPE F 即 可 由 EF BD 可得 E ABD F ADB 结合 E F 等量代换可得 ABD ADB 于是 AB AD 所以可证 ABCD 是菱形 答案 解 BE BP E BPE BC AF BPE F E F EF BD E ABD F ADB ABD ADB AB AD ABCD 是菱形 评注 本题的证明思路是将 等边 转化为 等角 再通过平行线性质转化为新的 等角 从而证得新的 等边 最后利用菱形的定义证明所求证的结论 本题难度不大 主要考查学 生运用转化的数学思想分析 证明几何题的能力 五 真题演练 五 真题演练 1 2010 年肇庆市 一个四边形的内角和是外角和的 2 倍 则这个多边形是 A 六边形 B 五边形 C 四边形 D 八边形 2 2010 年四川成都 已知四边形 有以下四个条件 ABCD ABCD 从这四个条件中任选两个 能使四边形成为ABCD BCADBCAD ABCD 平行四边形的选法种数共有 A 6 种 B 5 种 C 4 种 D 3 种 3 2009 仙桃 将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠 AE EF 为折痕 BAE 30 AB 折叠后 点 C 落在 AD 边上的 C1处 并且点 B 落在 EC1边上的 B13 处 则 BC 的长为 Http 网站地址 南京市湖南路 1 号 B 座 808 室 联系电话 400 106 6600 Mail admin A B 3 C 2 D 332 4 2009 年牡丹江市 如图 ABCD 中 E F分别为BC AD边上的点 要使 BFDE 需添加一个条件 A B C E D F 5 2010 山东临沂 正方形的边长为 点 分别是对角线上的两点 ABCDaEFBD 过点 分别作 的平行线 如图所示 则图中阴影部分的面积之和等于 EFADAB 第二部分第二部分 练习部分练习部分 一 选择题一 选择题 1 2010 铁岭 已知一个多边形的内角和是外角和的 4 倍 则这个多边形是 A 八边形B 十二边形C 十边形D 九边形 2 2010 天津市 下列命题中正确的是 A 对角线相等的四边形是菱形 B 对角线互相垂直的四边形是菱形 C 对角线相等的平行四边形是菱形 D 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 3 2010 贵州铜仁 如图 顺次连结四边形 ABCD 各中点得四边形 EFGH 要使四边形 EFGH 为矩形 应添加的条件是 A AB DC B AB DC C AC BD D AC BD A B C D E F M N QP 高俊元 中德鹏 Http 网站地址 南京市湖南路 1 号 B 座 808 室 联系电话 400 106 6600 Mail admin F E H G D A B C 4 2010 山东聊城 如图 点 P 是矩形 ABCD 的边 AD 的一个动点 矩形的两条边 AB BC 的长分别为 3 和 4 那么点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和是 A B C D 不确定 12 5 6 5 24 5 5 2010 浙江台州 如图 矩形 ABCD 中 AB AD AB A AN 平分 DAB DM AN 于点 M CN AN 于点 N 则 DM CN 的值为 用含 a 的代数式表示 A A B C D a 5 4 a 2 2 a 2 3 二 填空题二 填空题 6 2010 贵州铜仁 已知菱形的两条对角线的长分别为 5 和 6 则它的面积是 7 2010 云南楚雄 如图 在平行四边形 ABCD 中 对角线与相交于点 在ACBDO 不添加任何辅助线和字母的情况下 请添加一个条件 使得 ABCD 变为矩形 需要添加的条 件是 写出一个即可 A BC D O A 0 第 8 题 图8 B CD 8 2010 河北 如图 8 矩形 ABCD 的顶点 A B 在数轴上 CD 6 点 A 对应的数 a N M C D AB 第 5 题 1 第 5 题 2 Http 网站地址 南京市湖南路 1 号 B 座 808 室 联系电话 400 106 6600 Mail admin 为 则点 B 所对应的数为 1 9 2010 山东烟台 将两张矩形纸片如图所示摆放 使其中一张矩形纸片的一个顶点恰 好落在另一张矩形纸片的一条边上 则 1 2 10 2010 年桂林市 如图 已知 AB 10 点 C D 在线段 AB 上且 AC DB 2 P 是线 段 CD 上的动点 分别以 AP PB 为边在线段 AB 的同侧作等边 AEP 和等边 PFB 连结 EF 设 EF 的中点为 G 当点 P 从点 C 运动到点 D 时 则点 G 移动路径的长是 ABCD P E F G 三 解答题三 解答题 11 2010 年湖南益阳 如图 11 在菱形 ABCD 中 A 60 AB 4 O 为对角线 BD 的 中点 过 O 点作 OE AB 垂足为 E 1 求 ABD 的度数 2 求线段 BE 的长 12 2010 山东泰安 如图 ABC 是等腰直角三角形 A 90 点 P Q 分别是 AB AC 上的动点 且满足 BP AQ D 是 BC 的中点 1 求证 PDQ 是等腰直角三角形 2 当点 P 运动到什么位置时 四边形 APDQ 是正方形 说明理由 Http 网站地址 南京市湖南路 1 号 B 座 808 室 联系电话 400 106 6600 Mail admin 13 2010 茂名市 如图 已知 OA OB OA 4 OB 3 以 AB 为边作矩形 ABCD 使 AD 过点 D 作 DE 垂直 OA 的延长线交于点 E a 1 证明 OAB EDA 2 当为何值时 OAB 与 EDA 全等 请说明理由 并求出此时点 C 到 OE 的距a 离 Http 网站地址 南京市湖南路 1 号 B 座 808 室 联系电话 400 106 6600 Mail admin 真题演练答案真题演练答案 1 A 2 C 3 B 4 答案不唯一 BF DF 或 BF DE AF CE BFD BED AFB ADE 等 5 2 1 2 a 练习部分答案练习部分答案 一 选择题一 选择题 1 C 分析 设多边形的边数为 n 则有 n 2 180 360 4 解得 n 10 2 D 分析 本题涉及到特殊平行四边形菱形判定方法 其中前三个都是不正确的 只有选项 D 正确 原因是 对于一个一般四边形来说不论是对角线相等或是对角线互相垂直 都不能说明它就是菱形 对于一个平行四边形来说对角线相等只能判定它是矩形 只有选项 D 正确 3 C 分析 连接 BD 由中位线的知识可知 顺次连结四边形 ABCD 各中点得到的 四边形 EFGH 是平行四边形 要使它为矩形 则有一个角为直角 由平行线的性质可知 原 来的对角线一定是垂直的 4 A 分析 过点 P 分别作 AC BD 的垂线 PE PF 容易得 PDF BDA 由勾股定理得 AC BD 5 同样可得 PDPF BDAB 53 PDPF 3 5 PFPD 3 5 PEPA PE PF 312 55 PAPD 5 C 分析 过 D 点作 DE MN 易得四边形 DMNE 是矩形 DM EN 则 DM CN 的和就是 EC 的长度 由 AN 平分 DAB DM AN 易得 EDC 45 度 所以 EC 即 DM CN a 2 2 a 2 2 二 填空题 6 15 分析分析 利用菱形的面积等于对角线乘积的一半 则面积利用菱形的面积等于对角线乘积的一半 则面积 15 65 2 1 7 答案不唯一 答案不唯一 AC BD 或 ABC 90 等 分析 由矩形的判断 有一个角是直 角的平行四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 可知需添加的条件是 AC BD 或 ABC 90 8 5 分析 由矩形的边 CD 6 知 AB 6 由 A 点对应的数为 1 知点 B 对应的数应 为 5 9 90 分析 矩形的对边平行 可添加辅助线 方法不惟一 构造平行线性质的 基本图形 再利用三角形内角和定理 或平角的定义等求解 10 3 分析 当 P 在点 C 处时 E F 分别在以 AB 为边长的等边三角形 ABH 的 Http 网站地址 南京市湖南路 1 号 B 座 808 室 联系电话 400 106 6600 Mail admin 边 AH 和 BH 上运动 由于 PE BH PF AH 所以四边形 EPFH 为 平行四边形 又 G 为 EF 的中点 所以 G 必为 C P H 的中点 当 P 运动到 D 点时 同理 G 也在 D P H 的中点处 所以点 G 移动路径就是 CDH 的中位线 所以点 G 移动路径的长应该 是CD 10 2 2 3 1 2 1 2 三 解答题 11 解 在菱形 ABCD 中 AB AD A 60 ABD 为等边三角形 ABD 60 2 由 1 可知 BD AB 4 又 O 为 BD 的中点 OB 2 又 OE AB ABD 60 BOE 30 BE 1 12 解 1 证明 连结 AD ABC 是等腰直角三角