高考数学 321精品系列 专题03 数列 理.doc

1 3 2 13 2 1 精品系列数学 理 精品系列数学 理 20122012 版版 专题专题 20122012 版高考数学版高考数学 3 2 13 2 1 精精 品系列专题品系列专题 0303 数列数列 理理 教师版 教师版 0303 数列数列 1 数列的概念和简单表示法 了解数列的概念和几种简单的表示方法 列表 图像 通项公式 了解数列是自变量为正整数的一类函数 2 等差数列 等比数列 理解等差数列 等比数列的概念 掌握等差数列 等比数列的通项公式与前 n 项和公式 能在具体的问题情境中 识别数列的等差关系或等比关系 并能用有关知识解决相应的 问题 了解等差数列与一次函数 等比数列与指数函数的关系 考纲解读 数列难度降底 得分率提高 但要全对还得加大基本功训练 选择填空题重点考查等差 比 数列的性质 解答题中重点考查通项公式 求和 重视求和中的错位相减法 裂项 相消求和等 递推数列不要研究太深 只掌握基本的就行 近几年考点分布数列是高中代数的重要内容之一 由于它既具有函数特征 又能构成独 特的递推关系 使得它既与中学数学其他部分知识如 函数 方程 不等式 解析几何 二项式定理等有较紧密的联系 又有自己鲜明的特征 因此它是历年高考考查的重点 热 点和难点 在高考中占有极其重要的地位 试题往往综合性强 难度大 承载着考查学生数 学思维能力和分析 建模 解决问题的能力以及函数与方程的思想 转化与化归的思想 分类讨论的思想 通过对 2012 年高考试题的研究 本专题在高考试题中占有较大比重 分 值约占总分的 12 大多为一道选择题或填空题 一道解答题 试题注重基础 着重考查等 差 等比数列的通项公式 前 n 项和公式 数学归纳法及应用问题 选择题和填空题 突 出 小 巧 活 的特点 而解答题大多为中等以上难度的试题或难度大的压轴题 考点考点 pk pk 名师考点透析名师考点透析 考点一考点一 等差 等比数列的概念与性质等差 等比数列的概念与性质 例 1 已知 n a为等比数列 且 3647 36 18 aaaa 1 若 1 2 n a 求n 2 设数列 n a的前n项和为 n s 求 8 s 2 解 设 1 1 n n aa q 由题意 解之得 1 128 1 2 a q 进而 1 1 128 2 n n a 1 由 1 11 128 22 n n a 解得9 n 2 1 1 1 256 1 12 n n n aq s q 8 8 1 256 1 255 2 s 例 2 设 a1 d 为实数 首项为 a1 公差为 d 的等差数列 an 的前 n 项和为 sn 满足 56 s s 15 0 若 5 s 5 求 6 s及 a1 求 d 的取值范围 解 由题意知s6 5 15 s 3 6 a s6 s5 8 所以 1 1 5105 58 ad ad 解得a1 7 所以s6 3 a1 7 方法一 因为s5s6 15 0 所以 5a1 10d 6a1 15d 15 0 即 2a12 9da1 10d2 1 0 故 4a1 9d 2 d2 8 所以d2 8 故d的取值范围为d 22或d 22 方法二 因为s5s6 15 0 所以 5a1 10d 6a1 15d 15 0 即 2a12 9da1 10d2 1 0 看成关于 1 a的一元二次方程 因为有根 所以 222 818 101 80ddd 解得 2 2d 或2 2d 考点二考点二 求数列的通项与求和求数列的通项与求和 例 3 已知数列 n a满足且0 1 a 1 2 1 2 1 nnnnss nn 1 求 23 a a 并证明 1 2 nn aan nn 2 设 1 nnaab nnn 求证 12 1 nn bb 3 求数列 nnan 的通项公式 3 2 由 1 naa nn 2 1 有12 12 naa nn 1 2 112 nnnn aaaa 12 1 nn bb即 3 由 2 1 21 1 nn bb而211 121 aab 1 n b是以 2 为首项 2 为公比的等比数列 nn n b2221 1 12 n n b即12 1 n nn aa 而naa nn 2 1 有 122 n nn ana 12nnna n n 名师点睛名师点睛 一般地 含有 n s的递推关系式 一般利用 1 1 1 2 n nn sn a ssn 化 和 为 项 例 4 在数列 n a 中 3 1 1 a 并且对任意2 nnn都有 nnnn aaaa 11 成立 令 1 nn a b n n 求数列 n b 的通项公式 求数列 n an 的前 n 项 和 n t 解 1 当 n 1 时 3 1 1 1 a b 当2 n时 由 nnnn aaaa 11 得 1 11 1 nn aa 所 以1 1 nn bb 所以数列 n b是首项为 3 公差为 1 的等差数列 所以数列 n b的通项公式为 2 nbn 4 2 11 11 2 22 n a nn nnn 11111111 1 23243511 n t nn 11 2nn 2 2 1 3113534 1 2 2 2124 32 44 1 2 nnn nnnnnn 名师点睛名师点睛 裂项相消法 主要用于通项为分式的形式 通项拆成两项之差求和 正负 项相消剩下首尾若干项 注意一般情况下剩下正负项个数相同 考点三考点三 数列与不等式 函数等知识的联系数列与不等式 函数等知识的联系 例例 5 5 已知数列 n a是等差数列 nnaac nnn 2 1 2 1 判断数列 n c是否是等 差数列 并说明理由 2 如果 为常数kkaaaaaa13143 130 26422531 试写出数列 n c的通 项公式 3 在 2 的条件下 若数列 n c得前 n 项和为 n s 问是否存在这样的实数k 使 n s当且仅当12 n时取得最大值 若存在 求出k的取值范围 若不存在 说明理由 22 26326 21 1 knk 2 2 1 25305knkk 3 因为当且仅当12n 时 n s最大 1213 0 0cc 有 即 22 222 24 1 25305018190 36 1 25305022210 kkkkk kkkkk 119 1921 211 kk kk kk 或 或 或 名师点睛名师点睛 解综合题的成败在于审清题目 弄懂来龙去脉 透过给定信息的表象 抓 5 住问题的本质 揭示问题的内在联系和隐含条件 明确解题方向 形成解题策略 例 6 已知数列 n a的首项 1 21aa a是常数 且1a 242 2 1 nnaa nn 2n 数列 n b的首项 1 ba 2 nab nn 2n 1 证明 n b从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列 2 设 n s为数列 n b的前 n 项 和 且 n s是等比数列 求实数a的值 3 当0 a时 求数列 n a的最小项 提示 当3 n时总有122 n n 解 1 2 nab nn 222 11 1 2 1 4 1 2 1 nnnanab nnn nn bna222 2 n 2 由 1 21aa 得 2 4aa 22 444baa 1a 2 0b 3 由 1 知当2n 时 2 44 2 1 2 nn n baa 所以 2 21 1 1 2 2 n n an a an n 1223 12 2 1 2 1 nnnaaan nn nn 有 nn aan 1 3时显然最小项是前三项中的一项 当 1 0 4 a 时 最小项为18 a 当 1 4 a 时 最小项为a4或18 a 当 1 1 4 2 a 时 最小项为a4 当 1 2 a 时 最小项 为a4或12 a 当 1 2 a 时 最小项为12 a 名师点睛名师点睛 对数列中的含 n 的式子 注意可以把式子中的 n 换为n1 或n1 得到 6 相关的式子 再进行化简变形处理 也可以把 n 取自然数中的具体的数 1 2 3 等 得 到一些等式归纳证明 例 7 已知数列 n a中 11 2 202 nn aaannnn 1 写出 23 aa 的值 只 写结果 并求出数列 n a的通项公式 2 设 1232 1111 n nnnn b aaaa 若对任 意的正整数n 当 1 1m 时 不等式 2 1 2 6 n tmtb 恒成立 求实数t的取值范围 解 1 11 2 202 nn aaannnn 23 6 12aa 2 分 当2n 时 1123221 2 21 2 3 22 nnnn aan aanaaaa 1 2132 n aann 1 2132121 2 n n n annn n 当1n 时 1 11 12a 也满足上式 数列 n a的通项公式为 1 n an n 2 122 111111 1223221 n nnn b aaannnnnn 111111 1223221nnnnnn 2 111 1 121231 2 3 n nnnn n n 令 1 21f xxx x 则 2 1 2fx x 当 1 0 xfx 时恒成立 f x在 1 x 上是增函数 故当1x 时 13f xf m i n 即当1n 时 1 6 n b m ax 要使对任意的正整数n 当 1 1m 时 不等式 2 1 2 6 n tmtb 恒成立 则须使 2 max 11 2 66 n tmtb 即 2 20 1 1tmtm 对恒成立 2 2 20 22 20 tt tt tt 解得 或 实数t的取值 范围为 22 另解 1 11111111 223121221231 nn bb nnnnnnnn 22 3334 0 252253 nn nnnn 数列 n a是单调递减数列 1 1 6 n bb m ax 7 名师点睛名师点睛 数列是一种特殊的函数 要注意其特殊性 1 若用导数研究数列的单 调性 最值等 要构造辅助函数 因为导数是对连续函数而定义的 2 辅助函数的单调性 与数列的单调性的联系与区别 例 8 已知数列 n a的前n项和为 n s 对一切正整数n 点 nn snp都在函数 xxxf2 2 的图像上 且过点 nn snp的切线的斜率为 n k 1 求数列 n a的通项 公式 2 若 n k n ab n 2 求数列 n b的前n项和 n t 3 设 2 nnaxxrnnkxxq nn 等差数列 n c的任一项rqcn 其中 1 c是rq 中的最小数 115110 10 c 求 n c的通项公式 解 1 点 nn snp都在函数xxxf2 2 的图像上 2 2 n snn nn 当n2 时 1 21 nnn assn 当 1 时 11 3as 满足上式 所以数列 n a的通项公式为21 n an 2 由xxxf2 2 求导可得 22fxx 过点 nn snp的切线的斜率为 n k 22 n kn 24 21 4 n kn nn ban 123 43445447421 4nn n t 4 由 4 得 2341 443445447421 4nn n t 4 得 231 34 3424421 4 nn n n t 4 21 1 4 1 4 34221 4 14 n n n 4 2 6116 4 99 n n n t 3 22 42 qx xnnnrx xnnn qrr 又 n cqr 其中 1 c是rq 中的最小数 1 6c n c 是公差是 4 的倍数 10 46 cmmn 又 10 110115c 11046115m mn 解得 27 8 所以 10 114c 设等差数列的公差为d 则 101 1146 12 1019 cc d 6 1 12126 n cnn 所以 n c的通项公式为126 n cn 名师点睛名师点睛 一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和 主要用错位 相减法求数列的和 例9 甲 乙两容器中分别盛有浓度为10 20 的某种溶液500ml 同时从甲 乙两个 容器中各取出100ml溶液 将其倒入对方的容器搅匀 这称为一次调和 记 1 10 a 名师点睛名师点睛 数列在日常经济生活中广为应用 如增长率问题 银行存款利率问题 贷 款问题等 都是与等比数列有关 另外 有些实际问题 可转化为数列问题 注意是求项 还是求和 是解方程还是不等式问题 三年高考三年高考 1010 1111 1212 高考试题及其解析高考试题及其解析 20122012 年高考试题及解析年高考试题及解析 一 选择题 1 2012 年高考 新课标理 已知 n a为等比数列 47 2aa 56 8a a 则 110 aa a 7b 5c d 解析 47 2aa 564747 84 2a aa aaa 或 47 2 4aa 47110110 4 28 17aaaaaa 选d 2 2012 年高考 浙江理 设s n是公差为d d 0 的无穷等差数列 a n 的前n项和 则下列命题错误的是 9 a 若d 0 则数列 s n 有最大项 b 若数列 s n 有最大项 则d0 d 若对任意的n n 均有s n 0 则数列 s n 是递增数列 解析 选项 c 显然是错的 举出反例 1 0 1 2 3 满足数列 s n 是递增数列 但是s n 0 不成立 3 2012 年高考 重庆理 在等差数列 n a中 5 1 42 aa 则 n a的前 5 项和 5 s a 7b 15c 20d 25 解析 4212 25 142 1 21daadaad 52 31 67aad 故 15 5 56 5 15 22 aa s 考点定位 本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式 解题时要认真审题 仔细解答 4 2012 年高考 四川理 设函数 2cosf xxx n a是公差为 8 的等差数列 125 5f af af a 则 2 313 f aa a a 0b 2 1 16 c 2 1 8 d 2 13 16 点评 本题难度较大 综合性很强 突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用 需考生加强知识系统 网络化学习 另外 0 coscos cos 521 aaa 隐蔽性较强 需 要考生具备一定的观察能力 5 2012 年高考 上海理 设 25 1sin n nn a nn aaas 21 在 10021 sss 中 正数的个数是 a 25 b 50 c 75 d 100 解析 对于 1 k 25 ak 0 唯a25 0 所以sk 1 k 25 都为正数 10 当 26 k 49 时 令 25 则 k k 25 画出k 终边如右 其终边两两关于x轴对称 即有 50sin sin kk 所以 sin 1 1 k s 2sin 2 1 23sin 23 1 24sin 24 1 0 26sin 26 1 27sin 27 1 k ksin 1 sin 1 1 2sin 2 1 24sin 26 1 24 1 23sin 27 1 23 1 50sin 1 50 1 k kk 其中k 26 27 49 此时kk 500 所以0 1 50 1 kk 又 24 50 0k 所以0 50sin k 从而当 k 26 27 49 时 sk都是正数 s50 s49 a50 s49 0 s49 0 对于k从 51 到 100 的情况同上可知 sk都是正数 综上 可选 d 评注 本题中数列难于求和 可通过数列中项的正 负匹配来分析sk的符号 为此 需借助 分类讨论 数形结合 先局部再整体等数学思想 而重中之重 是看清楚角序列的终边的对 称性 此为攻题之关键 6 2012 年高考 辽宁理 在等差数列 an 中 已知a4 a8 16 则该数列前 11 项和s11 a 58b 88c 143d 176 解析 在等差数列中 111 1114811 11 16 88 2 aa aaaas 答案为 b 点评 本题主要考查等差数列的通项公式 性质及其前 n 项和公式 同时考查运算求解能 力 属于中档题 解答时利用等差数列的性质快速又准确 7 2012 年高考 江西理 观察下列各式 a b 1 a b2 3 a3 b3 4 a4 b4 7 a5 b5 11 则 a10 b10 a 28b 76c 123d 199 解析 本题考查归纳推理的思想方法 观察各等式的右边 它们分别为 1 3 4 7 11 发 现从第 3 项开始 每一项就是它的前两项之和 故等式的右边依次为 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 故 1010 123 ab 点评 归纳推理常常可借助前几项的共性来推出一般性的命题 体现考纲中要求了解归纳 推理 来年需要注意类比推理等合情推理 8 2012 年高考 湖北理 定义在 0 0 上的函数 f x 如果对于任意给定的 等比数列 n a n f a仍是等比数列 则称 f x为 保等比数列函数 现有定义在 0 0 上的如下函 数 2 f xx 2xf x f xx ln f xx 则其中是 保等比数列函数 的 f x的序号为 x y 2 12 13 24 23 26 27 49 48 38 37 11 a b c d 解析 等比数列性质 2 12 nnn aaa 1 2 2 2 1 2 2 2 2 nnnnnn afaaaafaf 1 22 2 122 2222 n aaaaa nn afafaf nnnnn 1 2 2 122 nnnnnn afaaaafaf 1 2 2 122 lnlnln nnnnnn afaaaafaf 选 c 9 2012 年高考 福建理 等差数列 n a中 154 10 7aaa 则数列 n a的公差 为 a 1b 2c 3d 4 解析 151 102410aaad 而 41 37aad 解得2d 考点定位 该题主要考查等差数列的通项公式 考查计算求解能力 10 2012 年高考 大纲理 已知等差数列 n a的前n项和为 55 5 15 n sas 则数 列 1 1 nn a a 的前 100 项和为 a 100 101 b 99 101 c 99 100 d 101 100 解析 由 55 5 15 n sas 可得 1 1 1 45 1 5 4 1515 2 n ad a an dad 1 1111 1 1 nn a an nnn 100 111111100 1 1 223100101101101 s 11 2012 年高考 北京理 某棵果树前n年得总产量 n s与n之间 的关系如图所示 从目前记录的结果看 前m年的年平均产量最 高 m的值为 a 5 b 7c 9 d 11 解析 由图可知 6 7 8 9 这几年增长最快 超过平均值 所以应该加 入 因此选 c 考点定位 本小题知识点考查很灵活 要根据图像识别看出变化趋势 判断变化速度可以 用导数来解 当然此题若利用数学估计过于复杂 最好从感觉出发 由于目的是使平均产量最 高 就需要随着n的增大 n s变化超过平均值的加入 随着n增大 n s变化不足平均值 故舍 去 12 12 2012 年高考 安徽理 公比为 3 2等比数列 n a的各项都是正数 且 311 16a a 则 a 4b 5c d 解析 29 31177167216 1616432log5a aaaaaqa 选b 二 填空题 13 2012 年高考 新课标理 数列 n a满足 1 1 21 n nn aan 则 n a的前 60项和为 解析 n a的前60项和为1830 可证明 1414243444342424 1616 nnnnnnnnnn baaaaaaaab 1123415 15 14 1010 15161830 2 baaaas 14 2012 年高考 浙江理 设公比为q q 0 的等比数列 a n 的前n项和为 s n 若 22 32sa 44 32sa 则q 解析 将 22 32sa 44 32sa 两个式子全部转化成用 1 a q表示的式子 即 111 233 11111 32 32 aa qa q aa qa qa qa q 两式作差得 232 111 3 1 a qa qa q q 即 2 230qq 解 之得 3 1 2 qor q 舍去 15 2012 年高考 上海春 已知等差数列 n a的首项及公差均为正数 令 2012 2012 nnn baannn 当 k b是数列 n b的最大项时 k 解析 1006 16 2012 年高考 辽宁理 已知等比数列 n a为递增数列 且 2 51021 2 5 nnn aaaaa 则数列的通项公式 n a 17 2012 年高考 江西理 设数列 nn ab都是等差数列 若 13 1133 7 21abab 则 55 ab 解析 本题考查等差中项的性质及整体代换的数学思想 解法一 因为数列 nn ab都是等差数列 所以数列 nn ab 也是等差数列 故由等差中项的性质 得 551133 2ababab 即 55 72 21ab 解得 55 35ab 解法二 设数列 nn ab的公差分别为 12 d d 因为 331112111212 2 2 2 72 21abadbdabdddd 所以 12 7dd 所以 553312 2 35ababdd 点评 对于等差数列的计算问题 要注意掌握基本量法这一通法 同时要注意合理使用等 差数列的性质进行巧解 体现考纲中要求理解等差数列的概念 来年需要等差数列的通项公 式 前n项和 等差中项的性质等 18 2012 年高考 湖南理 设n 2n n n n 2 将 n 个数 x1 x2 xn依次放入编号为 1 2 n 的 n 个位置 得到排列 p0 x1x2xn 将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出 并 按原顺序依次放入对应的前 2 n 和后 2 n 个位置 得到排列 p1 x1x3xn 1x2x4xn 将此操作称 为 c 变换 将 p1分成两段 每段 2 n 个数 并对每段作 c 变换 得到 2 p 当 2 i n 2 时 将 pi分成 2i段 每段 2i n 个数 并对每段 c 变换 得到 pi 1 例如 当 n 8 时 p2 x1x5x3x7x2x6x4x8 此时 x7位于 p2中的第 4 个位置 1 当 n 16 时 x7位于 p2中的第 个位置 2 当 n 2n n 8 时 x173位于 p4中的第 个位置 2 方法同 1 归纳推理知 x173位于 p4中的第 4 3 211 n 个位置 点评 本题考查在新环境下的创新意识 考查运算能力 考查创造性解决问题的能力 需要在学习中培养自己动脑的习惯 才可顺利解决此类问题 19 2012 年高考 湖北理 回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的 正整数 如 22 121 3443 94249 等 显然 2 位回文数有 9 个 11 22 33 99 3 位回文数有 90 个 101 111 121 191 202 999 则 4 位回文数有 个 21 nn n位 回文数有 个 解析 4 位回文数只用排列前面两位数字 后面数字就可以确定 但是第一位不能为 0 有 9 1 9 种情况 第二位有 10 0 9 种情况 所以 4 位回文数有90109 种 14 答案 90 法一 由上面多组数据研究发现 2n 1 位回文数和 2n 2 位回文数的个数相同 所以可 以算出 2n 2 位回文数的个数 2n 2 位回文数只用看前 n 1 位的排列情况 第一位不能为 0 有 9 种情况 后面 n 项每项有 10 种情况 所以个数为 n 109 法二 可以看出 2 位数有 9 个回文数 3 位数 90 个回文数 计算四位数的回文数是可以看出 在 2 位数的中间添加成对的 00 11 22 99 因此四位数的回文数有 90 个按此规律推导 而当奇数位时 可以看成在偶数位的最中间添加 0 9 这十个数 因此 则答案为 n 109 20 2012 年高考 广东理 数列 已知递增的等差数列 n a满足 1 1a 2 32 4aa 则 n a 解析 设公差为d 0d 则有 2 1214dd 解得2d 所以21 n an 21 2012 年高考 福建理 数列 n a的通项公式cos1 2 n n an 前n项和为 n s 则 2012 s 解析 由cos1 2 n n an 可得 2012 1 02 1 3 04 12012 1 2012s 24620102012 20122 50320123018 考点定位 本题主要考察数列的项 前 n 项和 考查数列求和能力 此类问题关键是并项 求和 22 2012 年高考 北京理 已知 n a为等差数列 n s为其前n项和 若 1 1 2 a 23 sa 则 2 a 解析 23 sa 所以 11121 1 21 2 aadaddaad 1 1 4 n sn n 考点定位 本小题主要考查等差数列的基本运算 考查通项公式和前n项和公式的计算 三 解答题 23 2012 年高考 天津理 已知 n a 是等差数列 其前n项和为 n s n b 是等比数列 15 且 1 a 1 2 b 44 27ab 44 10 sb 求数列 n a 与 n b 的通项公式 记 11 21 nnnn ta baba b nn 证明 12 2 10 nnn tab nn 解析 命题意图 本试题主要考查了等差数列与等比数列的概率 通项公式 前n项和 公式 数列求和等基础知识 考查化归与转化的思想方法 考查运算能力 推理论证的能力 1 设等差数列 n a的公差为d 等比数列 n b的公比为q 由 11 2ab 得 3 444 23 2 86ad bq sd 由条件得方程组 3 3 232273 2 86210 dqd q dq 故 31 2 n nn anbnn 2 1 2 11 22 31121 1 2222 22 nnn n nnnnnn n aa ta babababaaaa 1 1121 313235 2222 n nn nnnn annn cc 1223111 2 2 nn nnnn tcccccccc 10 22 35 1021212102 n nnnnn nbatba 方法二 数学归纳法 1 当1n 时 11 111 121216 21016tabab 故等式成立 点评 该试题命制比较直接 没有什么隐含的条件 就是等比与等差数列的综合应用 但方 法多样 第二问可以用错位相减法求解证明 也可用数学归纳法证明 给学生思维空间留有余 地 符合高考命题选拔性的原则 16 24 2012 年高考 重庆理 本小题满分 12 分 i 小问 5 分 ii 小问 7 分 设数列 n a的前n项和 n s满足 121nn sa sa 其中 2 0a i 求证 n a是首项为 1 的 等比数列 ii 若 2 1a 求证 1 2 nn n saa 并给出等号成立的充要条件 解析 1 证明 由 2211 sa sa 得 12121 aaa aa 即 221 aa a 因 2 0a 故 1 1a 得 2 2 1 a a a 又由题设条件知 2211nn sa sa 121nn sa sa 两式相减得 2121nnnn ssass 即 221nn aa a 由 2 0a 知 1 0 n a 因此 2 2 1 n n a a a 当 2 1a 时 上面不等式的等号成立 当 2 11a 时 2 1 r a 与 2 1 n r a 1 2 3 1rn 同为负 当 2 1a 时 2 1 r a 与 2 1 n r a 1 2 3 1rn 同为 正 因此当 2 1a 且 2 1a 时 总有 2 1 r a 2 1 n r a 0 即 222 1 rn rn aaa 1 2 3 1rn 上面不等式对r从 1 到1n 求和得 2 2222 2 1 1 n rn aaana 由此得 2 2222 1 11 2 nn n aaaa 综上 当 2 1a 且 2 0a 时 有 1 2 nn n saa 当且仅当1 2n 或 2 1a 时等号成立 17 25 2012 年高考 四川理 已知a为正实数 n为自然数 抛物线 2 2 n a yx 与x轴 正半轴相交于点a 设 f n为该抛物线在点a处的切线在y轴上的截距 用a和n表 示 f n 求对所有n都有 3 3 1 11 f nn f nn 成立的a的最小值 当01a 时 比 较 1 1 2 n k f kfk 与 27 1 4 0 1 ff n ff a的大小 并说明理由 解析 1 由已知得 交点 a 的坐标为 0 2 n a 对 2 1 2 2 n yxax 求导得y则抛 物线在点 a 处的切线方程为2 2 2 n nnnn a yaxya xaf na 即则 2 由 1 知 f n n a 则 3 3 3 1 21 11 n f nn an f nn 成立的充要条件是 即知 3 21 n an 对于所有的 n 成立 特别地 取 n 2 时 得到 a 17 当时3 17 na 12233 4 1 3 1333 nnn nnn accc 12233 13 33 nnnccc 52 5 2 1 21 2 2 3 nn n n 2n3 1 当 n 0 1 2 时 显然 3 1721 n n 故当 a 17时 3 3 1 11 f nn f nn 对所有自然数都成立 所以满足条件的 a 的最小值是 17 18 2 127 4 x xx 由 0 a 1 知 0 ak0 时 由 i 知 22 12 21 aa 当 nn ssan 2 222 时 有 2 2 an 1 s2 sn 1 所以 an 2 2 1 nan 所以 11 1 2 12 2 nn n aa 19 令 1 11 2 100 lg 2 1 2lg 1 10 lg n n n n n b a a b则 所以 数列 bn 是以2lg 2 1 为公差 且 单调递减的等差数列 则 b1 b2 b3 b7 01lg 8 10 lg 当 n 8 时 bn b8 128 100 lg 2 1 01lg 2 1 所以 n 7 时 tn取得最大值 且 tn的最大值为 t7 2lg 2 21 7 2 7 71 bb 点评 本小题主要从三个层面对考生进行了考查 第一 知识层面 考查等差数列 等比数 列 对数等基础知识 第二 能力层面 考查思维 运算 分析问题和解决问题的能力 第三 数学思想 考查方程 分类与整合 化归与转化等数学思想 27 2012 年高考 上海理 对于数集 1 21n xxxx 其中 n xxx 21 0 2 n 定义向量集 xtxstsaay 若对于任意 ya 1 存在ya 2 使得0 21 aa 则称x具有性质 p 例如 2 1 1 x具有性质 p 1 若x 2 且 2 1 1 x 求x的值 2 若x具有性质 p 求证 1 x 且当xn 1 时 x1 1 3 若x具有性质 p 且x1 1 x2 q q为常数 求有穷数列 n xxx 21 的通项公 式 解析 1 选取 2 1 xa y中与 1 a垂直的元素必有形式 1 b 所以x 2b 从而x 4 2 证明 取yxxa 111 设ytsa 2 满足0 21 aa 由0 1 xts得0 ts 所以s t异号 因为 1 是x中唯一的负数 所以s t中之一为 1 另一为 1 故 1 x 假设1 k x 其中nk 1 则 n xx 10 1 选取yxxa n 11 并设ytsa 2 满足0 21 aa 即0 1 n txsx 则s t异号 从而s t之中恰有一个为 1 若s 1 则 11 xttxx n 矛盾 若t 1 则 nn xssxx 1 矛盾 所以x1 1 3 解法一 猜测 1 i i qx i 1 2 n 记 1 1 2kk xxa k 2 3 n 先证明 若 1 k a具有性质 p 则 k a也具有性质 p 任取 1 tsa s t k a 当s t中出 现 1 时 显然有 2 a满足0 21 aa 当1 s且1 t时 s t 1 20 因为 1 k a具有性质 p 所以有 112 tsa 1 s 1 t 1 k a 使得0 21 aa 从而 1 s和 1 t中有一个是 1 不妨设 1 s 1 假设 1 t 1 k a且 1 t k a 则 11 k xt 由 0 1 1 k xts 得 11 kk xtxs 与 s k a矛盾 所以 1 t k a 从而 k a也具有性质 p 现用数学归纳法证明 1 i i qx i 1 2 n 当n 2 时 结论显然成立 假设n k时 1 1 2kk xxa 有性质 p 则 1 i i qx i 1 2 k 当n k 1 时 若 1 1 121 kkk xxxa 有性质 p 则 1 1 2kk xxa 也有性质 p 所以 1 1 1 1 1 k k k xqqa 取 11 qxa k 并设 2 tsa 满足0 21 aa 即0 1 qtsxk 由此可得s与t中有且 只有一个为 1 若1 t 则1 s 所以qx s q k 1 这不可能 所以1 s kk k qqqqtx 1 1 又 1 1 k k qx 所以 k k qx 1 综上所述 1 i i qx 1 i i qx i 1 2 n 解法二 设 111 tsa 222 tsa 则0 21 aa等价于 2 2 1 1 s t t s 记 tsxtxsb t s 则数集x具有性质 p 当且仅当数集b关于原点对称 注意到 1 是x中的唯一负数 0 32n xxxb 共有n 1 个数 所以 0 b也只有n 1 个数 由于 1221 x x x x x x x x nn n n n n 已有n 1 个数 对以下三角数阵 1221 x x x x x x x x nn n n n n 1 1 3 1 2 1 x x x x x x n n n n n 注意到 1 2 1 1 1 x x x x x x nn 所以 1 2 2 1 1 x x x x x x n n n n 从而数列的通项公式为 11 1 1 2 kk x x k qxx k 1 2 n 28 2012 年高考 上海春 本题共有 3 个小题 第 1 小题满分 4 分 第 2 小题满分 6 分 第 3 小题满分 6 分 已知数列 nnn abc 满足 11 nnnnn aabbcnn 1 设36 nn cna 是公差为3的等差数列 当 1 1b 时 求 23 bb 的值 2 设 32 8 nn cn ann 求正整数 k使得一切 nn 均有 nk bb 3 设 1 1 2 2 n n nn cn a 当 1 1b 时 求数列 n b的通项公式 21 解析 1 11 3 2 nnnn aabbn 123 1 4 8bbb 2 由 3 11 27 27 nnnn n aanbb n 由 1 04 nn bbn 即 456 bbb 由 1 04 nn bbn 即 1234 bbbb 4k 3 由 11 11 1 1 2 nnn nnnn aabbn 故 1 1 1 21 2 nn nn bbnnnn 12121 2132121 21 1 22 1 22 1 21 nnnn nnnn bbbbbbnbbn 当 2 nk kn 时 以上各式相加得 1 221 1 22 2 2222 1 2 2 1 1 2 2 n nn n n bbnn 22 32 n n 2225 1 32323 nn n nn b 当 21 nkkn 时 1 1 1 221213 1 2 1 2 32326 nn nnn nn nn bbnn 213 326 25 323 n n n n b n 21 2 nk nk kn 29 2012 年高考 陕西理 设 n a的公比不为 1 的等比数列 其前n项和为 n s 且 534 a a a成等差数列 1 求数列 n a的公比 2 证明 对任意kn 21 kkk sss 成等差数列 解析 1 设数列 n a的公比为q 0 1qq 由 534 a a a成等差数列 得 354 2aaa 即 243 111 2a qa qa q 22 由 1 0 0aq 得 2 20qq 解得 12 2 1qq 舍去 2q 2 证法一 对任意kn 2121 2 kkkkkkk sssssss 121kkk aaa 11 2 2 0 kk aa 所以 对任意kn 21 kkk sss 成等 差数列 证法二 对任意kn 1 2 1 2 1 k k aq s q 2121 111 21 1 1 2 111 kkkk kk aqaqaqq ss qqq 21 11 21 2 1 2 2 11 kkk kkk aqaqq sss qq 21 1 2 1 2 1 kkk a qqq q 2 1 2 0 1 k a q qq q 因此 对任意kn 21 kkk sss 成等差数列 30 2012 年高考 山东理 在等差数列 n a中 3459 84 73aaaa 求数列 n a的通项公式 对任意 mn 将数列 n a中落入区间 2 9 9 mm 内的 项的个数记为 m b 求数列 m b 的前m项和 m s 对任意 m n mm n 2 9899 则89989 2 mm n 即 9 8 9 9 8 9 121 mm n 而 nn 由题意可知 112 99 mm m b 于是 999 999 1101231 21 mm mm bbbs 8 9 80 19 80 19109 8 19 80 99 91 91 91 99 121212 2 12mmmmmmmm 23 即 8 9 80 19 12mm m s 31 2012 年高考 江西理 已知数列 an 的前 n 项和 2 1 2 n snkn kn 且 sn 的最大值为 8 1 确定常数 k 求 an 2 求数列 92 2 n n a 的前 n 项和 tn 解析 1 当nkn 时 2 1 2 n snkn 取最大值 即 222 11 8 22 kkk 故 4k 从而 1 9 2 2 nnn assn n 又 11 7 2 as 所以 9 2 n an 2 因为 1 92 22 n n nn an b 12 221 231 1 2222 nn nn nn tbbb 所以 21211 1112 22 144 222222 nnn nnnnn nnn ttt 点评 本题考查数列的通项 递推 错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用 利 用 1 1 1 n nn s n a ss 来实现 n a与 n s的相互转化是数列问题比较常见的技巧之一 要注意 1nnn ass 不能用来求解首项 1 a 首项 1 a一般通过 11 as 来求解 运用错位相减法求数 列的前n项和适用的情况 当数列通项由两项的乘积组成 其中一项是等差数列 另一项是 等比数列 32 2012 年高考 江苏 设集合 1 2 n pn nn 记 f n为同时满足下列 条件的集合a的个数 n ap 若xa 则2xa 若acx n p 则acx n p 2 1 求 4 f 2 求 f n的 解析式 用n表示 时 n p中奇数的个数是 2 n 1 2 n 2 1 2 2 2 n n n f n n 为偶数 为奇数 33 2012 年高考 江苏 已知各项均为正数的两个数列 n a和 n b满足 24 22 1 nn nn n ba ba a nn 1 设 n n n a b b 1 1 nn 求证 数列 2 n n b a 是等差数列 2 设 n n n a b b 2 1 nn 且 n a是等比数列 求 1 a和 1 b的值 解析 1 n n n a b b 1 1 1 1 222 1 nnn n nn n n abb a ab b a 2 1 1 1 nn nn bb aa 2 2222 1 1 11 nnnn nnnn bbbb nn aaaa 数列 2 n n b a 是以 1 为公差的等差数列 2 00 nn a b 2 2 22 2 nn nnnn ab ab ab 1 22 12 nn n nn ab 知0q 下面用反证法证明 1q 若1 q 则 2 12 2 a a a 时 11 2 n n aa q 与 矛盾 若01 qa q 当 1 1 logqn a 时 11 1 n n aa q 与 矛盾 综上所述 1q 1 n aann 1 12 a 于是 123 b b b 又由 22 1 nn nn n ba ba a 即 1 1 22 1 n n ab a ab 得 22 111 2 1 2 1 n aaa b a 25 123 bbb与与中至少有两项相同 与 123 b b kn k 时 时 2 knknkn ssss 都成立 都成立 1 1 设 设 m m 1 1 2 2 a 求 求 5 a的值 的值 2 2 设 设 m m 3 3 4 4 求数列 求数列 n a的通项公式 的通项公式 解析 考察等差数列概念 和与通项关系 集合概念 转化与化归 分析问题与解决问题 的能力 其中 1 是容易题 2 是难题 1 111211 1 1 2 2 nnnnnn knssssssss 即 21 2 nnn aaa 37 532442421541 222 9 222 10 nnnnnn aadaadaadaad 由 9 10 得 54214122321 2 nnnn aaddaddaadd a 2 n n 成等差 设公差为 d 在 1 2 中分别取 n 4 n 5 得 12122 2 6a152 255 452 adaadad 即 12122 28282 279 351aadaadad 即 2 3 2 21 n adan 4 四川理 20 本小题共 12 分 设 d 为非零实数 an 1 n c1n d 2cn2d2 n 1 cnn 1d n 1 ncnndn n n 写出 a1 a2 a3并判断 an 是否为等比数列 若是 给出证明 若不是 说明理由 ii 设 bn ndan n n 求数列 bn 的前 n 项和 sn 解析 1 2 123 1 1 ad ad dad d 0122311 1 1 1 1 1 nnnn n nnnnnn n a ac dc dc dcdddaddd a 因为 d 为常数 所以 n a是以 d 为首项 d 1 为公比的等比数列 2 21 1 n n bndd 20212221 1 2 1 3 1 1 n n sddddddndd 20121 1 2 1 3 1 1 n ddddnd 2123 1 1 2 1 3 1 1 n n d sddddnd 222 1 1 1 1 1 1 1 n nn n d dsdd nddd ndd d 38 1 1 1 n n sdnd 5 辽宁理 17 本小题满分 12 分 已知等差数列 an 满足 a2 0 a6 a8 10 i 求数 列 an 的通项公式 ii 求数列 1 2 n n a 的前 n 项和 解析 i 设等差数列 an 的公差为 d 由已知条件可得 1 1 0 21210 ad ad 解得 1 1 1 a d 故等差数列 an 的通项公式为 an 2 n ii 设数列 1 2 n n a 的前 n 项和为 n s 即 2 1 1 22 n n n aa sa 故 1 1s 12 2242 nn n saaa 所以 当 n 1 时 121 1 1 2222 nnn